XXXIII millennio, Universo di Brall. Mercanti assetati di ricchezza e prestigio percorrono senza sosta uno degli spazi più strani del creato: l’Universo di Brall è un Piano Proiettivo, uno spazio matematico con proprietà uniche. Chi tra i mercanti si dimostrerà più abile a sfruttare a proprio vantaggio le sue caratteristiche otterrà incommensurabili denaro e fama. Ce ne parla l’inventore del gioco, Francesco DI Giorgio.

Vi piacciono i giochi da tavolo? Beh a me molto… e mi piace anche la matematica, quindi, perché non mettere assieme le due cose?

Mercanti del Piano Proiettivo è un gioco da tavolo per appassionati costruito intorno a un concetto matematico: la plancia è infatti un Piano Proiettivo, uno spazio con proprietà uniche (Fig.1).

I giocatori viaggiano con la propria astronave per le regioni in cui l’universo è suddiviso, commerciando risorse e costruendo stabilimenti con l’intento di arricchirsi e acquisire fama.

Il cuore del gioco è il particolare modo di muoversi sulla plancia: si può viaggiare oltre il bordo facendo ribaltare la propria astronave. Per poter giocare efficacemente è necessario saper sfruttare al meglio questa meccanica, così da essere in grado di interagire con gli edifici che interessano della regione in cui ci si trova. La regola non è scelta a caso: è espressione di un importante concetto matematico, quello di superficie non orientabile.

Superfici non orientabili

In matematica vengono chiamate superfici gli spazi con “due gradi di libertà”, ossia quelli dove ci si può muovere in due direzioni indipendenti. La superficie più semplice è il piano, ma lo è anche l’area laterale di un cilindro o di una sfera, o la superficie di una ciambella col buco (Fig.2).

Per rappresentare questi spazi spesso i matematici ricorrono ad uno stratagemma: immaginano di tagliare la superficie e di stenderla su un piano, indicando poi con delle frecce sul bordo lungo quali linee si debba incollare per risalire all’oggetto di partenza.

Facciamo un paio di esempi. Una sfera può essere pensata come un foglio circolare dove il bordo è incollato facendo sovrapporre le due semicirconferenze come indicato nell’immagine (Fig. 3). Quel che otteniamo ha la forma di una sacca, ma è equivalente ad una sfera a meno di un leggero stiramento.

Il concetto di “leggero stiramento” è importante in matematica: due spazi sono considerati equivalenti se è possibile deformare l’uno nell’altro senza tagli o forature.

Per ottenere il cilindro possiamo considerare invece un quadrato e incollare due suoi lati a formare un nastro (Fig.4).

 

 

 

 

 

 

 

Cosa avverrebbe se nella rappresentazione del cilindro invertissimo una delle due frecce? Si otterrebbe un oggetto nuovo, che possiamo anche rappresentare nella realtà. Il nuovo oggetto sarebbe un nastro incollato in maniera inusuale che prende nome di nastro di Moebius (Fig. 5).

Supponiamo ora di fare un esperimento: prendiamo una moneta e collochiamola sul nastro con il lato frontale visibile, facciamole quindi percorrere tutto lo spazio così che completi un giro e ritorni al punto di partenza (Fig. 6). Che cosa succede?

La moneta torna con il lato frontale non più visibile. Facendo un viaggio intorno allo spazio si è ribaltata. Lo spazio con cui stiamo lavorando in questo momento è un esempio di una particolare classe di superfici, quelle non orientabili. Riprendendo gli esempi iniziali di piano, cilindro, sfera e ciambella possiamo colorare con due tinte distinte le loro due facce: è definibile un “dentro” e un “fuori” (Fig. 7). Viceversa, nel caso del nastro di Moebius ciò non è possibile: osservando l’oggetto con attenzione notiamo che ha una faccia sola.

In generale diciamo che una superficie è non orientabile se non è possibile distinguere una faccia interna e una esterna, o equivalentemente se contiene al suo interno un nastro di Moebius.

La plancia di Mercanti del Piano Proiettivo è la rappresentazione piana di una superficie non orientabile, per la precisione un Piano Proiettivo (Fig. 8). In qualsiasi punto si cerchi di uscire dal bordo ci si ritrova dalla parte opposta ribaltati. A differenza del nastro di Moebius, il Piano Proiettivo non è realizzabile nella realtà: se cercassimo di incollare i bordi seguendo la regola prescritta otterremmo un foglio di carta accartocciato. Ciononostante dal punto di vista matematico esiste e si potrebbe realizzare in uno spazio con 4 dimensioni.

In Mercanti del Piano Proiettivo i giocatori provano come sarebbe viaggiare in un universo bidimensionale fatto come un Piano Proiettivo. Nelle varie regioni della plancia sono collocati stabilimenti che producono risorse, ognuno dotato di un proprio verso “O” o “X” e allo stesso modo anche le astronavi dei giocatori hanno un verso. La regola è che è possibile interagire solo con edifici che hanno lo stesso verso della propria astronave per cui acquisire intuizione sul funzionamento dello spazio è essenziale per competere per la vittoria.

Comunicazione della scienza

Le idee matematiche di superficie non orientabile e la struttura del piano proiettivo sono tutt’altro che banali. In Mercanti del Piano Proiettivo i giocatori, anche del tutto digiuni da queste nozioni, si ritrovano a doversi interfacciare con esse avendo la possibilità di acquisire intuizione sul loro funzionamento in maniera informale. L’obiettivo comunicativo del gioco non è rendere i giocatori esperti di geometria quanto creare familiarità con contenuti matematici profondi. Ciò che si va a sviluppare è l’intuizione spaziale per queste strutture non convenzionali, competenza che spesso neanche con un corso frontale si ottiene. I giocatori devono far viaggiare la propria astronave facendo in modo di essere al momento giusto, nel posto giusto e con il verso della propria pedina giusto. In questo modo, il gioco si pone l’obiettivo di divertire, permettendo in parallelo la costruzione di un immaginario di idee matematiche non affatto scontato.

Francesco Di Giorgio

Il gioco è stato realizzato dall’autore come prodotto finale del Master in Comunicazione della Scienza “Franco Prattico” di Trieste, parteciperà al premio Archimede, un concorso per la pubblicazione di giochi da tavolo, e sarà presente sabato 5 aprile al Bologna Play, la principale fiera italiana del gioco da tavolo, tra i prototipi giocabili gratuitamente.