Sono appena finite le partite dei gruppi di Euro2024 e sta per iniziare la fase ad eliminazione diretta. Olanda e Austria potrebbero rincontrarsi già ai quarti di finale!! Com’è possibile? È un errore? Cesco Reale (divulgatore ludo-scientifico: ecco la sua divulgazione matematica e quella ludica) e Alberto Saracco provano ad approfondire, per capire meglio come il ragionamento matematico possa portare alla creazione di tornei più equi. 

A differenza di quanto accade nelle Coppe Europee per club (anche se dalla stagione 24/25 ci saranno dei cambiamenti), il tabellone della fase ad eliminazione diretta è fissato dai risultati dei gruppi (più eventualmente la graduatoria di qualificazione) e non è stato necessario alcun sorteggio per determinarlo^{[1 ]}Da regolamento c’è un unico caso che necessita un sorteggio: parità in tutti i criteri di spareggio tra due squadre, una delle quali è la nazione ospitante (la Germania), che non ha una graduatoria di qualificazione, visto che si è qualificata di diritto come organizzatrice..

Potenze di 2

Nei formati con un numero di squadre che è una potenza di 2 (come i mondiali di calcio maschile a 32 squadre, o gli europei di calcio femminile a 16 squadre) è particolarmente facile costruire un tabellone altamente simmetrico, a cui si qualificano le vincitrici dei gruppi, che al primo turno sfidano le seconde classificate dei gruppi. Due squadre dello stesso gruppo non possono incontrarsi di nuovo nei successivi due turni a eliminazione diretta, quindi nel peggiore dei casi possono rincontrarsi in finale nei tornei a 16 squadre o in semifinale nei tornei a 32 squadre. Insomma, tutto particolarmente simmetrico.

Gruppi da 6 e da 3

Nei formati in cui il numero di squadre non è una potenza di due, le cose si complicano. Ovviamente si potrebbe variare il numero di squadre nei singoli gironi per aggirare ciò. Negli attuali Europei a 24 squadre, una soluzione sarebbe quella di avere 4 gruppi da 6 squadre con le prime 4 di ogni gruppo che si qualificano agli ottavi (soluzione adottata ai mondiali di pallacanestro maschile dal 2006 al 2014), ad esempio secondo il seguente schema:

In questo modo, ad ogni quarto di finale si incontrano certamente due squadre di due gruppi diversi e le prime due classificate di un gruppo possono rincontrarsi solo in finale.

Il problema di un gruppo con 6 squadre è ovviamente la maggior durata della fase a gruppi (si passa da 3 a 5 giornate), con le ultime giornate meno emozionanti a causa del fatto che varie squadre si sono già qualificate (ci aspetterebbe qualcosa di peggio di Inghilterra-Slovenia^{[2 ]}L’Inghilterra era già matematicamente qualificata e alla Slovenia bastava un pareggio. Il risultato è stato un soporifero 0-0. di quest’anno?) o sono già eliminate matematicamente. In passato (ad esempio Spagna ‘82) sono stati usati gruppi a 3 squadre, che risolverebbero anch’essi il problema della simmetria del tabellone nelle competizioni a 24 squadre. I gruppi con un numero dispari di squadre hanno però il difetto di avere una squadra che riposa in ogni giornata e quindi di rendere altamente probabili degli inciuci nell’ultima giornata. Per fortuna in genere si fanno gruppi con un numero pari di squadre.

Asimmetrie con gruppi da 4

Sembra quindi che non ci sia una vera alternativa ai gruppi a 4 squadre, pertanto il tabellone a eliminazione diretta perde necessariamente di simmetria. Nel formato attuale, si qualificano agli ottavi le prime e le seconde classificate dei gruppi, oltre alle quattro migliori terze. Questo vuol dire che quattro prime classificate incontrano una terza classificata mentre due di esse incontrano una seconda. Stesso problema per le seconde classificate: quattro di esse si incontrano tra loro, mentre due vanno contro le prime classificate. Non essendo prevista una graduatoria per decidere le squadre sfortunate, questo crea una prima ingiusta asimmetria.

Nel tabellone di quest’anno le squadre sfortunate sono la vincitrice del gruppo A (Germania) e del gruppo D (Austria), che incontrano agli ottavi le seconde rispettivamente del gruppo C (Danimarca) e del gruppo F (Turchia). Le squadre dei gruppi B (tra cui l’Italia) ed E avevano un vantaggio ancora prima dell’inizio del torneo.

Questo non è tuttavia il problema maggiore del tabellone di Euro2024.

Il tabellone dei mondiali USA94

Se guardiamo il tabellone dei mondiali di calcio maschili a 24 squadre del 1994, troviamo questa struttura: 

Analizzando i dettagli, vediamo che nelle prime due partite (1A – 3C/D/E, 2B – 2F) non troviamo lettere ripetute, e quindi due squadre dello stesso gruppo non possono rincontrarsi prima delle semifinali. Idem per le altre partite. 

Ai mondiali USA94 accadde che Svezia e Brasile si rincontrarono, e questo avvenne appunto in semifinale (per la cronaca vinse il Brasile 1-0, mentre nel gruppo B avevano pareggiato 1-1).

Questa struttura la ritroviamo un po’ ovunque ci siano 24 squadre. Nel calcio maschile in Coppa d’Africa e Coppa d’Asia, nel calcio femminile in Coppa del Mondo.

