Con settembre torna anche la rubrica Radici di Pop. In questo appuntamento Massimo Martone ci parla di una tecnica forense molto conosciuta: l’analisi degli schizzi di sangue. Famosa per essere lo svago creativo di uno dei personaggi televisivi più famosi: Dexter Morgan. Tranquilli, niente spoiler.

Naturalmente non è un caso che questo articolo esca in concomitanza con l’ultimo episodio di Dexter: Resurrection. Guardando gli episodi finali della serie mi sono posto una domanda semplice ma inevitabile: “C’entra la matematica anche qui?”. Da quella curiosità è partito un viaggio tra serial killer, tecniche investigative e, ovviamente, tanta matematica.

Chi è Dexter Morgan?

Ah sì, dimenticavo! Per chi non conoscesse la serie Dexter, ecco una breve sinossi che può tornare utile.
Dexter Morgan, di giorno, è un rispettato perito forense. Stimato dai colleghi, amato dalla famiglia, conduce una vita apparentemente normale.
Di notte, però, si trasforma in un serial killer. Non uno qualsiasi: segue un codice rigoroso e uccide solo altri assassini. Un circolo vizioso, insomma. Il serial killer dei serial killer.

Tornando a noi: durante questo viaggio matematico ho trovato moltissime applicazioni della matematica nelle tecniche investigative. Alcune le abbiamo già raccontate su MaddMaths!: ti lascio qualche link a fine articolo, se vuoi approfondire.
Questa volta, però, cercavo qualcosa di diverso. Non i soliti modelli predittivi o strumenti statistici, ma una tecnica forense che agisse direttamente “sul campo”. E lì si è accesa la lampadina: perché non parlare proprio dell’analisi degli schizzi di sangue, la stessa che utilizza Dexter nel suo lavoro? La scoperta sorprendente è che non serve matematica particolarmente avanzata… basta la cara, vecchia trigonometria.

A cosa serve l’analisi degli schizzi di sangue?

Prima di entrare nell’aspetto matematico, vediamo in cosa consiste davvero questa tecnica forense e qual è il suo obiettivo. È meglio conosciuta con il nome di bloodstain pattern analysis (BPA). Come suggerisce il termine, chi la pratica raccoglie informazioni interpretando le macchie di sangue presenti su una scena del crimine. Il sangue, infatti, è un fluido colloidale: questo permette all’esperto di compiere un vero e proprio viaggio a ritroso, ricostruendo gli eventi, la loro successione e, soprattutto, l’origine dei fatti.

Attraverso lo studio delle forze fisiche che agiscono sul sangue e dell’interazione tra sangue e superficie, la BPA consente di ricavare numerose informazioni, tra cui:

• la distanza tra il punto di impatto della traccia di sangue e la sua origine;
• l’origine del sanguinamento nello spazio;
• il tipo e la direzione della forza che ha provocato la lesione;
• la posizione dell’aggressore e/o della vittima;
• i movimenti compiuti dalla vittima e dall’aggressore.

Cosa c’entra la trigonometria?

Quando una goccia di sangue colpisce una superficie, assume una forma caratteristica che dipende dall’angolo di impatto e dalla distanza percorsa. Immaginiamo, ad esempio, tre macchie di sangue su un pavimento, tutte di forma quasi ellittica. Scopriamo che queste macchie sono state causate da uno sparo alla testa, il nostro obiettivo sarà quello di individuare l’esatta posizione della vittima al momento dello sparo. Analizzando la loro forma e la coda degli schizzi di sangue (vedi foto), possiamo stimare la direzione e il verso del movimento del sangue.

Se tracciamo delle linee lungo l’orientamento delle macchie, noteremo che queste tendono a convergere verso un punto, che può essere interpretato come il probabile luogo di origine del sangue. Attenzione, però: nella serie Dexter sembra tutto facilissimo, e anche questo esempio semplificato dà quell’impressione. In realtà, i periti forensi sottolineano che questa tecnica permette di individuare solo l’area “geografica” (piano geometrico) da cui il sangue ha avuto origine, non il punto esatto. Per ottenere una stima più precisa e per individuare l’altezza cui è avvenuto l’omicidio, si ricorre alla trigonometria, calcolando l’angolo di impatto delle gocce a partire dalla loro forma ellittica e ricostruendo così la traiettoria del sangue con maggiore accuratezza.

Come calcolo l’angolo?

La parte più complessa della ricostruzione della traiettoria consiste nel determinare con precisione l’angolo di impatto della goccia. Qui entrano in gioco i triangoli rettangoli. Se il sangue cade perfettamente in verticale, formando un angolo di 90° con la superficie, la goccia apparirà circolare. Al diminuire dell’angolo rispetto alla verticale, la goccia si allunga e assume una forma ellittica.

Gli investigatori possono quindi misurare la lunghezza e la larghezza della macchia di sangue. Utilizzando un semplice calcolo trigonometrico, è possibile stimare l’angolo di incidenza. Se indichiamo con a la lunghezza maggiore dell’ellisse e con b la larghezza minore (diametro della goccia prima dell’impatto), l’angolo θ tra la traiettoria della goccia e la superficie può essere calcolato come:

$$
\sin \theta = \frac{b}{a} \;\;\Rightarrow\;\; \theta = \arcsin \frac{b}{a}
$$

Calcoliamo ora l’altezza

Una volta determinato l’angolo di impatto, calcolare l’altezza della fonte del sangue diventa molto semplice. Immaginiamo un triangolo rettangolo in cui:

• un lato va dalla macchia di sangue al punto P, stimato come possibile origine,
• il lato verticale parte da P formando un angolo retto con il pavimento,
• il lato inclinato collega la macchia al punto P lungo la direzione della traiettoria, formando l’angolo θ appena calcolato.

Con queste informazioni, l’altezza h del punto di origine del sangue si ottiene con la formula:

$$
d \cdot \tan \theta = h
$$

dove d è la distanza orizzontale tra la macchia e il punto P. In questo modo, partendo dalla semplice misura di una macchia ellittica, possiamo stimare l’altezza della fonte con buona approssimazione.

Conclusioni

Quello che abbiamo appena visto è un esempio semplice di come la matematica possa aiutare nell’analisi degli schizzi di sangue. In casi più complessi, si possono usare strumenti più avanzati: ad esempio, le equazioni del moto parabolico permettono di calcolare la distanza dalla fonte trattando il sangue come un fluido proiettato. Oppure si può ricorrere al calcolo dei minimi quadrati per stimare il punto di origine più probabile in presenza di molte macchie. Questo ci fa riflettere su quanto la matematica sia fondamentale anche in ambiti apparentemente lontani dal mondo dei numeri: può aiutarci a risolvere misteri e fare luce su eventi reali. Come direbbe Dexter: “Il sangue non mente”.

Qui in allegato trovate fonti e consigli di letture:

• Un approfondimento sulla veridicità delle gesta di Dexter
• Qui trovate tutte le applicazioni matematiche nei casi investigativi
• Qui un articolo che riporta l’esempio di cui abbiamo parlato
• Una nostra intervista a un membro del RIS
• Un nostro articolo su come predire reati con la matematica
• Una recensione di Numb3r, la serie tv che ha a che fare con la matematica e le investigazioni