Possono strategie perdenti diventare vincenti? Sì, se combinate nel giusto modo. È il paradosso di Parrondo. Ce ne parla Marco Menale per La Lente Matematica.

Se non vinci, non conviene. Se non arrivi primo, non conviene. Nell’attuale società della velocità e dei risultati, ciò che non porta alla vittoria, subito, va rifiutato. Perdere è necessariamente la conseguenza di una strategia sbagliata. Eppure, le cose non stanno proprio così: strategie perdenti gestite in un certo modo possono rivelarsi vincenti. È la curiosa storia del paradosso di Parrondo.

Juan Manuel Rodríguez Parrondo è un fisico spagnolo e si occupa di approccio termodinamico all’informatica. È noto soprattutto per il paradosso, che porta ora il suo nome, del 1996. Spoiler prima della matematica: combinare due strategie perdenti può portare a una vincente. Non è solo un risultato teorico: i risvolti hanno sperdenti implicazioni.

Passiamo alla matematica. Partiamo da due giochi, chiamiamoli \(A\) e \(B\) (Figura 1).

Il primo gioco, \(A\), consiste nel classico lancio di una moneta. Si vince \(1\)€ indovinando l’uscita, altrimenti lo si perde. Però, c’è un’insidia. La moneta è truccata con una probabilità di vittoria del \(49,5\%\). Quindi, il valore atteso è di \(-0,01\)€.  A lungo andare siamo destinati a perdere a questo primo gioco.

Il gioco \(B\) è più elaborato ed è basato su due “ruote della fortuna”. In particolare, si gira l’una o l’altra a seconda del denaro che abbiamo in funzione del gioco \(A\). Se il nostro capitale è multiplo di \(3\), allora si gira la ruota con solo il \(9,5\%\) di probabilità di vittoria. Altrimenti, si gira la ruota giusta, quella con il \(74,5\%\) di probabilità di vittoria. Bella, no, questa seconda probabilità? Saremmo portati a prima vista a valutare vantaggioso il gioco \(B\); beh, ci sbagliamo. Si dimostra che la probabilità di trovarci nel primo caso, quello meno buono, è significativamente superiore a \(1/3\). Utilizzando le catene di Markov, si prova che il guadagno medio del gioco \(B\) è \(0,49565−0,50435=−0,0087\)€. Anche questo gioco è a perdere.

Figura 1. La struttura dei giochi \(A\) e \(B\). Fonte: A Mathematical Paradox Shows How Combining Losing Strategies Can Create a Win.

È qui che si realizza il paradosso. Se alterniamo due turni del gioco \(A\) con due del gioco \(B\) arriviamo a un guadagno medio di \(1,48\) centesimi. Non più negativo, ma positivo, ossia da due giochi perdenti ne abbiamo ricavato uno vincente. E se a ogni turno di \(A\) ne facciamo due di \(B\), il guadagno medio sale a \(5,8\) centesimi. Anche una scelta del tutto casuale tra i due giochi, come lanciare una moneta per decidere, porta comunque a un risultato favorevole, con una vincita media di \(1,47\) centesimi.

Siete sconvolti? Ebbene, non è stregoneria. La spiegazione è che i due giochi non sono indipendenti tra loro, ma si influenzano reciprocamente. Il gioco \(B\) si basa su come sta andando il gioco \(A\). È in questa dipendenza tra i due giochi perdenti che combinandoli ne viene fuori uno vincente.

Potrebbe sembrare solo un esercizio teorico, eppure questo paradosso trova applicazioni inaspettate. Nell’articolo “Parrondo’s paradox in tumor ecosystems: Adaptive therapy strategies to delay the development of drug resistance”, tre ricercatori mostrano che alternare due strategie di chemioterapia può migliorare l’efficacia complessiva di trattamento di un tumore. Nella pratica clinica, infatti, i pazienti vengono trattati in due modi opposti: o con dosi massime a intervalli regolari, che rischiano di generare cellule tumorali resistenti, oppure

con dosi continue ma basse, tuttavia non abbastanza forti da eliminare nel breve il tumore. Guardando questi due trattamenti come i due giochi \(A\) e \(B\), i ricercatori dimostrano che alternando nel tempo i due trattamenti si possono ottenere risultati migliori di ciascuno preso singolarmente. Proprio come nel paradosso di Parrondo, è nella sinergia che la strategia può diventare vincente. Anche contro un tumore.

Marco Menale