Il tabellone degli Europei a 24 squadre

Invece incredibilmente gli Europei di calcio maschile fanno eccezione!

Ecco la struttura:

A seconda dei gruppi da cui si qualificano le quattro migliori terze, sono determinati gli accoppiamenti degli ottavi: 

Il problema di questo tabellone

Quindi due squadre dello stesso gruppo possono rincontrarsi già ai quarti di finale!

Per Euro2020 sarebbe potuto accadere per i gruppi A e D. Ad esempio, con un’ipotetica Francia-Portogallo 4-0, la Finlandia sarebbe stata nelle 4 migliori terze al posto del Portogallo, dando ABCD invece di ACDF, e risultando in un potenziale quarto di finale Italia-Svizzera (entrambe del gruppo A). Stessa cosa con ABCE o ABCF. Altrimenti, con un’ipotetica Spagna-Slovacchia 4-3, la Slovacchia sarebbe stata nelle 4 migliori terze al posto dell’Ucraina, dando ADEF invece di ACDF, e risultando in un potenziale quarto di finale Inghilterra-Cechia (entrambe dal gruppo D). Stessa cosa con BDEF o CDEF. Quindi in 6 casi su 15 (40% di probabilità) si verifica questa situazione.

E per Euro2024 è accaduto proprio questo! Olanda e Austria (Gruppo D), che si sono sfidate il 25/6, potrebbero rincontrarsi ai quarti di finale dopo appena 11 giorni!  Sembra proprio assurdo, ma è così!

La domanda da porci (con la o chiusa, mi raccomando! ) è la seguente: perché mai la UEFA non ha copiato banalmente la struttura già esistente e ne ha creata una nuova che peggiora le cose senza apparenti benefici?

Se qualcuno avesse qualche idea in merito ci scriva! Secondo noi, semplicemente hanno ricreato una struttura senza accorgersi del problema! O forse c’è qualche altra ragione oscura?

Il problema del tabellone di USA94

Bisogna però notare che anche la struttura di USA94 (come anche quella dei mondiali di calcio femminili 2019) non è priva di difetti: le prime due squadre dei gironi C, D, F potevano rincontrarsi già in semifinale (come infatti accadde per Brasile e Svezia), mentre scambiando la parte in alto a destra del tabellone con quella in basso a sinistra non si sarebbero rincontrate prima della finale, come sarebbe più sensato. Il tabellone degli europei almeno non ha questo problema. 

Il tabellone migliore a 24 squadre

Quindi secondo noi il tabellone migliore a 24 squadre è quello usato a Messico86 e Italia90, nonché in Coppa d’Africa e Coppa d’Asia e ai mondiali femminili Canada2015; esso risolve entrambi i problemi: 1) due squadre dello stesso gruppo non possono rincontrarsi prima delle semifinali e 2) le prime due squadre di un gruppo non possono rincontrarsi prima della finale.

Giochi a più di 2 giocatori

Infine, cambiando leggermente tema, potremmo chiederci perché le potenze di 2 sono i numeri di squadre ottimali. La risposta è che a calcio si gioca in 2 squadre.

Se prendiamo altri giochi con un numero diverso di giocatori la risposta cambia. Ad esempio, a dama cinese (che per la cronaca non è una dama e non è cinese, ma fu ribattezzata cosí per motivi commerciali) si può giocare da 2 a 6 giocatori. In questo caso i numeri ottimali di giocatori sono i numeri che hanno come fattori primi solo i fattori primi di 2,3,4,5,6, e quindi sono del tipo \(2^a3^b5^c\).

In effetti, se il numero \(n\) dei giocatori è di tale forma, questi possono essere divisi in modo equo in partite tutte dello stesso tipo (da \(m\) giocatori, con \(2\leq m\leq 6\) e \(m|n\)). Osserviamo inoltre, che possiamo decidere che in ogni partita da \(m\) giocatori si qualificano i migliori \(k<m\) al turno successivo. In tale modo, il nuovo numero di giocatori diventa \(\frac{k}{m}n\), che è di nuovo della stessa forma e si può pertanto reiterare. Tra l’altro, nel caso \(k>1\) si può costruire il turno successivo con incontri con un numero di giocatori multiplo di \(k\) secondo la seguente tabella:

numero di giocatori che superano il turno in ogni partita	numero di giocatori nel turno successivo in ogni partita
2	2 (un primo e un secondo), 4 (due primi e due secondi) o 6 (tre primi e tre secondi)
3	3 (un primo, un secondo e un terzo) o 6 (due primi, due secondi e due terzi)
4	4 (un primo, un secondo, un terzo e un quarto)
5	5 (un primo, un secondo, un terzo, un quarto e un quinto)

Si può quindi costruire un tabellone totalmente simmetrico per tutti i giocatori, senza avvantaggiarne nessuno.

Ora potete mettervi alla prova: come organizzereste un torneo di dama cinese con 15, 54 o con 125 giocatori? Quali sono le possibilità? E quale scegliereste?

Il bello della matematica è proprio questo: ci permette di ragionare a tavolino, prima di fare, e di trovare soluzioni ottimali (o le migliori possibili), a seconda delle esigenze che vogliamo soddisfare.

Cesco Reale e Alberto Saracco

 

Immagine di copertina adattata dal Corriere dello Sport.