Quasi sempre, chi ama la matematica – e noi partiamo dal presupposto che chi si trova a leggere questo post, su questo blog, ospitato da questo sito, ami la matematica – ama inevitabilmente anche le definizioni chiare, le parole ben precise, i concetti chiaramente delineati, e – forse ancora più di tutto il resto – la precisa delimitazione del contesto, l’insieme di esistenza. Ecco, se questo è vero siamo nei guai, perché faremo una gran fatica a spiegare come funzionano i post come questo. La difficoltà sta principalmente nel fatto che questo è un post nuovo, il primo post della sua categoria in questo blog che è peraltro esso stesso nuovo, eppure è anche la prosecuzione di una serie di post che svolgevano (altrove) la stessa funzione da sedici anni. Ne segue che è già difficile capire se questo post sia di tipo nuovo o vecchio come il cucco, perché è entrambe le cose. Sarà sperabilmente letto sia da persone che già ne conoscevano la funzione e lo scopo, sia da persone che, magari capitate qui per caso, avrebbero davvero bisogno almeno di una spiegazione di massima. E poi, tanto per complicare ulteriormente le cose, abbiamo cambiato qualche regola anche rispetto al passato – quel passato che è del tutto sconosciuto a qualche lettore, e che pertanto non se ne accorgerà neppure – e che invece potrebbe mettere in imbarazzo i vecchi lettori, abituati ad altri meccanismi. Bel disastro di definizione, vero?
Facciamola più breve e più semplice, come viene viene, che è meglio. Da più di tre lustri teniamo una rubrica sulla nota rivista Le Scienze; rubrica in cui raccontiamo sciocchezze e, nel raccontarle, infiliamo un problema di matematica. La soluzione al problema proposto viene esposta, in maniera abbastanza rapida e sintetica, nel numero successivo della rivista stessa; però veniva anche raccontata, in forma più estesa e soprattutto accessibile ai commenti dei lettori, su un blog messo a disposizione sempre da Le Scienze. Poi però quel blog è stato chiuso.
La situazione è quindi diventata la seguente: i problemi su Le Scienze (rivista cartacea) continuano ad essere pubblicati. In sostituzione del blog, Le Scienze ci ha riservato una pagina del sito in cui ogni mese pubblicheremo un articolo che mostra una soluzione più estesa e articolata di quella che si può trovare sul numero successivo della rivista cartacea. Però un articolo su un sito non consente a chi legge di commentare, e soprattutto di proporre soluzioni migliori di quelle proposte da quei tre cialtroni dei Rudi Mathematici; questo qui invece è un blog (grazie ancora, MaddMaths!) e qui si può commentare, argomentare, e prendere in giro i tre cialtroni summenzionati. Ecco a cosa servono i post di questa categoria.
Tutto chiaro? Siamo sicuri di no. Quindi poche storie: come nelle migliori tradizioni delle lezioni liceali di trigonometria, a una confusa spiegazione occorre far seguire subito un esercizio, e lo facciamo subito. Nel caso siate colpevolmente ignari del problema che abbiamo proposto nel numero di Ottobre di Le Scienze, ecco di seguito un breve riassunto, senza tutta la magnifica sceneggiatura che ci inventiamo ogni mese:
Partendo da un poligono regolare, definiamo come “punti notevoli” i vertici e i punti medi dei lati. Si deve quindi scegliere un solo “punto notevole” per lato; insomma o il punto mediano o un vertice, mai entrambi, girando attorno al poligono in senso orario. Una volta scelti i punti, si deve unirli uno dopo l’altro, generando così un nuovo poligono, ovviamente meno esteso del poligono di partenza. Stabilire quante sono le diverse possibili configurazioni “poligonali” che si possono ottenere procedendo in questo modo.
Certo, se vi foste dati la pena di leggere la rubrica vera e propria, avreste avuto qualche difficoltà in più, perché siamo soliti scrivere i problemi in maniera così astrusa e nebbiosa che il lavoro maggiore per i bravi solutori è capire cosa caspita stiamo chiedendo. Ma a parte queste amenità, il problema del mese di Ottobre è questo qua sopra. Cosa ne volete fare, adesso?
