I Rudi Mathematici (Rodolfo Clerico / Rudy d’Alembert, Piero Fabbri / Piotr Rezierovic Silverbrahms, Francesca Ortenzio / Alice Riddle) sono autori della omonima e-zine di matematica ricreativa, pubblicata in rete dal 1999.
Bello! Non ci sarei mai arrivato.
Sono andato a vedere i due teoremi di Euclide.
Ho provato, quindi, a risolvere.
Se non ho fatto errori dovrebbe essere così:
Indicando con p1 e p2 le proiezioni dei cateti a e b sull’ipotenusa c (dove c = p1 + p2):
a^2 = c * p1 (1° Teorema di Euclide)
b^2 = c * p2 (1° Teorema di Euclide)
h^2 = p1 * p2 (2° Teorema di Euclide)
Sommando i reciproci dei quadrati dei cateti e sostituendo le prime due equazioni:
1/a^2 + 1/b^2 = 1/(c * p1) + 1/(c * p2)
I tre segmenti 1/a, 1/b e 1/x formano a loro volta un triangolo rettangolo, dove 1/x rappresenta l’ipotenusa.
Ad esempio, nel triangolo 3-4-5 (in cui l’altezza relativa all’ipotenusa è x = 12/5), i segmenti 1/a, 1/b e 1/x sono rispettivamente 1/3, 1/4 e 5/12.
Verifica con il Teorema di Pitagora:
(1/3)² + (1/4)² = 1/9 + 1/16 = 25/144, che corrisponde esattamente a (5/12)².
Questo triangolo reciproco è anch’esso rettangolo e presenta i reciproci dei due cateti del triangolo originale come cateti, mentre il reciproco dell’altezza relativa all’ipotenusa ne rappresenta l’ipotenusa.
Il fattore di scala che trasforma il triangolo di partenza (quello con cateti a e b) nel triangolo dei reciproci è pari a 1/(ab), con i cateti scambiati di posto.
Poiché l’area del triangolo rettangolo è A = (ab)/2, il prodotto dei cateti è ab = 2A. Il fattore di scala vale quindi 1/(2A).
In altre parole, se si dividono le dimensioni del triangolo rettangolo di partenza per il doppio della sua area, si ottengono esattamente i lati del triangolo dei reciproci.
Infine, prendendo la relazione dei reciproci (1/a)² + (1/b)² = (1/x)² e moltiplicando entrambi i membri per x², si ottiene l’equazione (x/a)² + (x/b)² = 1.
Questo mostra che i due rapporti x/a e x/b si comportano come il coseno e il seno di un angolo, collocandosi perfettamente sulla circonferenza unitaria.
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… o anche scrivendo e mettendo insieme le tre equazioni che ottieni dai due teoremi di Euclide…
Bello! Non ci sarei mai arrivato.
Sono andato a vedere i due teoremi di Euclide.
Ho provato, quindi, a risolvere.
Se non ho fatto errori dovrebbe essere così:
Indicando con p1 e p2 le proiezioni dei cateti a e b sull’ipotenusa c (dove c = p1 + p2):
a^2 = c * p1 (1° Teorema di Euclide)
b^2 = c * p2 (1° Teorema di Euclide)
h^2 = p1 * p2 (2° Teorema di Euclide)
Sommando i reciproci dei quadrati dei cateti e sostituendo le prime due equazioni:
1/a^2 + 1/b^2 = 1/(c * p1) + 1/(c * p2)
Raccogliendo 1/c a fattor comune:
1/a^2 + 1/b^2 = (1/c) * (1/p1 + 1/p2)
Sommando le frazioni tra parentesi:
1/a^2 + 1/b^2 = (1/c) * ((p1 + p2) / (p1 * p2))
Poiché p1 + p2 = c e p1 * p2 = h^2 (dalla terza equazione), si sostituisce:
1/a^2 + 1/b^2 = (1/c) * (c / h^2)
Semplificando la c:
1/a^2 + 1/b^2 = 1/h^2
I tre segmenti 1/a, 1/b e 1/x formano a loro volta un triangolo rettangolo, dove 1/x rappresenta l’ipotenusa.
Ad esempio, nel triangolo 3-4-5 (in cui l’altezza relativa all’ipotenusa è x = 12/5), i segmenti 1/a, 1/b e 1/x sono rispettivamente 1/3, 1/4 e 5/12.
Verifica con il Teorema di Pitagora:
(1/3)² + (1/4)² = 1/9 + 1/16 = 25/144, che corrisponde esattamente a (5/12)².
Questo triangolo reciproco è anch’esso rettangolo e presenta i reciproci dei due cateti del triangolo originale come cateti, mentre il reciproco dell’altezza relativa all’ipotenusa ne rappresenta l’ipotenusa.
Il fattore di scala che trasforma il triangolo di partenza (quello con cateti a e b) nel triangolo dei reciproci è pari a 1/(ab), con i cateti scambiati di posto.
Poiché l’area del triangolo rettangolo è A = (ab)/2, il prodotto dei cateti è ab = 2A. Il fattore di scala vale quindi 1/(2A).
In altre parole, se si dividono le dimensioni del triangolo rettangolo di partenza per il doppio della sua area, si ottengono esattamente i lati del triangolo dei reciproci.
Infine, prendendo la relazione dei reciproci (1/a)² + (1/b)² = (1/x)² e moltiplicando entrambi i membri per x², si ottiene l’equazione (x/a)² + (x/b)² = 1.
Questo mostra che i due rapporti x/a e x/b si comportano come il coseno e il seno di un angolo, collocandosi perfettamente sulla circonferenza unitaria.
O anche:
x/a = √(b²-x²)/b
x²/a² = (b²-x²)/b²
x²/a² + x²/b² = 1
x²(a²+b²) = a²b²
1/x² = (a²+b²)/(a²b²)
1/x² = 1/a² + 1/b²