“Straccia-camicia” sembra un gioco banale, eppure nasconde un enigma che ha sfidato i matematici per decenni: esiste una partita che non finisce mai? La risposta definitiva è arrivata solo di recente. Ce ne parla Riccardo Moraschi.

Vi ricordate quel gioco di carte che non richiedeva nessuna strategia, nessuna scelta, solo il gesto meccanico di girare carte finché qualcuno non vinceva tutto il mazzo? In Italia lo conosciamo spesso come “Straccia-camicia” (o “Scamicia”). In inglese si chiama Beggar-my-neighbour. Sembra il passatempo più innocuo e banale del mondo, eppure questo gioco nasconde una domanda che ha tormentato innumerevoli matematici, tra cui il celebre John Conway. Il problema è semplice: Esiste una partita di Straccia-camicia che prosegue all’infinito?

Per capire il problema, dobbiamo guardare il gioco con gli occhi di un matematico. Straccia-camicia è un gioco deterministico. Non avete libertà di scelta. L’esito della partita è scritto interamente nell’ordine iniziale delle carte nel mazzo. Una volta mischiato e distribuito, il destino è segnato. Voi siete solo gli esecutori materiali di un algoritmo. Poiché il mazzo è finito (solitamente 40 o 52 carte), le configurazioni possibili sono tante, ma non infinite. Questo significa che ci sono solo due finali possibili:
1. un giocatore vince tutte le carte e la partita finisce.
2. La partita entra in un “ciclo”: le carte tornano esattamente nella stessa configurazione di un momento precedente. Se ciò accade, il gioco continuerà a ripetersi identico per l’eternità.

Ripassiamo brevemente le regole del gioco. Tutto comincia dividendo equamente un mazzo di carte tra due giocatori che, tenendo i propri mazzetti rigorosamente coperti, danno il via a una sequenza alternata di giocate. La meccanica di base è lineare: si scoprono le carte una sopra l’altra finché non compare una figura o un asso, evento che trasforma immediatamente la partita in una sfida di resistenza. Quando un giocatore gira una di queste carte dominanti, l’avversario è costretto a rispondere con un “tributo” di carte comuni, il cui numero varia in base al valore della carta scoperta: quattro carte per un Asso, tre per un Re, due per una Regina e una per un Jack. Se l’avversario completa la sequenza senza girare a sua volta una figura (o un asso), chi ha calato la carta iniziale incassa l’intero bottino sul tavolo, posizionandolo in fondo al proprio mazzo; se invece durante il pagamento appare una nuova figura, l’obbligo di riscossione si inverte immediatamente e la mano prosegue. Il ciclo si interrompe solo quando un giocatore riesce a completare il conteggio senza interruzioni, accumulando carte fino a lasciare l’avversario a mani vuote e decretando così il vincitore finale.

La domanda quindi è se esiste, in un mazzo standard da 52 carte, una configurazione che innesca questo ciclo infinito? Potreste pensare: “Beh, proviamo col computer!”. Facciamo un piccolo conto. Considerando un mazzo di 52 carte e pensando di voler distribuire solo le carte rilevanti, ossia gli assi, i jack, le donne e i re, allora le configurazioni possibili sono:
\[ \left( \begin{array}{c} 52 \\ 4\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 48 \\ 4\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 44 \\ 4\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 40 \\ 4\end{array} \right) \simeq 6.54 \times 10^{20}, \]
circa 83 volte il numero di granelli di sabbia sulla Terra! Utilizzando dei mazzi più piccoli, i cicli infiniti possono essere trovati facilmente. Consideriamo per esempio un mazzo di 6 carte formato da 2 Jack (\(J\)) e 4 carte normali (\(-\)), allora se le mani iniziali dei giocatori sono \(J\, -\, -\) e \(-\, J\, -\), abbiamo un loop.

