Continua la rubrica di giochi matematici “un anonimo giochista”.

Diamo la soluzione del problema posto nella scorsa puntata.

2.1 – Un ferragosto pitagorico (soluzione)

Ricordiamo che una terna pitagorica $$a,b,c$$ è una terna di numeri interi positivi che verificano $$a^2+b^2=c^2$$, ovvero che rappresentano le misure intere dei lati di un triangolo rettangolo.

Un giorno $$a/b/c$$ è detto giorno pitagorico se $$a,b,c$$ è una terna pitagorica. Quali sono i giorni pitagorici che possiamo trovare nei calendari?

Innanzitutto, per rispondere, è utile sapere che le terne pitagoriche primitive (cioè non multiple di un’altra terna) sono tutte della forma $$n^2-m^2, 2nm, n^2+m^2$$, con $$n>m$$ interi positivi. Verificare che quelle date sono terne pitagoriche (anche se alcune sono non primitive) è immediato:

$$(n^2-m^2)^2+(2nm)^2 = n^4-2n^2m^2+m^4+4n^2m^2 = n^4+2n^2m^2+m^4 = (n^2+m^2)^2\,.$$

Dimostrare che sono le uniche è un po’ più complesso. Tale formula per generare terne pitagoriche era già presente negli Elementi di Euclide.

Utilizzando tale formula, possiamo osservare che se $$a/b/c$$ è una data pitagorica, allora $$a\leq 31$$, $$b\leq12$$ e quindi

$$n^2+m^2 = c \leq \left[\sqrt{31^2+12^2}\right] = 33\,,$$

da cui segue immediatamente che $$0<m<n<6$$. Le terne possibili pertanto sono le seguenti:

$$m=1,n=2$$: $$3,4,5$$ (4 marzo e 3 aprile 2005)

$$m=1,n=3$$: $$8,6,10$$ (8 giugno e 6 agosto 2010)

$$m=2,n=3$$: $$5,12,13$$ (12 maggio e 5 dicembre 2013)

$$m=1,n=4$$: $$15,8,17$$ (15 agosto 2017)

$$m=2,n=4$$: $$12,16,20$$ (16 dicembre 2020)

$$m=3,n=4$$: $$7,24,25$$ (24 luglio 2025)

$$m=1,n=5$$: $$24,10,26$$ (24 ottobre 2026)

$$m=2,n=5$$: $$21,20,29$$ (nessuna data valida)

In tutti gli altri casi  $$n^2+m^2\geq34$$, quindi non forniscono date valide.

A queste vanno aggiunte le terne pitagoriche loro multiple. L’unica mancante è $$3$$ volte la terna $$3,4,5$$, ovvero $$9,12,15$$ (12 settembre e 9 dicembre 2015).

In ogni secolo sono pertanto presenti solo dodici giorni pitagorici.

2.2 – Ancora terne pitagoriche

Salutiamo i nostri lettori con due ultime domande: abbiamo visto che il numero più grande di una terna pitagorica è necessariamente esso stesso una somma di quadrati. E il numero più piccolo? Quali sono i possibili numeri $$a$$ di una terna pitagorica $$a<b<c$$? E se aggiungo la richiesta che la terna sia primitiva?