Come nasce la teoria matematica della musica? In che modo l’astrazione dei numeri si scontra con le imperfezioni della realtà fisica? Flavio Ubaldini ci porta per mano alle origini del mito, proponendoci un possibile taglio narrativo anche a scopo didattico per le tante storie esistenti intorno a Pitagora. 

Come nasce la teoria matematica della musica? In che modo l’astrazione dei numeri si scontra con le imperfezioni della realtà fisica? La storia della scuola pitagorica è ricca di aneddoti affascinanti in cui matematica, musica e mito si intrecciano. Ma come si fa a narrare la figura di Pitagora senza cadere nelle trappole della leggenda o commettere errori di acustica? Di recente il divulgatore Paolo Alessandrini mi ha coinvolto in una conversazione con un’insegnante di fisica e autrice di racconti, Cristina Sbarra, e le domanda al centro del nostro confronto erano proprio quest’ultima.

Quando ci si addentra nella storia della scuola pitagorica ci si trova di fronte a una duplice questione: da un lato l’assenza di fonti storiche dirette, dall’altro la necessità di conciliare gli aneddoti tramandati dalla tradizione con i fatti storici e con le leggi dell’acustica. Proviamo ad analizzare alcuni degli snodi più celebri di questo intreccio tra mito, scienza e finzione.

Tra storia e tradizione

Dal punto di vista strettamente storiografico, sulla figura di Pitagora abbiamo pochissime certezze. Non ci è pervenuta alcuna testimonianza scritta da parte dei pitagorici del VI secolo a.C. Le biografie più articolate (come quelle di Giamblico, Porfirio o Diogene Laerzio) risalgono a molti secoli dopo la sua morte, stratificando invenzioni agiografiche e leggende. Nel suo saggio The Cult of Pythagoras: Math and Myths, lo storico della scienza Alberto A. Martínez analizza con grande rigore questo confine, mostrando come persino l’attribuzione del celebre Teorema a Pitagora sia il frutto di un’evoluzione secolare della narrazione piuttosto che di un fatto storicamente documentato.

La certezza storica riguarda l’esistenza della comunità pitagorica, e persino la figura del singolo fondatore rimane avvolta nel mistero.

Questo implica forse che sia impossibile scrivere storie verosimili su Pitagora? Niente affatto. Per un narratore, la tradizione antica, pur con tutti i suoi elementi leggendari, rappresenta una miniera d’oro. Ma è fondamentale filtrare quei racconti e renderli scientificamente coerenti.

Il caso della fucina del fabbro: correggerne la fisica

Uno degli aneddoti più famosi sulla nascita dell’acustica riguarda Pitagora che scopre i rapporti armonici passando davanti alla fucina di un fabbro. Secondo la tradizione antica, Pitagora avrebbe notato che martelli di peso diverso, battendo sull’incudine, producevano suoni di altezza proporzionale al loro peso.
Se analizziamo l’episodio dal punto di vista acustico, ci rendiamo conto che questa narrazione è fisicamente improbabile:

• Le vibrazioni prodotte dalla testa del martello vengono smorzate quasi istantaneamente dal manico e dalla mano del fabbro.
• Il suono che percepiamo è generato quasi interamente dalla vibrazione dell’incudine.
• La dimensione e il peso del martello possono influire sull’ampiezza dell’onda (ovvero sul volume del suono), ma non sulla frequenza (l’altezza della nota).

Sostenere che l’altezza del suono dipenda dal peso del martello sarebbe come sostenere che le note emesse da un pianoforte dipendono dalla stazza dei martelletti anziché dalla lunghezza (tensione e massa) delle corde.

Se si vuole narrare o spiegare quell’episodio mantenendo la verosimiglianza, occorre correggerne la fisica. Si può ad esempio immaginare un Pitagora che conduce esperimenti con i suoi discepoli per dimostrare che la consonanza dipende dalle dimensioni delle incudini (o degli oggetti percossi), smentendo l’ipotesi intuitiva ma errata dell’allievo che attribuiva la nota alla stazza del martello.

Costruire la scala: che cos’è una “quinta” e perché la scala non si chiude?

Per comprendere la grande intuizione attribuita ai Pitagorici occorre fare un passo indietro e guardare a come si costruiscono gli intervalli musicali su una corda tesa (come quella del monocordo). Fisicamente, se dimezziamo la lunghezza di una corda mantenendo la stessa tensione, otteniamo un suono più acuto che chiamiamo ottava (rapporto di frequenza 2:1). Se invece prendiamo i due terzi della corda, otteniamo l’intervallo di quinta giusta (ad esempio Do-Sol, che ha un rapporto di frequenza 3:2).

I Pitagorici cercarono di costruire l’intera scala musicale concatenando tra loro solo intervalli di quinta pura (3:2), nella convinzione filosofica che l’intero cosmo fosse regolato da rapporti tra numeri interi piccoli (la Tetraktys: 1, 2, 3, 4).

L’idea era semplice: partendo da una nota base (es. Do) e salendo di quinta in quinta (Do → Sol → Re → La → Mi…), ci si aspettava che, dopo un certo numero di passaggi, si tornasse esattamente alla nota di partenza, ricollocata qualche ottava più in alto.