Beh, potreste volerlo risolvere proprio adesso, magari. O magari non vi importa di sforzarvi, e volete sapere subito quale sia la soluzione, e come ci si arriva. O forse lo avete già risolto, perché avete letto a inizio mese il problema e lo avete risolto già da quattro settimane. Se non lo avete risolto, il nostro inevitabile consiglio è quello di provarci: siamo famosi per rompere le scatole al prossimo con problemini di matematica ricreativa, se voi non provate a risolverne nessuno, noi finiamo disoccupati in un battibaleno. Ma la libertà innanzitutto, diciamo noi; e quindi, visto che questi post della serie “I Problemi di Le Scienze” usciranno sempre dopo che è stato pubblicato sul sito di Le Scienze l’articolo in cui raccontiamo la nostra versione della soluzione (“nostra” per modo di dire… la copiamo sempre da qualcuno più bravo), qui trovate il link all’articolo in cui raccontiamo cosa ne pensiamo noi:
la soluzione del problema secondo i Rudi Mathematici è pubblicata qui.
E adesso? Beh, adesso è tutto da decidere, no? Potreste non voler andare a leggere la soluzione, ma essere curiosi di mostrare al mondo cosa avete trovato voi: bene, qua sotto c’è lo spazio per i commenti, postate la vostra soluzione. Oppure avete risolto il problema, avete letto la soluzione, e vi pare che la vostra maniera di risoluzione sia più semplice, o più bella, o diversa; bene, scrivetela. Oppure vi serve un chiarimento, nel problema o nella soluzione: bene, chiedetela, lo spazio dei commenti è fatto apposta. Oppure oppure oppure…
I lettori che ci conoscono già noteranno una certa differenza tra questo modo d’agire e quello che usavamo prima. Questo perché prima preparavamo un post (un lungo, complicato, laboriosissimo post, a dire il vero) in cui mettevamo insieme alcune delle soluzioni ricevute. Ma questo comporta che noi ci si debba eleggere a giudici, in qualche modo, e la cosa non ci piace tanto. E ormai, con la tecnologia abbastanza diversa da quella di tre lustri fa, siamo certi che i solutori sanno come postare le loro soluzioni. E anche i commenti, le discussioni, le osservazioni.
Ho interpretato diversamente le regole del problema per come erano esposte su “le Scienze”.
A mio avviso non erano permessi lati del poligoni interno che univano due vertici di quello esterno distanziati da un altro vertice.
E’ risultata una successione “tipo Fibonacci”; fornisco il link del documento che avevo inviato ai Nostri:
Questa è la soluzione che avevo inviata non sapendo ancora della chiusura del blog:
la successione delle configurazioni possibili per ogni “aiuola poligonale” ha la stessa relazione ricorsiva della successione di Fibonacci ma con valori iniziali diversi: L1=1 e L2=3 (cioè una successione di Lucas: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, …… ).
Indicando con n il numero dei vertici del poligono, con Cn il numero delle possibili configurazioni e con Ln l’ennesimo termine della successione di Lucas, avremo quindi:
Cn = Ln = Ln-2 + Ln-1
All’interno delle parentesi sono riportati i numeri relativi a tutte le possibili configurazioni ottenute scegliendo, nel poligono di n lati, di volta in volta (rispettando le regole): 0, 1, 2, 3, … ,k (con k ≤ n/2) vertici.
n=1 (degenera in un punto) C1 = L1=1 (un solo fiore)
n=2 (degenera in un segmento) C2 = L2=3 (1, 2: un fiore in uno dei due estremi o nel punto medio)
n=3 (triangolo) C3 = L3= L1 + L2 = 1+3=4 (1, 3)
n=4 (quadrato) C4= L4= L2 + L3 = 3+4=7 (1, 4, 2)
n=5 (pentagono) C5= L5= L3 + L4 = 4 +7=11 (1, 5, 5)
n=6 (esagono) C6= L6= L4 + L5= 7 +11=18 (1, 6, 9, 2)
n=7 (ettagono) C7= L7= L5 + L6 = 11 +18= 29 (1, 7,14, 7)
n=8 (ottagono) C8= L8= L6 + L7 = 18 +29= 47 (1, 8, 20, 16, 2)
n=9 (ennagono) C9= L9= L7 + L8 = 29+ 47= 76 (1, 9, 27, 30, 9)
n=10 (decagono) C10= L10= L8 + L9 = 47 +76= 123 (1, 10, 5, 50, 25, 2)
………………………..
