La matematica è piena di Eulero!: Il problema di Basilea

da Lorenzo Paderni | 11 Maggio 2024 | Divulgazione, La matematica è piena di Eulero! | 0 commenti

Formula di Eulero, Teorema di Eulero, Funzione di Eulero, Caratteristica di Eulero, Costante di Eulero, Numeri di Eulero, Metodo di Eulero, … L’elenco potrebbe continuare a lungo; basta scorrere le voci di wikipedia per farsi un’idea. In effetti, Eulero è stato uno dei matematici più prolifici della storia: ha scritto 886 pubblicazioni, tra libri e articoli. È una scommessa pressoché sicura che ogni matematico ha il suo “Teorema di Eulero'” o la sua “Formula di Eulero” preferita. La Matematica è piena di Eulero! è una serie che raccoglie le scelte di alcuni membri del comitato di redazione di MaddMaths!, ai quali abbiamo chiesto di presentare uno di questi argomenti ai nostri lettori e lettrici. Il quarto episodio “Il problema di Basilea” è a cura di Sandra Lucente.

Basilea non se ne sta lì attorno al suo fiume, con i suoi ponti da attraversare soltanto per proporre sfide di teoria dei grafi (come scoprirete in questa serie). Se su uno di quei ponti ti metti a guardare lontano, non dalla parte verso le montagne, non puoi che pensare all’infinito. Lo stesso se rivolgi lo sguardo alle guglie gotiche della cattedrale, l’infinito lo vedi in verticale. E poi vuoi cambiare direzione allora scendi nella cripta e trovi le spoglie di Erasmo da Rotterdam che qui aveva insegnato ai tempi in cui si diffondeva la stampa a caratteri mobili, l’esplosione del linguaggio trasmesso, condiviso, di lingue intrecciate. Un olandese in Svizzera, non è un fenomeno che stupisce oggi, ma ieri era qualcosa di straordinario. Tra l’altro, dal suo nome abbiamo il programma Erasmus, non ci stupisce nemmeno che il filosofo abbia detto

“Ci sono tante grammatiche quanti sono i grammatici e anche di più”.

L’infinito nella cripta della cattedrale è in questa possibilità di parole scelte tra infinite combinazioni di caratteri. Cosa vogliamo scegliere? “La massima felicità è raggiunta quando un uomo vuol essere quello che è” ci raccomanda Erasmo.

Circa un secolo dopo la morte del filosofo a Basilea si trasferisce la famiglia Bernoulli da cui gemmano otto grandi matematici che danno nuovo lustro nell’università della città. Poiché erano parecchio litigiosi, non diremo quale di loro ha avuto merito maggiore sulle questioni dell’infinito, ma di certo tra ponti, cattedrale e università tutto era pronto a Basilea per la nascita di Leonard Eulero. A soli 16 anni, nel 1723 si laurea anche lui in filosofia ma poi è educato alla matematica dai Bernoulli e venne accompagnato da loro anche nella carriera accademica, fino a ritrovarsi come alcuni di loro in Russia, a 24 anni. È nell’imperiale San Pietroburgo, con un altro fiume e un’altra cattedrale che succedono due cose: Eulero inizia a perdere la vista forse a causa del suo lavoro di cartografo, Eulero ha un sorprendente risultato sulla somma infinita dei reciproci degli infiniti quadrati degli interi:

\[\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\dots +\frac{1}{n^{2}}+\dots\]

In qualche modo questa storia parla di come guardare l’infinito senza guardare troppo in dettaglio.

Il problema di trovare la somma dei reciproci degli infiniti quadrati degli interi fu proposto nel 1644 dall’italiano Pietro Mengoli. Fu ben studiato, ma invano, da lui, poi, sempre invano, dai Bernoulli e dopo circa un secolo arrivò la straordinaria risposta di Eulero. Proprio per questo viene chiamato “problema di Basilea”: una dedica alla città in cui l’infinito si era fatto svelare non solo con la grammatica naturale o architettonica, né completamente da quella filosofica, ma anche dalla grammatica delle serie numeriche.

Pietro Mengoli era uno studioso bolognese, allievo di Bonaventura Cavalieri e quindi “nipote” scientifico di Galileo Galilei. Per l’infinito aveva una vera e propria predilezione, il suo infinito scorreva sommando infiniti termini.

