Definiamo “pentagono parallelo” un pentagono per cui ogni diagonale è parallela al lato con cui non ha vertici in comune.
È facile vedere che ogni pentagono regolare è un pentagono parallelo.
Ogni pentagono parallelo è un pentagono regolare?
La risposta... Non cliccate qui se non ci avete pensato! Poi è troppo tardi!
No, questo non è necessario: ricordiamo che ogni endomorfismo porta rette parallele in rette parallele, quindi qualsiasi trasformazione di questo tipo che deformi in modo diverso i due assi cartesiani trasformerà un pentagono parallelo in un pentagono parallelo, e almeno uno dei due non sarà regolare.
Ad esempio, partendo da un pentagono regolare, applicando la trasformazione:
\[A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]
si “raddoppiano” le dimensioni del pentagono lungo l’asse x, lasciando invariate quelle lungo l’asse y. Si ottiene quindi un pentagono che, pur non essendo regolare, resta parallelo.
I Rudi Mathematici (Rodolfo Clerico / Rudy d’Alembert, Piero Fabbri / Piotr Rezierovic Silverbrahms, Francesca Ortenzio / Alice Riddle) sono autori della omonima e-zine di matematica ricreativa, pubblicata in rete dal 1999.
@Alessandro
Ti rispondo in una chat a parte per evitare l’eccessivo “restringimento” della larghezza nel box, come accadrebbe usando il bottone “Rispondi”.
Ti ringrazio per l’intervento, mi ha aiutato a chiarire la natura delle trasformazioni affini.
Ho capito che, come hai detto, si tratta di trasformazioni che mantengono invariata la pendenza (quindi il parallelismo) tra rette, e che si possono rappresentare con due equazioni lineari del tipo:
x’ = ax + by + c
y’ = dx + ey + f
dove i coefficienti a,b,c,d,e,f determinano la trasformazione
(sono le due equazioni che descrivono insieme la trasformazione affine).
A proposito di GeoGebra: ho scoperto che alcune versioni (non tutte) offrono il comando Transform, che permette di costruire una trasformazione affine specificando direttamente tre punti della figura originale e i tre punti corrispondenti della figura trasformata.
Mi ha colpito, dai parametri che usa GeoGebra per il comando trasform, il fatto che bastino tre punti con le loro immagini trasformate per determinare un’affinità nel piano di una qualsiasi figura.
Ogni coppia punto-originale/punto-trasformato fornisce due equazioni, quindi tre punti danno le sei equazioni necessarie per risolvere il sistema e determinare tutti i parametri della trasformazione.
Nella mia costruzione del “pentagono parallelo” con GeoGebra, pur senza saperlo, stavo facendo proprio questo: fissavo (attraverso condizioni geometriche) tre vertici del pentagono trasformato, e così la forma dell’intero pentagono risultava automaticamente determinata.
Nella versione che uso io, Transform non c’è, ma c’è il comando ApplyMatrix , che applica una trasformazione affine fornendo i coefficienti della matrice
2×2.
I valori della matrice corrispondono ai coefficienti delle due equazioni lineari di cui parlavi per ottenere x’ e y’: “a b d e” determinano la parte lineare
(quindi ApplyMatrix gestisce solo la parte lineare e non quella di traslazione).
Con ApplyMatrix, quindi, partendo da un pentagono regolare, variando i coefficienti, posso ottenere tutti i “pentagoni paralleli” escludendo traslazioni.
Grazie ancora per lo spunto!
Ho tentato con GeoGebra di individuare una procedura per generare qualsiasi “pentagono parallelo” (sia che abbia una qualche simmetria o no).
Ho documentato il tutto qui:
https://docs.google.com/document/d/1EvQk9KdnvxLebJ83QoKKoGRq42uQhmYr/edit?usp=sharing&ouid=117564311960738395185&rtpof=true&sd=true
Il disegno. di cui parlo nel documento è questo:
https://drive.google.com/file/d/12jQicyWbxw-gLpiij1Crp25ztjdts4SU/view?usp=sharing
Siccome non ho una formazione matematica spero di non aver scritto troppe asinate (nel caso se mi correggete mi fare solo un piacere: mi serve per imparare).