La ricorsività può essere spiegata in questo modo:
Indicato con c(n, k) il numero delle configurazioni del poligono di n lati quando vengono scelti (rispettando le regole) k vertici (k ≤ n/2), lo scomponiamo in due “sottopoligoni”:
– consideriamo prima il poligono con n-1 lati (ottenuto “saltando” un vertice) e calcoliamo c(n-1, k);
– successivamente prendiamo uno dei due poligoni con n-2 lati (ottenuto escludendo il vertice consecutivo a quello saltato precedentemente – con un disegno sarei stato più chiaro) e calcoliamo c(n-2, k-1)
– si ottiene:
c(n, k)= c(n-1, k)+ c(n-2, k-1)
Questa relazione si può osservare facilmente dalla tabella riportata sopra (è presente un esempio in grassetto).
Inoltre, indicando con Fi l’iesimo termine di Fibonacci (1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…..), si può arrivare partendo dalla tabella, con dei semplici calcoli, ad un’altra formulazione per il numero delle configurazioni
Cn = Fi-1∙4+ Fi∙7
C3=4, C4=7
C5 = F1∙4+ F2∙7= 1∙4+ 1∙7=11
C6 = F2∙4+ F3∙7= 1∙4+ 2∙7=18
C7 = F3∙4+ F4∙7= 2∙4+ 3∙7=29
C8 = F4∙4+ F5∙7= 3∙4+ 5∙7=47
……………………..
P.S. Visto che parliamo di fiori e piante, in molti casi la fillotassi (cioè la disciplina che si occupa della disposizione delle foglie su un fusto) implica la successione di Lucas 1, 3, 4, 7, 11, . . .
Ma se vogliamo fare un bel regalo a Treccia possiamo sempre progettare due aiuole concentriche con Cn e Cn+1 configurazioni: lavoreremo di più ma l’avremo omaggiata di un bel giardino statico, dinamico ma anche aureo!
Primo a commentare il primo post dei nostri Magnifici 3 del primo del mese nel loro nuovo accogliente rifugio. (per la soluzione lascio andare gli altri in avanscoperta… era più che altro per vedere se mi tiene il Cookie 🙂 )
Vediamo come funziona? Non so…parte dell’interesse nel risolvere i problemi, o tentare di risolverli, risiedeva nei vostri commenti e nel confrontarsi con l’elaborato degli altri lettori.
Passando al problema di ottobre ero arrivato alla sequenza di Fibonacci ma con un percorso diverso da quello della vostra soluzione. Provo a scriverla qui riportando quanto inviatovi in precedenza:
Diciamo subito che c’è di mezzo la serie di Fibonacci.
Dato un poligono regolare di n lati si devono calcolare il numero di tutti i possibili poligoni inscritti con vertici definiti secondo le regole stabilite dal problema differenti per struttura e/o per rotazione. Secondo tali regole in un poligono di n lati i poligoni inscritti possono avere un numero di lati che va da n, nel caso che tutti i vertici coincidano con il punto medio dei lati del poligono iniziale, a n:2 se n è pari oppure (n+1):2 se n è dispari, nel caso che alcuni oppure tutti i vertici coincidano con alcuni dei vertici del poligono iniziale.
Ad esempio partendo da un poligono iniziale di 6 lati si possono avere poligoni di 3,4,5,6 lati; considerando quelli di 4 lati si nota che devono avere 2 vertici (che indichiamo con m) nel punto medio di due lati del poligono iniziale e 2 (che indichiamo con v) in due vertici di tale poligono. In questo caso le configurazioni base, cioè senza considerare le rotazioni, sono due:
(1) la configurazione è m m v v
(2) la configurazione è m v m v
considerando le rotazioni la configurazione (1) porta a 6 configurazioni diverse, la configurazione (2) a 3 configurazioni diverse per un totale di 9.
Effettuando i conteggi anche per il caso 3, 5, 6 lati si arriva ad un totale di 18 configurazioni possibili a partire da un poligono iniziale di 6.
Più in generale dato un poligono iniziale di n lati i poligoni di i lati che si ricavano hanno (n-i) vertici di tipo v e (2i-n) di tipo m. Considerando le possibili permutazioni circolari di i elementi, le possibili n rotazioni e che gli elementi di tipo v così come quelli di tipo m sono uguali tra loro si ricava che il numero delle possibili configurazioni è
Config(n/i) = (n(i -1)!):((n – i)!(2i – n)!)
