“Matematica scienza per pigri” hanno scritto Gianni A. Sarcone e Marie-Jo Waeber su http://www.archimedes-lab.org/math_divagations.html. Un’affermazione che va decisamente contro l’opinione comune, che vede piuttosto la matematica come una “scienza che fa faticare”.

Eppure, a pensarci bene, sono tanti gli esempi che in cui la conoscenza di nozioni di matematica, anche molto semplici, ci permette di risparmiare fatica. Supponiamo ad esempio di voler sapere quante mattonelle ci sono in una stanza rettangolare. Nessuno di noi si metterebbe a contarle tutte, è sufficiente contarle su due lati e poi eseguire la moltiplicazione. Se ci sono 20 mattonelle lungo un lato e 30 lungo l’altro ne contiamo 50 in tutto per arrivare alla conclusione che ce ne sono esattamente 600. Un bel risparmio di fatica!

E che dire del grande matematico Carl Gauss, che a soli nove anni si trovò a dover eseguire il seguente compito assegnato dal maestro: sommare i numeri da 1 a 100. Probabilmente quella mattina il maestro voleva starsene in pace a leggere il giornale mentre i bambini erano occupati a sommare numeri. Ma, con grande sorpresa (forse disappunto) del maestro, il piccolo Carl consegnò dopo pochi secondi la lavagnetta con il risultato esatto: 5050.

Come aveva fatto? Probabilmente si era accorto che mettendo in riga tutti i numeri da 1 a 100 e nella riga sottostante i numeri da 100 a 1:

1   2    3    4   5 . . . . . 96  97  98  99  100
100 99 98 97 96 . . . . .  5    4    3   2     1
ogni colonna dà come somma 101, e poiché di colonne ce ne sono 100 basta fare il prodotto 100×101 e poi dividere per 2 (dato che sulle due righe compare due volte la somma desiderata). Insomma:  (101×100):2=  5050,  un calcolo facile da fare anche a mente!

Qualcuno obietterà che però Gauss ha dovuto fare una dimostrazione. Questo è vero, ma una volta dimostrata quella formula in generale, cioè  n(n+1):2  per un qualunque numero naturale  n, può essere usata tutte le volte che si vuole, e con numeri ben più grandi. Ad esempio, la somma dei primi 5000 numeri, ovvero 1+2+3+4+…+5000 = (5000×5001)/2=12502500, cioè 12 milioni, 502 mila e 500.

Provate a eseguire la somma, e capirete quanta fatica si risparmia con quella formula!

Andiamo ancor più indietro nel tempo per vedere come se la cavò Talete, noto studioso di geometria dell’antica Grecia vissuto a Mileto intorno al VI secolo a. C., quando il re d’Egitto gli chiese di misurare l’altezza di una piramide. Talete era un noto pigro, trascorse una vita ritiratissima dedicandosi ai suoi studi di filosofia, geometria e astronomia. Figuriamoci se aveva voglia di arrampicarsi su una piramide per misurarne l’altezza, per di più col caldo che fa in Egitto. Allora utilizzò le proprie conoscenze sui triangoli simili per escogitare il seguente metodo: conficcò un bastone in terra, vicino alla piramide, e ne misurò la lunghezza dell’ombra, poi misurò la lunghezza dell’ombra della piramide. Conoscendo l’altezza del bastone e la lunghezza delle due ombre, e sapendo che i raggi del sole si possono considerare paralleli, Talete poteva così calcolare l’altezza della piramide senza doversi arrampicare, utilizzando una semplice proporzione che deriva dalla similitudine dei triangoli mostrati in figura: infatti, poiché i raggi del sole sono paralleli, i triangoli AOA’ e VHV’ sono simili e, quindi: OA:OA’ = HV:HV’ , da cui:  HV = HV’×OA:OA’

Ad esempio, se l’ombra del bastone fosse doppia della sua altezza, allora anche l’ombra della piramide sarebbe doppia rispetto alla sua altezza.

Plutarco, scrittore ateniese del primo secolo a.C., così riporta l’episodio: ”  [Il re] è rimasto singolarmente ben impressionato dal modo in cui hai misurato la piramide, […], limitandoti a collocare il tuo bastone al limite dell’ombra proiettata dalla piramide stessa; formatisi, al contatto col sole, due triangoli, dimostrasti che la proporzione esistente fra la lunghezza del bastone e l’altezza della piramide era la stessa che intercorreva fra la lunghezza delle due ombre.

Un esempio ancor più evidente di risparmio di fatica grazie alle conoscenze matematiche ce lo offre Eratostene di Cirene, che nel III secolo a.C. riuscì addirittura a calcolare, senza grandi sforzi, la lunghezza di un meridiano terrestre. Il calcolo è rimasto famoso perché si basa su alcune semplici ipotesi e utilizza strumenti molto elementari.

Eratostene viveva e lavorava ad Alessandria d’Egitto, come direttore della celebre biblioteca. Sapeva che a Siene – l’odierna Assuan nel sud dell’Egitto – a mezzogiorno del solstizio d’estate il Sole si trova allo zenit (Assuan si trova infatti sul Tropico del Cancro), e infatti il Sole poteva essere visto anche sul fondo di un pozzo profondo. Sapendo ciò, Eratostene ebbe l’idea di piantare ad Alessandria un bastone, di altezza nota, perpendicolarmente al terreno, e misurò la lunghezza dell’ombra che esso proiettava a terra.

Ipotizzando che la Terra sia sferica e che i raggi del Sole arrivino tutti paralleli fra di loro, Eratostene dedusse che l’angolo da lui misurato era uguale all’angolo al centro della Terra che sottende l’arco di circonferenza fra Alessandria e Siene. Poiché conosceva della distanza fra le due città, impostò la proporzione che gli permise di determinare la lunghezza della circonferenza terrestre che passa per i Poli, che è proprio quello che noi oggi definiamo come la lunghezza di un meridiano.

La proporzione è la seguente:

(distanza Siene-Alessandria): (circonferenza della terra) = (angolo tra bastone e ombra): 360°

Il risultato della misura di Eratostene fu di circa 39.655 Km, molto vicino ai 40.075 Km attualmente accettati come misura attendibile. Insomma, niente male per una misura fatta con mezzi rudimentali più di 2000 anni fa, senza scomodare raggi laser né satelliti artificiali!

di Gian Italo Bischi