Sentiamo tanto parlare di inflazione. È uno degli argomenti che torna più volte nel corso dell’anno. Ma perché è tanto importante per le nostre vite e i nostri portafogli? Ce ne parla Marco Menale per La Lente Matematica.

La parola inflazione accompagna ciclicamente il racconto dei fatti. Da qualche anno a questa parte sembra diventata la formula per assolvere e spiegare quanto succede. “Eh vabbè è l’inflazione”. È sempre per colpa dell’inflazione che diventa più caro il famigerato carrello della spesa. Fino ad arrivare agli stipendi italiani che un po’ aumentano, ma non così tanto da tener testa alla temuta inflazione. Proviamo a vedere come si collegano tra loro queste cose usando un po’ di matematica, fino a capire quanto sia inevitabile tutto ciò.

Piccola premessa. Questo articolo non intende essere un manuale di economia, qualsiasi cosa possa significare. È una guida matematica per capirne un po’ più e avere (si spera!) le idee più chiare.

In breve. L’inflazione misura di quanto aumenta nel tempo il livello generale dei prezzi. Se indichiamo con \(p(t)\) il livello dei prezzi, allora l’inflazione è il tasso con cui questa grandezza cresce. Quando \(p(t)\) aumenta, il potere d’acquisto della moneta diminuisce: con la stessa somma possiamo comprare meno beni e servizi.

Proviamo a chiarire le cose con qualche formula, non troppo complicata. Supponiamo di avere un’inflazione annua \(i\). Per quanto detto il potere di acquisto di un singolo euro dopo \(t\) anni, con \(t\) numero intero, evolve come

\[P(t)=\frac{1}{(1+i)^t}.\]

Si tratta di un’inevitabile decrescita nel tempo del potere di acquisto. Ogni anno il nostro euro perde una percentuale del valore che rimane, non del valore iniziale. L’effetto si amplifica nel tempo. Per esempio, con un’inflazione del \(5\%\) l’anno, dopo \(10\) anni si ha

\[P(10)=\frac{1}{(1+0,05)^{10}}\approx 0,61.\]

In pratica, dopo \(10\) anni, il potere di acquisto di un singolo euro si è ridotto a \(0,61\). E   \(100\) euro ne varranno solo \(61\). Quindi, anche un’inflazione che può sembrare piccola amplifica i suoi effetti eccome nei nostri portafogli.

Qualcosa di simile vale per gli stipendi. Se la retribuzione non cambia mentre i prezzi salgono, il valore reale evolve secondo

\[S_r(t)=\frac{S}{(1+i)^t}.\]

Ancora una legge di decrescita. Quindi, con uno stipendio di \(1500\) euro al mese, ma inflazione al \(5\%\), dopo \(10 anni\) si ha

\[S_r(t)=\frac{1500}{(1+0,05)^10}\approx 915.\]

In \(10\) anni abbiamo perso quasi \(600\) euro di potere d’acquisto con il nostro stipendio. La cifra in busta paga non cambia, ma ciò che si può acquistare con quella cifra sì, e la matematica lo mostra chiaramente.

A questo punto, se in un paese gli stipendi crescono di un fattore \(g\) e l’inflazione di uno \(i\), a descrivere l’evoluzione del valore reali degli stipendi è il rapporto

\[\frac{1+g}{1+i}.\]

Se è maggiore o uguale a 1, il potere d’acquisto si mantiene; se è minore di 1, diminuisce. Non è un dettaglio tecnico: è una fotografia immediata di quello che accade nella vita quotidiana. In pratica, quando i prezzi crescono più velocemente degli stipendi, il salario reale scende anche se la cifra in busta paga rimane (o addirittura sembra) più alta. Al contrario, quando \(g\) eguaglia o supera \(i\), il potere d’acquisto resiste.

Queste presentate sono solo delle formule per dare una prima idea. Per essere più precisi, ma solo come inizio, l’inflazione è la derivata logaritmica del livello dei prezzi, ossia

\[i(t)=\frac{\dot{p}(t)}{p(t)},\]

perché la grandezza è continua È un modo elegante per dire che l’inflazione misura la velocità relativa con cui i prezzi crescono. Se questa velocità resta costante, i prezzi aumentano in modo esponenziale, e il potere d’acquisto diminuisce con la stessa regolarità. Proprio come nel caso discreto.

In definitiva, l’inflazione erode i nostri stipendi e, quindi, il potere d’acquisto. Non c’è soluzione che aumentare gli stipendi in linea con essa, ammesso che non si voglia vedere persone sempre più povere. La matematica non entra nel merito economico o politico: semplicemente quantifica un equilibrio. O, come ben vediamo noi in Italia, uno squilibrio.