In altre parole, si cercava la “chiusura del cerchio“. Avanzando per 12 salti di quinta consecutivi, in termini di altezza musicale ci si trova vicinissimi a 7 ottave sopra la nota di partenza. Tuttavia, i due valori non coincidono affatto^[1]:

• Salire di 12 quinte equivale a moltiplicare la frequenza per \((3/2)^{12}\)
• Salire di 7 ottave equivale a moltiplicare la frequenza per \(2^7\)

Per verificare se le due note coincidono, dovremmo uguagliare i due rapporti:

   \[(3/2)^{12}= 2^7  \Rightarrow 3^{12} = 2^{19}\]

Calcolando i numeri interi:

• \(3^{12} = 531.441\)
• \(2^{19} = 524.288\)

La scala non si chiude. La nota ottenuta con le 12 quinte è fisicamente più alta (più crescente) rispetto alle 7 ottave. Il loro rapporto dà:

531.441/524.288 ≈ 1,0136^[2]

Questo piccolo scarto, pari a circa un quarto di semitono (23,46 cent), è noto come comma pitagorico. Se due note distanti un comma vengono fatte risuonare contemporaneamente, l’orecchio percepisce un’evidente stonatura caratterizzata da battimenti acustici (pulsazioni di ampiezza).

La percezione risulta invece un po’ più difficile se i due suoni vengono ascoltati in successione temporale.

Non è certo se furono proprio i Pitagorici ad accorgersi di questa discrepanza. Ma ci si potrebbe chiedere quale possa essere una ricostruzione verosimile della scoperta: fu un’intuizione acustica nata dalla pratica sul monocordo o una deduzione puramente teorica?

1. Il limite fisico del monocordo
   Riportare sul monocordo 12 quinte pure per confrontarle con 7 ottave (2:1) mediante la sola divisione manuale della corda presenta un limite pratico insuperabile: gli errori inevitabili di misurazione accumulati in 12 passaggi finirebbero per mascherare o falsare lo scarto di 23 centesimi.
2. La dimostrazione aritmetica
   È molto più plausibile che la scoperta sia nata da considerazioni teorico-numeriche simili alle precedenti, espresse attraverso il linguaggio e la teoria delle proporzioni a loro disposizione.
3. La voce umana come controprova?
   Si potrebbe ipotizzare che Pitagora abbia usato la voce umana per verificare la discrepanza, magari pensando inizialmente a un difetto meccanico dello strumento (il ponticello mobile posizionato male, una corda difettosa) e ricostruendo il monocordo più volte.
   Tuttavia, usare la voce come strumento di misura presenta notevoli problemi:

• L’aggiustamento istintivo: la voce tende naturalmente a correggere e smussare le micro-stonature in modo inconscio per far risuonare gli intervalli in modo puro.
• L’accumulo di errore fisiologico: se un cantore intonasse una catena di 12 quinte (riabbassando di volta in volta la nota nell’ottava comoda per non uscire dal proprio registro), le fluttuazioni fisiologiche della voce accumulerebbero un errore nettamente superiore ai 23 centesimi del comma, inficiando la misura.

Possibili soluzioni narrative

Anziché presentare la voce o il monocordo come strumenti di misura perfetti, il narratore potrebbe sfruttare la tensione tra la perfezione dei numeri e l‘imperfezione della realtà fisica:

1. La diatriba filosofica: Dopo la scoperta aritmetica che \(3^{12} \neq 2^{19}\), si potrebbe narrare uno scontro tra la fazione che sostiene la superiorità astratta dei numeri e chi ipotizza un errore materiale o di calcolo, spingendo la scuola a ricercare strumenti di misura sempre più precisi e cantori dotati di orecchio assoluto.
2. La voce come verifica dell’effetto acustico: La voce umana non servirebbe a misurare il comma, ma a mostrare il disagio della stonatura. Pitagora potrebbe accordare due corde sul monocordo (una di riferimento e l’altra ottenuta dopo il calcolo delle 12 quinte) e chiedere al cantore di intonare un unisono con la prima corda mentre pizzica la seconda. L’insorgere dei battimenti e il tentativo istintivo della laringe di adattarsi a una consonanza impossibile traducono in dramma umano un’astratta impossibilità matematica.
   

Conclusione

Che si tratti di divulgazione o di storia della scienza, filtrare il mito antico attraverso verosimiglianza e coerenza non spegne la magia del racconto, ma le dona quella credibilità capace di affascinare sia chi ama la storia, sia chi cerca il rigore della scienza.

Flavio Ubaldini

Per approfondire

    • L’autore: Flavio Ubaldini affianca alla formazione matematica, (Università “La Sapienza” di Roma), gli studi musicali (Conservatorio “Santa Cecilia” di Roma). Da anni si occupa delle intersezioni tra matematica e musica.

    • Libri e pubblicazioni: Sulle vicende della scuola pitagorica ha scritto il romanzo Il mistero del suono senza numero (2017). Per una disamina più dettagliata sui modelli acustici e sulle attività didattiche legate alla misura delle corde nelle scuole, si veda l’articolo I Pitagorici e il mistero del suono senza numero: Pitagora e la musica dell’universo, pubblicato sulla rivista Archimede (2/2020).

    • Blog: Riflessioni e divagazioni su matematica e musica sono raccolte sul blog Pitagora e dintorni.

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