Sia C un cerchio di centro O, e Q un punto interno a C diverso da O. Dove deve essere posto un punto P sulla circonferenza di C per massimizzare l’angolo OPQ?
La risposta... Non cliccate qui se non ci avete pensato! Poi è troppo tardi!
Pensiamo al punto P come fisso, mentre Q varia sulla circonferenza di centro O con raggio OQ. È allora evidente che OPQ è massimo quando PQ è tangente al cerchio avente Q sul bordo. Quindi, OQP deve essere un angolo retto.
I Rudi Mathematici (Rodolfo Clerico / Rudy d’Alembert, Piero Fabbri / Piotr Rezierovic Silverbrahms, Francesca Ortenzio / Alice Riddle) sono autori della omonima e-zine di matematica ricreativa, pubblicata in rete dal 1999.
La notazione “∠OPQ” indica l’angolo tra i segmenti PO e PQ, misurato a partire da PO, in senso antiorario verso PQ.
Questa definizione può dare luogo a un angolo ottuso (cioè maggiore di 90°) oppure anche maggiore di 180°, ma in problemi di massimizzazione, come questo, si considera normalmente l’angolo interno del triangolo △OPQ, cioè quello compreso tra 0° e 180°.
Se, invece, si considerasse la notazione classica, l’angolo massimo sarebbe di 360°.
In prima battuto tento una pseudo/dimostrazione intuitiva.
Traccio il cerchio c con centro in O e raggio OQ.
Q giace sulla circonferenza di questo nuovo cerchio, concentricamente interno a C.
Consideriamo un punto P sulla circonferenza di C.
Per tali punti P, si può costruire il triangolo OPQ e misurarne l’angolo ∠OPQ.
Intuitivamente noto il seguente fatto:
– quando il segmento PQ è tangente al cerchio interno c nel punto Q, l’angolo ∠OPQ raggiunge il valore massimo possibile, cioè 90°.
– questo perché il triangolo OPQ è retto in Q, e il raggio OQ risulta perpendicolare a PQ
– in ogni altra posizione di P, la retta PQ interseca il cerchio c, “entrando” dentro di esso, e quindi l’angolo ∠OPQ risulta inferiore a 90°.
Per dirla in altro modo: si può pensare che il segmento PQ, muovendosi attorno a Q, crea angoli che “coprono” una certa apertura rispetto al centro O.
Il massimo angolo di apertura possibile avviene proprio quando PQ sfiora il cerchio c, cioè è tangente ad esso.
Tento ora una dimostrazione meno intuitiva e forse un po’ più rigorosa.
Se in un triangolo △OPQ l’angolo in P fosse ottuso, il lato opposto OQ sarebbe il più lungo del triangolo ma, nel nostro caso, è impossibile perché il punto Q è interno alla circonferenza C, di cui il segmento OP ne è il raggio.
Parto da questa considerazione per proporre la dimostrazione:
– considero il triangolo OPQ
– applico la legge del seno: sin(∠OPQ)/OQ = sin(∠OQP)/OP
– assegnato il punto Q il segmento OQ è, quindi, fisso
(corrisponde al raggio r della circonferenza c)
– pure il segmento OP è fisso
(è il raggio R della circonferenza C)
– per cui: sin(∠OPQ) = (r/R)*sin(∠OQP)
– quindi massimizzare ∠OPQ significa massimizzare sin(∠OQP)
(questo perché, come detto, ∠OPQ è minore di 90°)
– essendo r/R costante, sin(∠OQP) è massimo quando ∠OQP=90°
[infatti: sin(90°) = 1 che il valore massimo per un seno]
– quindi ∠OQP è massimo quando △OPQ è rettangolo in Q
(cioè quanto PQ è tangente alla circonferenza di raggio OQ)
– in tal situazione si a che: sin(∠OPQ) = r/R.
Pensa a quanto si saranno divertiti gli ingegneri dell’800 a progettare i ruotismi delle locomotive a vapore. A me, ogni volta che ne vedo una in azione, mi gira la testa.
Messa così, Yop, in questo come in molti altri casi la prova formale è un esercizio di complicazione affari semplici: da quelli più triviali, su su fino all’empireo di qualche problema millenario da un milione di dollari. Sospetto e insinuo ci sia dell’altro…
(Rispondo qui per evitare che questa nota a margine finisca fuori margine
Infatti. Guarda Pietro, qui lo dico e qui lo nego, quando ho brutalmente schizzato il problema con la facezia che ho poi postato, la prima cosa (euristica 🙂 ) che mi è venuta in testa è stata la lagrangiana del doppio pendolo… con qualche aggiustamento, mi son detto… E subito dopo no no! meglio col calcolo delle variazioni: trovo il funzionale giusto et voilà. Poi ho respirato, ed è finita lì: alla mia età è già bello che mi ricordo dove ho messo il tablet per scrivere e postare quanto precede.
