Con il numero di Maggio di Le Scienze troverete in allegato (a 14,90 euro, il prezzo include la rivista) il trentaduesimo dei volumi della collana dedicata ad alcuni tra i maggiori teoremi matematici. La collana è stata elaborata in collaborazione con la redazione di MaddMaths!. Questo nuovo volume è dedicato al Teorema spettrale e decomposizione ai valori singolari di Alessandro Benfenati e Giovanni Naldi. 

In matematica, e più in particolare nell’algebra lineare e nell’analisi funzionale, il teorema spettrale esprime le condizioni in base alle quali un operatore o una matrice possono essere diagonalizzati, cioè rappresentati come una matrice diagonale, in una base opportuna. Questa nuova rappresentazione permette di semplificare l’analisi dei problemi in cui questi operatori (matrici) sono coinvolti. Dal punto di vista computazionale si apre anche la via all’ideazione di metodi e algoritmi efficienti ed efficaci. Nel primo Ottocento, Augustin-Louis Cauchy, pur considerando un caso di dimensione ridotta, evidenzò di fatto le principali proprietà e gli strumenti per dimostrare il teorema spettrale. In particolare, affrontò il caso di forme quadratiche (un qualunque polinomio omogeneo di secondo grado), così come si presentava ai suoi tempi. Allo stesso modo, il matematico Eugenio Beltrami pose le basi e il metodo per la decomposizione ai valori singolari, in seguito migliorato da altri. Il teorema spettrale ha importanti conseguenze in vari ambiti sia teorici che applicativi, anche per i recenti sviluppi tecnologici (equazioni differenziali, classificazione delle forme quadratiche, calcolo numerico, statistica, elaborazione di segnali e immagini digitali). È risultato poi essenziale, fin dai primi passi, nello sviluppo dei metodi matematici sottostanti la meccanica quantistica. Un percorso che va dalle prime intuizioni della teoria spettrale coinvolgenti masse e oscillazioni, fino alla descrizione di sistemi quantistici.

Il teorema spettrale ha portato alla luce la struttura nascosta in diversi problemi matematici, con una semplificazione utile in numerosi campi di applicazione

Gli autori

Alessandro Benfenati ha conseguito la laurea in Matematica presso l’Università degli studi di Bologna e successivamente il dottorato di ricerca in matematica presso l’Università di Ferrara. Nel 2016 si è trasferito a Parigi, all’Università Paris Est e all’ESIEE. Dal 2019 è ricercatore presso l’Università di Milano. I suoi interessi di ricerca spaziano dai metodi variazionali per problemi inversi al deep learning per la classificazione, la segmentazione semantica e la generazione dei dati. Il suo interesse più recente riguarda il Geometric deep learning per metodi XAI (eXplainable Artificial Intelligence).

Giovanni Naldi è professore di Analisi numerica presso l’Università degli Studi di Milano, dove è direttore del Centro di ricerche DESIRE (DEcision Science Research cEnter), ed è stato coordinatore del dottorato di ricerca nell’ambito della matematica computazionale, ricerca operativa e statistica. È stato visiting professor presso RWTH (AAchen), Vanderbilt University, Amrita University (India), HCM Center (Bonn), Fudan University (Shangai). I suoi principali argomenti di ricerca riguardano l’analisi numerica di equazioni differenziali alle derivate parziali e problemi multiscala, calcolo scientifico, i modelli differenziali nelle scienze applicate, l’analisi di immagini biomediche, le neuroscienze computazionali.

Tutti i volumi possono essere acquistati singolarmente in digitale su questa pagina

Piano dell’opera
1 – Teorema dell’equilibrio di Nash
2 – Teorema di Pitagora
3 – Ultimo teorema di Fermat
4 – Teoremi di Euclide e primo libro degli Elementi
5 – Teorema Fondamentale del Calcolo
6 – Teorema di Talete sul fascio di rette
7 – Teorema egregium di Gauss
8 – Teorema del limite centrale
9 – Teorema di Noether
10 – Teoremi dell’incompletezza di Gödel
11 – Teorema dei quattro colori
12 – Teorema di Eulero sui grafi
13 – Teorema del punto fisso di Banach-Caccioppoli
14 – Teorema dell’impossibilità di Arrow
15 – Teorema di Lagrange o del valor medio
16 – Teorema di Bayes
17 – Teorema fondamentale dell’algebra
18 – Teorema di Abel-Ruffini
19 – Teorema di Cauchy-Kovalevskaja per le equazioni differenziali
20 – Teorema di Poincaré-Perelman
21 – Teorema dei numeri primi
22 – Teorema di Fourier
23 – Teorema dell’entropia di Shannon
24 – Teorema della palla pelosa
25 – Teorema di Cantor
26 – Teorema del minimax
27 – Teorema di Weierstrass
28 – Teoremi delle funzioni implicite
29 – Teorema della curva di Jordan
30 – Teorema del matrimonio stabile
31 – Teorema del Funtore aggiunto
32 – Teorema Spettrale e decomposizione a valori singolari
33 – Teorema di Stokes-Cartan
34 – Teorema H di Boltzmann
35 – Teorema Ergodico
36 – Teorema Residui
37 – Teorema di Dualità in programmazione lineare
38 – Teorema degli zeri di Hilbert
39 – Teorema di Levi-Civita (connessione)
40 – Teoremi di Turing

Roberto Natalini

Roberto Natalini [coordinatore del sito] Matematico applicato. Dirigo l’Istituto per le Applicazioni del Calcolo del Cnr e faccio comunicazione con MaddMaths!, Archimede e Comics&Science.