Si osserva poi che tale valore è uguale alla somma delle configurazioni possibili di (i – 1) lati ottenibili dai due poligoni iniziali di (n-2) e di (n-1) lati, cioè
Config(n/i) = Config(n-2/i-1) + Config(n-1/i-1) ovvero
Ripetendo tali considerazioni per tutti i valori di i si ottiene che il totale delle configurazioni possibili ricavabili da un poligono iniziale di n lati è pari alla somma di quelle ricavabili dai poligoni iniziali di (n-2) e (n-1) lati, ovvero
TotConfg(n) = TotConfig(n-2) + TotConfig(n-1).
Si ricava subito per n = 3 e = 4 (considerando anche le configurazioni che degenerano in una linea):
TotConfig(3) = 4 , TotConfig(4) = 7 e da questi i successivi valori:
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Ho interpretato diversamente le regole del problema per come erano esposte su “le Scienze”.
A mio avviso non erano permessi lati del poligoni interno che univano due vertici di quello esterno distanziati da un altro vertice.
E’ risultata una successione “tipo Fibonacci”; fornisco il link del documento che avevo inviato ai Nostri:
https://docs.google.com/document/d/1dQxMHSZSSkmTJixoKM1GJiskImgMEvIc/edit?usp=sharing&ouid=117564311960738395185&rtpof=true&sd=true
Mi veniva difficile inserirlo direttamente in quanto vi sono alcuni file e immagini allegati.
Questa è la soluzione che avevo inviata non sapendo ancora della chiusura del blog:
la successione delle configurazioni possibili per ogni “aiuola poligonale” ha la stessa relazione ricorsiva della successione di Fibonacci ma con valori iniziali diversi: L1=1 e L2=3 (cioè una successione di Lucas: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, …… ).
Indicando con n il numero dei vertici del poligono, con Cn il numero delle possibili configurazioni e con Ln l’ennesimo termine della successione di Lucas, avremo quindi:
Cn = Ln = Ln-2 + Ln-1
All’interno delle parentesi sono riportati i numeri relativi a tutte le possibili configurazioni ottenute scegliendo, nel poligono di n lati, di volta in volta (rispettando le regole): 0, 1, 2, 3, … ,k (con k ≤ n/2) vertici.
n=1 (degenera in un punto) C1 = L1=1 (un solo fiore)
n=2 (degenera in un segmento) C2 = L2=3 (1, 2: un fiore in uno dei due estremi o nel punto medio)
n=3 (triangolo) C3 = L3= L1 + L2 = 1+3=4 (1, 3)
n=4 (quadrato) C4= L4= L2 + L3 = 3+4=7 (1, 4, 2)
n=5 (pentagono) C5= L5= L3 + L4 = 4 +7=11 (1, 5, 5)
n=6 (esagono) C6= L6= L4 + L5= 7 +11=18 (1, 6, 9, 2)
n=7 (ettagono) C7= L7= L5 + L6 = 11 +18= 29 (1, 7,14, 7)
n=8 (ottagono) C8= L8= L6 + L7 = 18 +29= 47 (1, 8, 20, 16, 2)
n=9 (ennagono) C9= L9= L7 + L8 = 29+ 47= 76 (1, 9, 27, 30, 9)
n=10 (decagono) C10= L10= L8 + L9 = 47 +76= 123 (1, 10, 5, 50, 25, 2)
………………………..
La ricorsività può essere spiegata in questo modo:
Indicato con c(n, k) il numero delle configurazioni del poligono di n lati quando vengono scelti (rispettando le regole) k vertici (k ≤ n/2), lo scomponiamo in due “sottopoligoni”:
– consideriamo prima il poligono con n-1 lati (ottenuto “saltando” un vertice) e calcoliamo c(n-1, k);
– successivamente prendiamo uno dei due poligoni con n-2 lati (ottenuto escludendo il vertice consecutivo a quello saltato precedentemente – con un disegno sarei stato più chiaro) e calcoliamo c(n-2, k-1)
– si ottiene:
c(n, k)= c(n-1, k)+ c(n-2, k-1)
Questa relazione si può osservare facilmente dalla tabella riportata sopra (è presente un esempio in grassetto).
Inoltre, indicando con Fi l’iesimo termine di Fibonacci (1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…..), si può arrivare partendo dalla tabella, con dei semplici calcoli, ad un’altra formulazione per il numero delle configurazioni
Cn = Fi-1∙4+ Fi∙7
C3=4, C4=7
C5 = F1∙4+ F2∙7= 1∙4+ 1∙7=11
C6 = F2∙4+ F3∙7= 1∙4+ 2∙7=18
C7 = F3∙4+ F4∙7= 2∙4+ 3∙7=29
C8 = F4∙4+ F5∙7= 3∙4+ 5∙7=47
……………………..
