Se \( a \), \( b \), \( c \) formano un triangolo, trovate per quali valori di \( n \) formano un triangolo anche \(\sqrt[n]{a}\), \(\sqrt[n]{b}\), \(\sqrt[n]{c}\).
La risposta... Non cliccate qui se non ci avete pensato! Poi è troppo tardi!
Dalla disuguaglianza triangolare, si ha: \[a + b > c\]
e similari. Da cui: \[(\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b})^n > a + b > c = (\sqrt[n]{c})^n\]
Il che dà: \[\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} > \sqrt[n]{c}\]
Quindi la relazione è verificata per qualsiasi valore di \( n \).
I Rudi Mathematici (Rodolfo Clerico / Rudy d’Alembert, Piero Fabbri / Piotr Rezierovic Silverbrahms, Francesca Ortenzio / Alice Riddle) sono autori della omonima e-zine di matematica ricreativa, pubblicata in rete dal 1999.
… Ma la risposta della piattaforma (22 ottobre) è sbagliata e contraddittoria… Afferma infatti:
“Se a, b, c formano un triangolo, allora a < b+c."
Da questa premessa però conclude:
"I valori di n per cui \sqrt[n]{a}, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{c} formano un triangolo sono tutti gli interi n \ge 2."
contraddicendo quanto scritto sopra per il caso n=1.
Replica di Gemini:
“Hai notato un’ottima osservazione sulla potenziale contraddizione nel ragionamento precedente, in particolare riguardo al caso n=1.
Analisi dell’Osservazione
L’affermazione: ”I valori di n per cui \sqrt[n]{a}, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{c} formano un triangolo sono tutti gli interi n \ge 2.”
È logicamente coerente con la dimostrazione matematica fatta, ma esclude implicitamente il caso n=1 pur essendone la conclusione più ovvia.
1. Caso n=1 (Indice di Radice):
Se consideriamo formalmente n=1 come indice di radice, otteniamo:
\sqrt[1]{a} = a, \quad \sqrt[1]{b} = b, \quad \sqrt[1]{c} = c
Se \sqrt[1]{a}, \sqrt[1]{b}, \sqrt[1]{c} devono formare un triangolo, si deve avere che a, b, c formino un triangolo.
Poiché l’enunciato del problema parte dalla premessa che a, b, c formano un triangolo, la condizione è ovviamente soddisfatta per n=1.
2. L’Errore nel Ragionamento Precedente:
La risposta precedente ha stabilito che la condizione \sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c} è sempre vera se a < b+c, per qualsiasi intero n \ge 2.
Ha limitato il dominio a n \ge 2 solo per ragioni formali legate alla definizione usuale di radice n-esima (in cui l'indice n è spesso considerato a partire da 2 per distinguere la radice dall'elevamento a potenza 1).
Conclusione Corretta
La conclusione corretta che tiene conto sia della coerenza matematica sia dell'intento della domanda è che:
Le lunghezze \sqrt[n]{a}, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{c} formano un triangolo per tutti gli interi positivi n \ge 1 (a patto che a, b, c siano già i lati di un triangolo).
Per n=1: \sqrt[1]{a}, \sqrt[1]{b}, \sqrt[1]{c} sono a, b, c, che formano un triangolo per ipotesi.
Per n \ge 2: La disuguaglianza triangolare è soddisfatta come dimostrato.
Quindi, l'esclusione di n=1 nella risposta precedente è stata un'imprecisione formale."
"un'imprecisione formale", in italiano: "il peso del fumo".
Bando alle ciance (e agli eufemismi e ai giri di parole): la conclusione è sbagliata e contraddittoria rispetto a quanto scritto solo qualche riga sopra (il “solito” problema della coerenza nelle risposte, che con queste piattaforme affiora in ogni dove). E come nei cartoni del tempo andato… that’s all Folks!
Ho rimuginato un pò sulle mie affermazioni precedenti:
Con n→♾️ si ottiene un triangolo equilatero di lato 1 da qualsiasi triangolo.
Partendo da un triangolo equilatero se ne ottiene un altro con qualsiasi n.
Con “con qualsiasi n” intendo:
… applicando la trasformazione del problema: a^(1/n), b^(1/n), c^(1/n).
Ho chiesto conferma a gemini per non rischiare di dire castronerie
(… ovviamente non ne ho la certezza perché ne dice tante pure lui).
Ha confermato quanto proponevo; ho chiesto di riassumerlo per postarlo
(io non riesco a fornire un’esposizione che sia matematicamente corretta).
