Abbiamo conosciuto qualche mese fa su questo sito Adam Atkinson per la sua presentazione dei MathsJam e poi qualche settimana fa ha proposto un post sulle distribuzioni singolari. Ora decide di esplorare alcuni risvolti poco conosciuti della matematica sul piano culturale, ossia alcune convenzioni che sembrano avere una diffusione molto diversa da nazione a nazione. Ma voi, lo sapete cosa sono i numeri misti?

Alcune cose nella matematica non sono così universali come si potrebbe pensare. Ecco alcuni esempi. In realtà , vari esempi brevi e un esempio molto lungo.

Punto e virgola

Questo è abbastanza banale e noto, ma ogni tanto spunta qualcuno su it.scienza.matematica, confuso perché Mathematica ha fornito risposte strane quando ha ricevuto in pasto “3,5”.

In alcuni paesi c’è un punto decimale, e altrove una virgola decimale. In più’, dove c’è un punto decimale la virgola è usata fra gruppi di tre cifre nei numeri grandi, e dove c’è una virgola decimale, il punto è usato fra gruppi di 3 cifre nei numeri grandi. Quindi “3,454” in Italia è “3.454” nel Regno Unito. E “3.454” in Italia è “3,454” nel Regno Unito. “3.456.789” e “3,456,789” non dovrebbero creare confusione in quanto non sono ambigui. E lo stesso dovrebbe valere per “3,5” e “3.5”. Mathematica, essendo un prodotto americano, pensa che “3,5” sia un elenco di due valori.

I numeri misti

Questo è forse l’esempio più sorprendente, in quanto pochissime persone sembrano sapere dell’esistenza di questa differenza fra paesi. I “numeri misti” non sono un nuovo tipo di numero. Sono soltanto una notazione usata quasi dappertutto (non nel senso di “dappertutto tranne in un insieme di misura 0”, siamo chiari) per i numeri razionali il cui valore assoluto è maggiore di 1. Ma l’Italia non fa parte del “quasi dappertutto”, e MaddMaths! è un sito italiano.

Ecco un’immagine che ho trovato sul sito di Colin Brydon e più esattamente qui

Qui vediamo che Rafford dista un miglio e cinque ottavi a sinistra, Burgie 2 miglia e tre quarti a destra, e Kinloss tre miglia e tre quarti a destra. 7/8 non è un numero misto: è una frazione e basta. E qui sotto un numero misto abbastanza normale a destra ma due terzi di miglio a sinistra. I denominatori sono solitamente o 2 o 4 in questi casi.

Ma questa notazione è sparita in alcuni paesi, fra cui l’Italia, la Spagna e il Portogallo. In Francia o non è mai esistita o è sparita molto tempo fa: i miei contatti francesi non ne sanno niente. Negli altri paesi “smisti” di mia conoscenza la notazione è stata abolita/soppressa/deprecata qualche decennio fa. Nel caso dell’Italia, forse 70-80 anni fa. In Spagna e nel Portogallo, ritenevano che fosse troppo facile immaginare che un numero misto fosse un prodotto. In Italia, non so.

Non ci crede mai nessuno. La gente dei paesi “misti” non riesce a credere all’esistenza dei paesi “smisti”. “Ma come fanno?”, mi chiede. E gli abitanti dei paesi “smisti” mi dicono “Non ci credo. Ho un dottorato di ricerca in matematica. Ho 50 anni. Non ho mai visto questa notazione. L’hai inventata tu. Portami un libro dove si usa o ti do del mascalzone!” e anche “A cosa potrebbe mai servire questa notazione?”. Avete presente la scena “Cos’hanno fatto per noi, i romani?” ne “La Vita di Brian”?

Dando un’occhiata in giro a casa trovo questa calcolatrice della Casio abbastanza normale.

Usando il pulsante che vediamo qui sopra per fare i calcoli con le frazioni ed i numeri misti, quanto fa ¾ + ½?

Ovviamente, fa 1 ¼.

Prendo il primo libro di cucina che trovo.

2 pinte e mezza di acqua.

Mi tolgo una scarpa. 8 e mezzo.

Per quanto tempo deve stare nel microonde il mio pranzo? 2 minuti e mezzo.

È vero che i numeri misti non sono molto usati nella matematica “vera”. Ma quando in Italia i miei interlocutori hanno preteso un libro di matematica con un numero misto, ho usato la mia copia di “On Numbers and Games” di John Conway. Nella teoria dei giochi combinatori, i numeri misti sono usatissimi. Tanto che almeno un italiano mi ha detto “Questa è una notazione speciale usata nella teoria dei giochi combinatori.” No, è una notazione normale usata anche nella teoria dei giochi combinatori. Guardiamo “On Numbers and Games” di John Conway.
O magari “Winning Ways”, di Berlekamp, Conway e Guy?

O “Lessons in Play” di Nowakowski et al.?