Mengoli dimostrò per primo che sommando infiniti termini infinitesimi si può ottenere l’infinito, cosa che oggi scriveremmo come

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty.\]

Dimostrò anche che questo non vale sempre dandoci esempi meravigliosi in cui termini infinitesimi sommati infinite volte danno numeri ben famosi. Il primo esempio fu la serie geometrica senza supereroi e tartarughe:

\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=2.\]

Un altro suo bel risultato riguardava la somma della serie armonica generalizzata:

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}=\ln 2.\]

Mentre, porta il suo nome la serie dei reciproci dei numeri triangolari:

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n(n+1)}=2.\]

Ne fece varie estensioni, ad esempio:

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{4}.\]

La tecnica di Mengoli consisteva nel riscrivere “meglio” il termine generale della serie. Ad esempio

\[\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\]

lo aiutava a sommare la serie dei reciproci dei numeri triangolari. Il lettore deve comprendere che c’è un guizzo algebrico nell’ultima uguaglianza, a ben pochi viene immediatamente in mente che

\[\frac{1}{n^{2}}=\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{n^{2}(n+1)},\]

ma guardando questa formula e le righe precedenti da

\[\frac{1}{n^{2}}<\frac{1}{n(n+1)}\]

e dalla convergenza della serie di Mengoli si ha che anche la somma dei reciproci dei quadrati deve avere somma finita. Si domanda Mengoli: quanto vale questa somma? Il futuro problema di Basilea entra nella storia della matematica. Non avrà risposta Mengoli che per dieci anni, d’altra parte egli lasciò queste questioni per concentrarsi sulla metafisica e persino (ovviamente invano) sulla “quadratura del cerchio”. Per una sorta di nemesi algebrica la risposta di Eulero relaziona le passioni del sacerdote bolognese:

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}.\]

È un risultato bellissimo.

Già la serie di Mengoli letta da destra a sinistra dà la vertigine dell’infinito:

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=1\]

significa che possiamo riempire un metro quadro di infiniti rettangolini di base \(\displaystyle\frac{1}{n}\) e altezza \(\displaystyle\frac{1}{n+1}\). La risposta di Eulero lascia il tranquillo insieme dei numeri naturali e ci dice che un sesto di un quadrato di lato \(\pi\) si può riempire di infiniti quadrati di lato \(1\), \(\displaystyle\frac{1}{2}\), \(\displaystyle\frac{1}{3}\),\(\displaystyle\frac{1}{4}\) e così via. Nessuno ci avrebbe mai scommesso.

Giochiamoci ancora. Immaginate di chiedere a qualcuno quanto fa \(1+1+1+1+\dots +1\) dieci volte? Vi dirà \(10\). E infinite volte? Vi dirà infinito. Quanto fa \(\displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{16}\)? Farà di conto e vi dirà \(\displaystyle 2-\frac{1}{16}\). E se sommiamo infinite volte le potenze di \(\displaystyle \frac{1}{2}\)? Se ha capito il gioco delle serie vi dirà \(2\). Quanto fa \(\displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\dots +\frac{1}{9\times 10}\)? Con il trucco di Mengoli viene \(\displaystyle 1-\frac{1}{10}\). E infinite volte la somma del prodotto di reciproci successivi? Avremo \(1\). Ma chi può indovinare che la somma dei reciproci dei quadrati degli interi, che manipoliamo sin da piccoli, ci regali un quadrato irrazionale e trascendente? Beh che \(\pi\) fosse irrazionale e trascendente non era ancora noto con certezza nemmeno ad Eulero, ma il coraggio di quella affermazione con gli strumenti del Settecento rendeva il matematico svizzero se non trascendente almeno sovrumano. Gli portò grande fama.

Andiamo a vedere la dimostrazione di Eulero. Nel 1731 Eulero si rese conto che le approssimazioni della serie gli richiamavano il quadrato di \(\pi\), allora invece di partire dalla somma dei quadrati Eulero ebbe l’idea cruciale: partire proprio da \(\pi\). Della sua grammatica della dimostrazione però egli diceva:

“la grandezza dell’ingegno non garantisce mai dall’assurdità delle opinioni abbracciate”.