P.S. “Sospetto e insinuo ci sia dell’altro…”. Tu dici?
Mi torna quanto scrive Valter. Ecco una prova per via analitica.
Il segmento OP è il raggio R di C e la lunghezza a di OQ è nota per costruzione. Posta b come lunghezza di PQ e detto α l’angolo OPQ, per la legge dei coseni:
(1) a^2=R^2+b^2-2*b*R*cosα
da cui si ricava
(2) cosα=(R’2+b^2-a^2)/(2bR)
Essendo α compreso tra 0 e π/2, per massimizzare α possiamo minimizzare cosα, il che per (2) equivale a minimizzare la funzione
F(x) =(R^2+x^2-a^2)/(2xR)
nella variabile x=b, cioè assumendo come variabile la lunghezza del segmento PQ.
F(x) è il prodotto delle due funzioni f(x)=1/2xR e g(x)=R’2+x^2-a^2. Applicando la regola della derivata del prodotto di due funzioni e azzerandola, otteniamo
F’(x)=(-1/2Rx^2)* (R’2+b^2-a^2) + (2x/2Rx)=0
da cui con un po’ di passaggi otteniamo
(3) x^2=R^2-a^2
Ricordando che x rappresenta la lunghezza del segmento PQ, la (3) permette di stabilire (Pitagora) che quando l’angolo α è massimo, il triangolo OPQ deve essere rettangolo con angolo retto in Q.
A questo punto sostituiamo la (3) nella (1) e abbiamo cosα=((R^2-a^2)^0,5)/R, cioè
(4) max(α)=arccos((R^2 – a^2)^0,5)/R
Per gare un esempio, scelto OQ di lunghezza a=R/4, abbiamo che α massimo è pari a π/6.
Nota finale: ma il gioco è davvero da catalogare come Q&D??
Ma sì che è un Q&D. Bisogna solo ricordarsi, volenti o nolenti, di quel concetto (che è anche l’incubo durante un esame scritto che necessita di ragionamento e svolgimento matematico più o meno elaborati, ovvero il procedimento euristico. Come lo affronto questo problema? da che parte lo attacco? mi butto a testa bassa sul primo percorso che mi è balenato nella zucca? e se mi infilo in un orrendo labirinto con Minotauro incluso? quanto tempo ho ancora per consegnare? ma che ore sono? ma che caldo che fa in quest’aula!
Il tuo procedimento analitico, ineccepibile e rigoroso, necessita di parecchia attenzione e di tempo, prima e durante, non foss’altro che per evitare i banali errori di “grammatica” che possono prodursi, mentre quello grafico di valter è risolutivo, immediato e con poche possibilità di errori. Un vero q&d.
Se disegno un cerchio c di raggio OQ, quindi interno e concentrico al cerchio C, in punto P mi pare che debba trovarsi dove la tangente in Q sul cerchio c incontra la circonferenza del cerchio C.
Forse un’animazione può aiutare a comprendere quanto sto dicendo:
https://drive.google.com/file/d/1gpAZBMduTf6WpjQyEK-I5IszLy1vYUel/view?usp=sharing
… a meno che si consideri di 360°, invece di 0°, l’angolo OPQ quando in punto P si trova sulla circonferenza dove passa la retta per OQ dalla parte di O.
Ottimo valter: dove si dimostra di come un disegno valga, a volte, più di mille parole.
Che bello! Come agli albori del web e dei blog: commento in moderazione. 🙂
in realtà il sistema approva automticamente gli utenti conosciuti, tranne quando ci sono link… 🙂
Grazie Roberto.
Yo!
https://tinyurl.com/5u44esjx
Ti chiedo solo una cosa per interpretare il tuo disegno.
Mi pare che nel disegno che proponi il vertice dell’angolo sia il punto O.
Il problema parla di “angolo OPQ”.
Mi pare che, per convenzione, con tale notazione si intenda che l’angolo ha vertice in P.
Sì, la notazione funziona come dici tu. Per aggirarla ho messo il cappellino (segno circonflesso) sulla O, e lui comanda!