Su Khan Academy troviamo https://www.khanacademy.org/tag/mixed-numbers. Sul sito della BBC vediamo https://www.bbc.com/bitesize/guides/zt6p34j/revision/5. Sì sì, l’ho inventata io questa notazione e questi esempi dimostrano il potere del mio laser orbitale per il controllo della mente.

Ma I numeri misti non sono del tutto assenti in Italia. Ecco un annuncio che ho visto a Catania nel 2018. In alcune scuole ti possono dare un voto di “5 1/2”. Esistono le scarpe, per esempio, 37 ½. I libri di Harry Potter col binario “9 3/4” sono abbastanza popolari. (È vero che in alcuni paesi “smisti” dicono ancora agli studenti delle scuole medie / superiori che questi numeri si possono trovare in materiale venuto dall’estero.) E alcuni lettori si ricorderanno I dischetti 5 ¼” e I dischetti 3 ½”. Anni fa qualche italiano mi ha detto “Pensavo fossero i loro nomi e basta. Non immaginavo avessero un significato.” I numeri misti si trovano in italiano su Khan Academy https://it.khanacademy.org/math/arithmetic/fraction-arithmetic#arith-review-mixed-number forse perché i traduttori non sapevano della loro non-esistenza in Italia?

Più strano è il sito https://www.youmath.it/scuola-primaria/matematica-scuola-primaria/quarta-elementare/2117-numero-misto.html dove chiamano “numero misto” qualcosa come “2 + ¼” . Se c’è il “+” in mezzo non lo conterei come numero misto.

Qui sopra una foto fatta da Roberto Natalini a Milano. Qualcuno vuole forse dirmi che per i milanesi il treno passa fra 5 minuti? Non sarebbe inconcepibile dire in qualche contesto che pi greco vale circa “3 1/7” anche se, sì, 22/7 è piu’ comune.

Sul sito www.aperiodical.com hanno fatto un sondaggio sui numeri misti:

Notate che molte persone perfino nei paesi misti potrebbero benissimo non conoscere il termine “numeri misti” (o “frazioni miste”) perché non hanno mai bisogno di nominare questa notazione. Quindi è opportuno chiedere “Che numero è 1 ½?” per vedere se dicono “1 e mezzo”, “un mezzo”, “uno virgola cinque” o magari “boh”. E le risposte sono state quelle che avevamo previsto. Ci sono stati anche molti commenti del tipo “Ma davvero ci sono posti dove non esistono?” e “Ma davvero ci sono posti dove esistono?” Questo, ovviamente, da persone che leggevano un sito come l’Aperiodical e sapevano abbastanza bene l’inglese. Guardando le risposte al sondaggio, vediamo che il Belgio (2 no su 2 risposte), la Francia (3 no su 3 risposte), l’Italia (3 no su 4 risposte) e la Spagna (3 no su 6 risposte) sembrano abbastanza smisti. Nessun portoghese ha risposto alla domanda. L’unica risposta da Singapore era un “no”.

Gustatevi questo esempio qui

e tenete presente che le persone più perplesse in questa conversazione sono spagnole.

I numeri misti stanno tornando in Italia per sbaglio? Esiste un libro di testo per le scuole medie, forse tradotto dal finlandese, dove troviamo un “approfondimento” sui numeri misti. I traduttori non si rendevano conto della non-esistenza dei numeri misti in Italia? O forse sono nascosti in in “approfondimento” perché sono un argomento marginale, utile principalmente ai fan di Harry Potter? O l’Italia sta diventando di nuovo un paese misto? Ho guardato alcuni libri di matematica di uno che ha fatto la scuola in Italia negli ultimi anni e non ho trovato traccia dei numeri misti. C’era almeno un esercizio del tipo “Quanto fa 2 + ¼?” e la risposta cercata era 9/4, mentre altrove nel mondo sarebbe stata “2¼” e come esercizio sarebbe stato piuttosto strano.

Un mio conoscente italiano fa ripetizioni a studenti che vogliono andare all’università negli Stati Uniti e dice che i numeri misti sono l’argomento più richiesto. Non mi pare che ci sia molto da dire a proposito. Bastano, cosa, 30 secondi? Ma perdere un posto all’università perché non conosci i numeri misti sarebbe assurdo. Un mio contatto americano dice che ci potrebbero benissimo essere i numeri misti su alcuni test di livello per i corsi di matematica. Quindi c’è il rischio di trovarsi in un corso di matematica più elementare del necessario a causa dei numeri misti. Anche questo sarebbe assurdo.

Qualcuno sa quando e perché l’Italia ha subito il suo “smistamento”? I numeri misti erano ritenuti confusionari, come in Spagna e nel Portogallo? O magari erano visti come un’usanza straniera sotto il fascismo? E se tornano chiamiamo la cosa una “mistificazione”?