P.S. Visto che parliamo di fiori e piante, in molti casi la fillotassi (cioè la disciplina che si occupa della disposizione delle foglie su un fusto) implica la successione di Lucas 1, 3, 4, 7, 11, . . .
Ma se vogliamo fare un bel regalo a Treccia possiamo sempre progettare due aiuole concentriche con Cn e Cn+1 configurazioni: lavoreremo di più ma l’avremo omaggiata di un bel giardino statico, dinamico ma anche aureo!
Il mio primo commento super anodino dritto in moderazione!
Primo a commentare il primo post dei nostri Magnifici 3 del primo del mese nel loro nuovo accogliente rifugio. (per la soluzione lascio andare gli altri in avanscoperta… era più che altro per vedere se mi tiene il Cookie 🙂 )
Vediamo come funziona? Non so…parte dell’interesse nel risolvere i problemi, o tentare di risolverli, risiedeva nei vostri commenti e nel confrontarsi con l’elaborato degli altri lettori.
Passando al problema di ottobre ero arrivato alla sequenza di Fibonacci ma con un percorso diverso da quello della vostra soluzione. Provo a scriverla qui riportando quanto inviatovi in precedenza:
Diciamo subito che c’è di mezzo la serie di Fibonacci.
Dato un poligono regolare di n lati si devono calcolare il numero di tutti i possibili poligoni inscritti con vertici definiti secondo le regole stabilite dal problema differenti per struttura e/o per rotazione. Secondo tali regole in un poligono di n lati i poligoni inscritti possono avere un numero di lati che va da n, nel caso che tutti i vertici coincidano con il punto medio dei lati del poligono iniziale, a n:2 se n è pari oppure (n+1):2 se n è dispari, nel caso che alcuni oppure tutti i vertici coincidano con alcuni dei vertici del poligono iniziale.
Ad esempio partendo da un poligono iniziale di 6 lati si possono avere poligoni di 3,4,5,6 lati; considerando quelli di 4 lati si nota che devono avere 2 vertici (che indichiamo con m) nel punto medio di due lati del poligono iniziale e 2 (che indichiamo con v) in due vertici di tale poligono. In questo caso le configurazioni base, cioè senza considerare le rotazioni, sono due:
(1) la configurazione è m m v v
(2) la configurazione è m v m v
considerando le rotazioni la configurazione (1) porta a 6 configurazioni diverse, la configurazione (2) a 3 configurazioni diverse per un totale di 9.
Effettuando i conteggi anche per il caso 3, 5, 6 lati si arriva ad un totale di 18 configurazioni possibili a partire da un poligono iniziale di 6.
Più in generale dato un poligono iniziale di n lati i poligoni di i lati che si ricavano hanno (n-i) vertici di tipo v e (2i-n) di tipo m. Considerando le possibili permutazioni circolari di i elementi, le possibili n rotazioni e che gli elementi di tipo v così come quelli di tipo m sono uguali tra loro si ricava che il numero delle possibili configurazioni è
Config(n/i) = (n(i -1)!):((n – i)!(2i – n)!)
Si osserva poi che tale valore è uguale alla somma delle configurazioni possibili di (i – 1) lati ottenibili dai due poligoni iniziali di (n-2) e di (n-1) lati, cioè
Config(n/i) = Config(n-2/i-1) + Config(n-1/i-1) ovvero
(n(i -1)!):((n – i)!(2i – n)!) = ((n-2)(i-2)!):((n-i-1)!(2i-n)!) + ((n-1)(i – 2)!):((n – i)!(2i-n-1)!)
Ripetendo tali considerazioni per tutti i valori di i si ottiene che il totale delle configurazioni possibili ricavabili da un poligono iniziale di n lati è pari alla somma di quelle ricavabili dai poligoni iniziali di (n-2) e (n-1) lati, ovvero
TotConfg(n) = TotConfig(n-2) + TotConfig(n-1).
Si ricava subito per n = 3 e = 4 (considerando anche le configurazioni che degenerano in una linea):
TotConfig(3) = 4 , TotConfig(4) = 7 e da questi i successivi valori:
TC(5) = 11 ; TC(6) = 18 ; TC(7) = 29 ; TC(8) = 47 ecc.
ClaudioDC