Se sai che la misura dell’inclinazione della retta che congiunge due punti è data da m = (x_2 – x_1)/(y_2 – y_1) – considerando anche il caso particolare y_2 = y_1 – allora quello che cerchi sono le trasformazioni x’ = f(x,y) e y’ = g(x,y) per cui m è un invariante – cioè ha uno stesso valore quando si applica la trasformazione ai punti di rette parallele.
È semplice verificare che questo è vero per f(x,y) = ax + by + c e g(x,y) = dx + ey + f, che corrispondono alle trasformazioni affini, e che m’ = (am + b)/(dm + e).
I coefficienti c ed f fanno solo traslare la figura originale senza cambiarne gli angoli. Aggiungendo dei termini con potenze ulteriori di x e y si perde l’invarianza.
E invece mi sono sbagliato, vi sono anche “pentagoni paralleli” non simmetrici.
Per capirlo ho dovuto fare un pò di ricerche in rete per istruirmi sull’argomento.
Ho scoperto che, (cito testualmente):
“La trasformazione geometrica di una figura piana che mantiene il parallelismo dei segmenti e delle rette è detta affinità o trasformazione affine.”
Ho quindi chiesto di fornirmi un programma in Python3 che producesse trasformazioni affini di un pentagono regolare.
Fornisco il codice del programma che ho ottenuto:
https://drive.google.com/file/d/1xV3-66eQ7fiKqWSAIfTPwlfT6FMcX7WP/view?usp=sharing
Nel documentare il programma mi viene detto (cito testualmente):
Una trasformazione affine in ℝ² è una funzione del tipo: x̂ → x̂ + b̂
dove:
– è una matrice 2×2 (può includere rotazioni, riflessioni, omotetie, tagli ecc.);⃗
– b̂ è un vettore di traslazione.
Il programma utilizza questi due parametri al fine, variandoli, di ottenere le trasformazioni affini volute.
Ho provato a “giocarci un. pò” e sono venuti fuori “pentagoni paralleli” di tutti i tipi.
Ne mostro uno di esempio che ho riprodotto con GeoGebra:
https://drive.google.com/file/d/1dy0c-BKBaHamcx13OOOVvkVy8-tQ_QwI/view?usp=sharing
Non sono riuscito a trovare un metodo, tipo quello che o usato con i pentagoni simmetrici, per costruire con GeoGebra questi altri “pentagoni paralleli” partendo dai loro angoli.
Mi viene il dubbio, però, che, essendo il problema un “Quick & Dirty”, vi sia qualcosa di più semplice per mostrare che esistono “pentagoni paralleli” non regolari.
Mostro come ho costruito il pentagono parallelo che ho postato.
Inizio definendo gli angoli interni del pentagono ABCDE
(disposto con il vertice A in alto e la base CD in basso).
La chiave è la scelta di angoli che diano una simmetria assiale
(rispetto a un asse verticale che passa per il vertice A).
Scelgo l’angolo al vertice superiore (∠A) di 132∘.
Scelgo gli angoli dei due vertici alla base (∠C e ∠D) di 118∘
Calcola i restanti due angoli (∠B e ∠E):
– 540∘ − ∠A − (∠C+∠D) =
– 540∘ − 132∘ − (118∘+118∘) =
– 540∘ − 132∘ − 236∘ = 172∘
– quindi ∠B = ∠E = 172∘/2 = 86∘.
Questa fase determina la forma angolare precisa del pentagono: 132∘,86∘,118∘,118∘,86∘.
La simmetria assiale che ne deriva implica che:
– i lati opposti rispetto all’asse verticale hanno lunghezze uguali
(AB=AE e BC=ED).
Un pentagono è definito “parallelo” se:
– ciascuna delle sue diagonali è parallela al lato opposto.
Per il pentagono simmetrico che costruisco deve, quindi, valere che:
• la diagonale BE è parallela al lato CD (la base)
• la diagonale AC è parallela al lato DE
• la diagonale AD è parallela al lato BC
(Le ultime due condizioni sono equivalenti per simmetria).
