Un bellissimo undecagono regolare ha i vertici colorati di rosso o di blu, e vengono tracciati tutti i possibili triangoli aventi come vertice uno dei vertici dell’undecagono. Dimostrate che esistono sempre due triangoli congruenti i cui vertici sono tutti dello stesso colore.
La risposta... Non cliccate qui se non ci avete pensato! Poi è troppo tardi!
Per il Principio della Piccionaia, possiamo sempre trovare sei vertici dello stesso colore: ci sono Bin(6, 2) = 15 segmenti che uniscono questi punti. Un undecagono regolare ha 11 assi di simmetria, e ognuno dei segmenti individuati è parallelo a un qualche asse di simmetria, quindi sempre per il Principio della Piccionaia alcuni di questi segmenti devono essere paralleli a coppie. Selezionata una coppia, otteniamo i due triangoli congruenti considerando due vertici di entrambi i triangoli come i vertici di un segmento e come terzo vertice di ognuno dei triangoli ognuno dei vertici dell’altro segmento.
I Rudi Mathematici (Rodolfo Clerico / Rudy d’Alembert, Piero Fabbri / Piotr Rezierovic Silverbrahms, Francesca Ortenzio / Alice Riddle) sono autori della omonima e-zine di matematica ricreativa, pubblicata in rete dal 1999.
Considerando un singolo vertice, il numero di modi per scegliere gli altri due vertici, e completare un triangolo, è dato dal coefficiente binomiale: 2 su 10 binomiale = 45.
Calcolo il numero di classi di congruenza dei 45 triangoli:
– è determinata dalla “distanza” fra i suoi tre vertici
(contando in senso rotatorio i vertici che li separano)
– l’ordine delle tre “distanze” è ininfluente
(siccome ruotandolo/ribaltandolo il triangolo non varia)
– dato che si torna al vertice di partenza la somma fa 11
– devo quindi trovare tutti i modi di ottenere somma 11:
— {1,1,9}, {1,5,5}, {2,2,7}, {3,3,5}, {3,4,4}
(cinque classi di triangoli isosceli)
— {1,2,8}, {1,3,7}, {1,4,6}, {2,3,6}, {2,4,5}
(cinque classi di triangoli scaleni)
– in totale, quindi, dieci classi di congruenza
– 45 = (5 x 3) modi per ottenere gli isosceli +
(5 x 6) modi per ottenere gli scaleni
(verifica per quadrare i triangoli con le classi).
Con due colori su 11 vertici, almeno 6 hanno lo stesso.
Ho, quindi, almeno 20 triangoli che hanno stesso colore
(3 su 6 binomiale = 20 modi di ottenere i triangoli).
Per la piccionaia ci sono almeno due triangoli congruenti
(data che vi sono almeno 20 monocromatici e 10 classi).
Riguardo a: “ogni segmento è parallelo a un asse di simmetria”:
– gli assi di simmetria vanno da vertice a punto medio lato
(dato che il numero di vertici è un numero dispari)
– non mi pare che i segmenti siano paralleli a tali assi.
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Considerando un singolo vertice, il numero di modi per scegliere gli altri due vertici, e completare un triangolo, è dato dal coefficiente binomiale: 2 su 10 binomiale = 45.
Calcolo il numero di classi di congruenza dei 45 triangoli:
– è determinata dalla “distanza” fra i suoi tre vertici
(contando in senso rotatorio i vertici che li separano)
– l’ordine delle tre “distanze” è ininfluente
(siccome ruotandolo/ribaltandolo il triangolo non varia)
– dato che si torna al vertice di partenza la somma fa 11
– devo quindi trovare tutti i modi di ottenere somma 11:
— {1,1,9}, {1,5,5}, {2,2,7}, {3,3,5}, {3,4,4}
(cinque classi di triangoli isosceli)
— {1,2,8}, {1,3,7}, {1,4,6}, {2,3,6}, {2,4,5}
(cinque classi di triangoli scaleni)
– in totale, quindi, dieci classi di congruenza
– 45 = (5 x 3) modi per ottenere gli isosceli +
(5 x 6) modi per ottenere gli scaleni
(verifica per quadrare i triangoli con le classi).
Con due colori su 11 vertici, almeno 6 hanno lo stesso.
Ho, quindi, almeno 20 triangoli che hanno stesso colore
(3 su 6 binomiale = 20 modi di ottenere i triangoli).
Per la piccionaia ci sono almeno due triangoli congruenti
(data che vi sono almeno 20 monocromatici e 10 classi).
Riguardo a: “ogni segmento è parallelo a un asse di simmetria”:
– gli assi di simmetria vanno da vertice a punto medio lato
(dato che il numero di vertici è un numero dispari)
– non mi pare che i segmenti siano paralleli a tali assi.