Devo ammettere che alcuni italiani mi dicono che i numeri misti sono usatissimi in Italia. Conciliare questo con la necessità di spiegarli a chi vuole andare negli Stati Uniti mi è difficile. Esistono solo in contesti non-matematici? Non sono percepeti come numeri reali? È una cosa regionale o generazionale? Quando ho scritto un numero misto a Roma negli anni ‘90 nessuno presente sapeva cosa fosse. A me l’Italia sembra un paese smisto, ma ovviamente chi ci vive sa meglio di me come stanno le cose. Magari la Francia e la Spagna sono casi più spinti.

nomi strani per le equazioni di secondo grado

Ho scoperto solo recentemente che almeno in alcune scuole italiane, le equazioni di secondo grado sono classifiate come complete, pure, spurie e monomie. Non mi ricordavo nulla di tutto ciò, e chiedendo in giro mi pare che queste categorie sono sconosciute in almeno alcuni altri paesi. Sarei curioso di sapere se c’è almeno un paese oltre all’Italia con questa classificazione.

“whole numbers”

Sapete cosa sono gli “whole numbers”? Siete sicuri? Chiedete ai colleghi se -3 è uno whole number o no. Conclusione: è meglio evitare il termine. Vedete anche http://mathworld.wolfram.com/WholeNumber.html

Lo 0

In Francia (e magari altrove?) 0 è sia positivo sia negativo. In molti posti, non è né positivo né negativo. Per dire “positivo” in francese bisogna dire (il francese per) “non-negativo”, e per dire “negativo” bisogna dire (il francese per) “non-positivo”. I francesi possono anche dire (il francese per) “strettamente positivo” e (il francese per) “strettamente negativo” per dire quello che altrove sarebbero “positivo” o “negativo”.

Il trapezio

Quello che si chiama “trapezium” nel Regno Unito è un “trapezoid” negli Stati Uniti. Un “trapezium” statunitense è un “irregular quadrilateral” nel Regno Unito. Il “trapezium” del Regno Unito equvale al “trapezio” italiano. (Tralasciando il discorso esattamente due lati paralleli o almeno due lati paralleli.)

La regola del 3

Fino al 2018 ho sempre immaginato che la regola del 3 fosse una cosa arcaica/storica/dimenticata, come il flogisto, gli umori o i quattro elementi. Ma quest’anno ho sentito che è viva e vegeta in Francia e Grecia, e alcune delle mie fonti italiane mi dicono “Beh, certo, regola del 3 semplice e composta. Certo che l’ho fatta a scuola” mentre altre dicono “La regola del che?”. Mia madre, 79 anni e Richard Guy, 101 anni, non la conoscono quindi nel Regno Unito (dove hanno fatto la scuola) sarà sparita molto tempo fa. È nominata in una poesia di Lewis Carroll. Ne “The Mad Gardener’s Song” troviamo:

He thought he saw a Garden-Door
That opened with a key:
He looked again, and found it was
A double Rule of Three:
“And all its mystery,” he said,
“Is clear as day to me!”

Se volete vedere la regola del 3 nel suo ambiente (secondo me) naturale, vedete questo libro del 1702, o questo anche più vecchio.

Le frazioni apparenti

In Italia, almeno qualcuno sembra usare il termine “frazioni apparenti” per le frazioni il cui numeratore è un multiplo del denominatore. Vari miei contatti in altri paesi non conoscono questo termine e su Google in inglese non lo trovo con questo significato.

“plurality”

La parola inglese “plurality” è abbastanza recondita nel Regno Unito e vuol dire, per quello che so, “un intero maggiore di uno”. Si trova solitamente in contesti come “pluralità di punti di vista”. Se qualcuno dovesse dire “Pinco Pallino ha vinto una pluralità di voti” a me sembrerebbe dire “ha vinto più di un voto”. Negli Stati Uniti, “plurality” è quello che hai se hai vinto il numero maggiore di voti, ma non hai la maggioranza. Dovendo dire questo nell’inglese britannico forse direi “relative majority” o “largest share of the vote”, in italiano “maggioranza relativa”. Potete immaginare le conversazioni. “Questo tizio ha vinto più di un voto? Non mi sembra esattamente sorprendente.”

I gatti

Sicuramente l’esempio piu’ significativo è questo. I gatti hanno numeri di vite che variano da un posto all’altro. Nel Regno Unito e qualche altro paese hanno 9 vite, ma in Italia (e altri paesi) solo 7 e in Turchia e alcuni paesi arabi solo 6. Mi rendo conto che citare Wikipedia non va molto bene ma guardate qui. Qualsiasi tentativo di controllare queste differenze sperimentalmente sarebbe crudele.

I giorni sfortunati

In alcuni posti venerdì13, altrove venerdì 17, in altri posti ancora giovedì 13.

Adam Atkinson (ghira@mistral.co.uk)

Roberto Natalini

Roberto Natalini [coordinatore del sito] Matematico applicato. Dirigo l’Istituto per le Applicazioni del Calcolo del Cnr e faccio comunicazione con MaddMaths! e Comics&Science.