Per costruire il pentagono, devo dedurre angoli specifici
(che permettano di posizionare i vertici in modo preciso):
• Angoli del triangolo superiore (△ABE):
Il triangolo △ABE è isoscele (AB=AE)
(e ha l’angolo al vertice ∠A=132∘).
Gli angoli alla base di questo triangolo sono:
∠ABE = ∠AEB = (180∘−132∘)/2 = 48∘/2 = 24∘.
• Angoli all’incrocio delle diagonali:
il punto X è dove la diagonale AC interseca la diagonale BE.
Le condizioni di parallelismo determinano l’angolo in X:
– so che ∠CDE=118∘: è l’angolo è formato dai lati CD e DE.
– Poiché la diagonale AC è parallela al lato DE (AC∥DE)
e la diagonale BE è parallela al lato CD (BE∥CD),
queste due coppie di rette parallele creano un parallelogramma.
Quindi l’angolo formato dall’incrocio delle diagonali,
ovvero ∠AXB, deve essere uguale all’angolo ∠CDE=118∘.
Per simmetria, l’angolo ∠CXE sarà anch’esso 118∘.
• Angoli del triangolo laterale (△ABC):
Ora so che:
– ∠ABC=86∘ (calcolato all’inizio)
– ∠BAC = ∠BAX; si ottiene dal triangolo △ABX:
∠BAC = 180∘−∠ABE(24∘) − ∠AXB(118∘) = 180∘−24∘−118∘ = 38∘
– ∠BCA = 180∘−∠BAC(38∘)−∠ABC(86∘) = 180∘−38∘−86∘ = 56∘
(questo angolo di 56∘ è fondamentale per la costruzione).
Con gli angoli interni del pentagono e gli angoli ∠BCA=∠CDB = 56∘
posso costruire il pentagono in modo preciso:
1. posiziono la base:
– definisci il lato base CD
(scelgo la lunghezza e posizione sull’asse orizzontale)
2. trovo il vertice superiore (A):
– dal vertice C, traccia una retta con un angolo di 56∘
(rispetto al lato CD verso l’interno del pentagono)
– questa retta rappresenta la diagonale AC
– dal vertice D, traccia una retta simmetrica
(anch’essa ha l’angolo di 56∘ rispetto al lato CD
– questa retta rappresenta la diagonale AD
– il punto di intersezione delle due rette è il vertice A
– questo vertice si trova sull’asse di simmetria verticale.
3. trovo i vertici intermedi (B e E):
– dall’asse di simmetria verticale passante per A,
traccio due rette di angolo 132∘/2 = 66∘
(rispetto all’asse, una a sinistra e una a destra)
– queste rette rappresentano i lati AB ed AE
– dal vertice D traccio una retta di angolo 118∘
(rispetto al lato CD verso l’interno del pentagono)
– questa retta rappresenta il lato DE
– l’intersezione del lato AE e del lato DE è il vertice E
– il vertice B si trova per simmetria sull’asse verticale.
Il pentagono soddisfa tutte le condizioni di parallelismo necessarie.
Questo metodo dimostra l’esistenza di pentagoni paralleli non regolari.
Fornisce anche una procedura per tutti gli altri pentagoni paralleli.
Ipotizzo che la simmetria sull’asse verticale sia indispensabile.
Non sono stato in grado, però, di provare questa mia affermazione.
Mi pare che le condizioni di “parallelismo” impongano tale simmetria.
https://drive.google.com/file/d/1KeEq7KGQ_icQ76HF1EV3hfOuyJvJM56r/view?usp=sharing
L’ho ottenuto con GeoGebra “schiacciando” l’angolo in alto di 108° per portarlo a 132°.
Ho tentato di trovare come calcolare gli altri angoli di tali triangoli, senza sfruttare le funzioni di GeoGebra (costruzione di rette parallele, adattamento degli oggetti creati a posizioni definite come punti riflessioni …, …) partendo da quello in alto che nel caso che ho costruito ho impostato a 132°, ma non vi sono riuscito.
Qualcuno a delle idee?