Fino ad oggi, i ricercatori hanno trovato partite incredibilmente lunghe. La ricerca è rimasta vincolata principalmente alla potenza di calcolo e al tempo disponibili. Per dare un’idea della portata di questa analisi, basti pensare che Marc Paulhus ha riprodotto \(3,2 \times 10^9\) partite prima di pubblicare i suoi primi risultati; Richard Mann e Nicolas Wu hanno simulato circa \(10^{13}\) partite per stabilire un record nel 2007, eseguendo il calcolo come processo in background su un numero di computer compreso tra 5 e 10 presso il Dipartimento di Scienze dell’Ingegneria dell’Università di Oxford per diverse settimane. Nel 2014, William Rucklidge ha giocato \(3,3 \times 10^{15}\) partite sfruttando tra i 1.000 e gli 8.000 core inattivi di Google, a un ritmo di circa \(10^9\)partite all’ora per singolo core; infine, Reed Nessler ha totalizzato \(3,5 \times 10^{15}\) partite nel corso di diversi anni su un computer in disuso capace di elaborare \(7 \times 10^{10}\) partite all’ora.

Il sospetto che esista un loop anche per un mazzo completo di carte è fortissimo. Qui entra in scena John Conway, uno dei matematici più creativi della storia. Conway classificò questo quesito come un “Problema Anti-Hilbert”. David Hilbert, nel 1900, stilò una lista di 23 problemi che avrebbero dovuto guidare il futuro della matematica (e lo fecero). Risolverli significava aprire nuove strade alla scienza. Secondo Conway, il problema di Beggar-my-neighbour è l’opposto: è un problema che non dovremmo cercare di risolvere per il bene dell’umanità, ma che non riusciamo a smettere di guardare. Perché “Anti-Hilbert”? Perché sapere se esiste una partita infinita a carte non ci aiuterà a costruire ponti migliori, né a decifrare i segreti della fisica quantistica. È una curiosità fine a se stessa. È matematica per il gusto della sfida, o forse per il gusto dell’ossessione. Come disse il matematico Nowakowski: “Questo problema riappare periodicamente… deve essersi suggerito da solo ai giocatori nel corso dei secoli”.  ^{[1 ]}Nowakowski, Richard J., a cura di. More Games of No Chance. Cambridge University Press, 2002.

Nel 2024 abbiamo avuto una risposta affermativa: esistono partite che possono durare in eterno. In ^{[2 ]} Casella, Brayden, et al. “A Non-Terminating Game of Beggar-My-Neighbor.” The American Mathematical Monthly, vol. 132, no. 10, Dec. 2025, pp. 978-94. Taylor & Francis Online, gli autori presentano addirittura 30 possibili inizi che portano allo stesso loop: questo vuol dire che non solo abbiamo dimostrato che esistono delle partite infinite, ma sappiamo anche come alcune di loro sono fatte! (potrebbe essere utile memorizzarle così da evitare di giocare all’infinito!)
Il motivo per cui questo esempio esplicito di loop non era ancora stato trovato è che per scovarlo è servita l’intuizione corretta. L’idea è quella di partire da mazzi piccoli per cui si conosce l’esistenza del loop (come l’esempio \(J\, -\, -\) e \(-\, J\, -\), già presentato) e poi estenderlo a più carte. All’aumentare delle carte diventa complicato riuscire ad estendere i loop esistenti e per farlo diventa molto comodo lavorare con mazzi non bilanciati, ossia mazzi in cui i giocatori hanno un numero diverso di carte. Seppur tornare a un mazzo bilanciato risulta complicato, questa ipotesi di lavoro permette di vedere la creazione di pattern molto precisi. Tutto ciò ha permesso a Casella (uno degli autori) di formulare un ansatz su come possa essere fatto un loop. Cercando e creando dei mazzi con questa data struttura, essendo una ricerca molto più precisa rispetto alle precedenti in quanto non scandaglia tutti i possibili casi, è stato possibile trovare il loop desiderato.

Detto ciò, possiamo concludere che è matematicamente provato che si potrebbe giocare a carte all’infinito!

Riccardo Moraschi