Ecco quanto mi ha suggerito di condividere:
Il triangolo equilatero è l’unico punto stabile
(il principale attrattore della trasformazione).
Qualsiasi forma di triangolo tende alla forma equilatera al limite (n→∞).
Questo avviene perché la trasformazione annulla differenze di lunghezza
[portando i lati a convergere a (1,1,1) nell’unità di misura scelta].
La forma equilatera è stabile
(preservata dalla trasformazione per qualsiasi n).
Da un triangolo equilatero di lato L se ne ottiene un’altro
[i cui lati hanno hanno lunghezza: L′ = L^(1/n)].
Questo dimostra una libertà di scala quasi totale:
scegliendo opportunamente n, se ne ottiene di lato L′ di ogni lunghezza
(purché non si parta da un triangolo di lato L=1 nell’unità di misura scelta).
In sintesi, la trasformazione:
– non solo spinge tutti i triangoli verso la simmetria equilatero nel limite
– ma offre anche una libertà completa di scaling
(all’interno della classe dei triangoli equilateri).
Con n→♾️ si ottiene un triangolo equilatero di lato 1 da qualsiasi triangolo.
Partendo da un triangolo equilatero se ne ottiene un altro con qualsiasi n.
Naturalmente mi sono permesso di dare la risposta di Gemini visto che dopo 3 giorni non si è fatto vivo manco un criceto: tempo scaduto, somàri!
(E naturalmente io avevo risolto questo q&d a mano e in pochi minuti, ovvero solo con riga, compasso e regolo calcolatore (per fare le righe) su tavolette di cera al lume di candela, da cui la cera)
A mio avviso per n >=1 formano sempre un triangolo.
Per n<1 non è detto che lo formino.
Ad esempio per n=1/2 tutti i triangoli rettangoli diventano triangoli degeneri (piatti) e quelli ottusangoli non lo sono più.
La risposta di Gemini in html (o roba simile, ma si capisce lo stesso) in 1,68 secondi. La fine è vicina… oppure il transumanesimo, entrambi via I.A..
In ogni caso penitenziagite! miserabili ominidi.
“La domanda è: se a, b, c formano un triangolo, per quali valori di n (indice della radice) formano un triangolo anche \sqrt[n]{a}, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{c}?
Per ipotesi, a, b, c sono le lunghezze dei lati di un triangolo, quindi sono numeri reali positivi (a>0, b>0, c>0) e soddisfano la disuguaglianza triangolare:
Inoltre, per definizione di radice n-esima in \mathbb{R}, l’indice n deve essere un intero positivo (n \in \mathbb{N}, n \ge 2). Se n è pari, le basi a, b, c devono essere positive, il che è già garantito.
Affinché \sqrt[n]{a}, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{c} formino un triangolo, devono soddisfare la disuguaglianza triangolare:
Dobbiamo determinare per quali n le disuguaglianze in alto (I, II, III) sono vere, dato che le disuguaglianze per a, b, c sono vere.
La relazione chiave è come la funzione f(x) = x^{1/n} (o \sqrt[n]{x}) si comporta rispetto alla somma.
Analisi della Funzione Radice
La funzione f(x) = x^{1/n} è una funzione concava per tutti gli n \ge 2.
Una proprietà delle funzioni concave è che tendono ad “appiattire” le differenze, ma non c’è una relazione universale semplice tra x < y+z e x^{1/n} < y^{1/n} + z^{1/n}.
Consideriamo la disuguaglianza (I): \sqrt[n]{a} 0, l’ordi ne non cambia:
Espandendo il lato destro (usando il binomio di Newton, se n è intero):
Poiché a, b, c > 0, tutti i termini intermedi nello sviluppo binomiale sono positivi. Quindi:
Dato che per ipotesi a < b+c, abbiamo:
Dalla transitività delle disuguaglianze, si ottiene:
Estraendo la radice n-esima (poiché entrambi i lati sono positivi), si ottiene:
Conclusione:
Se a < b+c, allora a 0.
Di conseguenza, la disuguaglianza (I) è soddisfatta.
Applicando lo stesso ragionamento alle disuguaglianze (II) e (III) (utilizzando b < a+c e c < a+b come ipotesi), si dimostra che anche queste sono soddisfatte.
In sintesi:
Se a, b, c formano un triangolo, allora a < b+c.
Per ogni n \ge 2, si ha che b+c < (\sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c})^n.
Quindi, a < (\sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c})^n, il che implica \sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c}.
I valori di n per cui \sqrt[n]{a}, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{c} formano un triangolo sono tutti gli interi n \ge 2."