In quattro anni l’idea di partire da \(\pi\) si raffinò: partire da qualcosa che descriva la circonferenza: la funzione seno! Eulero conosceva lo sviluppo di Taylor della bella funzione che descrive l’ordinata di un punto che si muove sulla circonferenza:

\[\sin x = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\dots,\]

e poteva ricavare per \(x\neq 0\) la formula

\[\frac{\sin x}{x} = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k+1)!}=1-\frac{x^{2}}{3!}+\frac{x^{4}}{5!}-\frac{x^{6}}{7!}+\dots.\]

A questo punto Eulero ebbe una intuizione che sembrava un gioco d’azzardo: se quello di Taylor è un polinomio, allora applichiamo le regole dei polinomi, tra cui un bel risultato di Viete un contemporaneo francese di Erasmo da Rotterdam che in grammatica algebrica asserisce che

“la somma dei reciproci delle radici di un polinomio con termine noto uguale a 1 è uguale al coefficiente del termine di primo grado cambiato di segno”.

Ad esempio, nelle equazioni di secondo grado \(ax^{2}+bx+c=0\), con radici \(x_1,\, x_2\), da \(\displaystyle x_1x_2=\frac{c}{a}\) e \(\displaystyle x_1+x_2=-\frac{b}{a}\), se \(c=1\), si ricava

\[\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-b.\]

Il termine noto dello sviluppo di Taylor di \(\displaystyle \frac{\sin x}{x}\) è \(1\) e le radici di \(\displaystyle \frac{\sin x}{x}\) sono del tipo \(\pm\pi\), \(\pm2\pi\), \(\pm3\pi\) e così via. Purtroppo, a destra non ci sono \(x\) ma \(x^{2}\) quindi Eulero preferisce concentrarsi su

\[\frac{\sin\sqrt{z}}{\sqrt{z}}=1-\frac{z}{3!}+\frac{z^{2}}{5!}-\frac{z^{3}}{7!}+\dots\]

che visto da sinistra ha radici \(\pi^{2}\) ,\(4\pi^{2}\), \(9\pi^{2}\) e così via. Qui Eulero decide di barare, se la regola di Viete vale per i polinomi infiniti, allora il termine di grado \(1\) ha per coefficiente la somma dei reciproci delle radici:

\[\frac{1}{6}=\frac{1}{\pi^{2}}+\frac{1}{4\pi^{2}}+\frac{1}{9\pi^{2}}+\frac{1}{16\pi^{2}}+\dots\]

Moltiplicando per \(\pi^{2}\) il gioco è fatto!

Passeranno altri sei anni affinché Eulero convinca la comunità della dimostrazione, o forse un secolo per poter giustificare davvero il passaggio da polinomi a serie infinite, ma la bellezza del risultato è chiara sin dal primo momento e i matematici non mollano un risultato bello perché sanno che di lì nasceranno nuove idee.

La serie

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}\]

con esponente complesso genera la ben nota funzione zeta di Riemann sulle cui radici ci interroghiamo dal 1859 e se Eulero ci ha mostrato la via per calcolare i valori di questa funzione per interi pari, forse ci vuole un nuovo Eulero per risolvere il più noto dei problemi di Hilbert e del Millennio.

Un altro approccio alla bellezza matematica è la ricerca di belle dimostrazioni dello stesso risultato. Se \(\pi\) è nella risposta alla somma dei reciproci dei quadrati allora è meglio usare gli sviluppi trigonometrici, non polinomiali, per questo il problema di Basilea oggi è insegnato con gli strumenti dell’analisi di Fourier.

Ed infine qualche applicazione: prendiamo due bussolotti immaginari con infiniti numeri interi all’interno: qual è la probabilità che estraendo casualmente un numero da ciascun contenitore si ottengano due coprimi? Il reciproco della somma dei reciproci dei quadrati ovvero \(\displaystyle \frac{6}{\pi^{2}}\).

Ma la parole “infine” è vietata in un articolo sull’infinito e nemmeno in un articolo su Eulero perché la soluzione di questo problema è solo uno dei suoi mirabili risultati che continueranno a ispirare non solo altri matematici ma anche altra matematica, o se vi piace, non solo altri grammatici ma anche altre grammatiche.

Alla prossima puntata della nostra serie!