Venerdì 4 settembre 2026 l’Assemblea Generale dell’ONU ha approvato, con un solo voto contrario, una mozione per raccomandare l’utilizzo di un nuovo planisfero, introdotto nel 2018,  che va sotto il nome di Equal Earth. Ma che bisogno c’è di introdurre un planisfero e perché quello di Mercatore, da molti considerato lo standard, non va più bene? Ce ne parla Nicola Ciccoli. 

Un planisfero, una rappresentazione su carta geografica dell’intero pianeta ^{[1 ]}O meglio di un suo sottoinsieme che sia omeomorfo a un dominio connesso del piano., è, per forza di cose una immagine ben poco dettagliata della realtà, non viene usata per scopi pratici. Ci sono due informazioni che è in grado di dare immediatamente a chi lo guarda: la proporzione delle aree e quella delle forme di varie parti del mondo. Che forma ha la penisola iberica? Che dimensioni ha il Madagascar? C’è un problema però. In conseguenza di un risultato di Gauss (la cui applicazione alla sfera era probabilmente già nota ai cartografi ellenistici) non è possibile determinare una mappa anche solo di una piccola porzione della superficie terrestre che trasformi tutte le distanze per lo stesso identico fattore di scala. Una porzione di sfera (o di ellissoide, approssimazione migliore della superficie terrestre) non è mai isometrica (neanche a meno di un fattore di scala) a una porzione di piano. E, se ci pensiamo bene, questo vuole dire che le aree non possono essere tutte trasformate in maniera proporzionale e le forme non possono essere conservate: le circonferenze  sulla sfera verranno trasformate in ellissi  con diverse lunghezze degli assi, o in figure ancora più complesse.

Separatamente, però, le due proprietà possono essere verificate. Esistono mappe che rispettano la proporzione tra aree, dette equiareali. Esistono mappe che conservano le forme, o, in maniera più rigorosa, gli angoli tra curve, dette conformi. Il planisfero di Mercatore è un esempio di rappresentazione conforme, e come tutte le rappresentazioni conformi produce mappe molto adatte alla navigazione e al tracciamento di rotte. Ma distorce le aree in maniera significativa, soprattutto verso i poli. L’esempio famoso è la Groenlandia che in questo planisfero sembra molto più grande di quanto non sia in realtà.

Il planisfero proposto, come dice il nome, è invece un esempio di proiezione equiareale, la Groenlandia viene riportata alle sue reali proporzioni, ma le direzioni e le forme ne risultano leggermente distorte.

In questa situazione di “coperta corta” è ragionevole chiedersi se si possa trovare un punto di incontro: esistono mappe equiareali che minimizzino la distorsione delle forme? Esistono mappe conformi che minimizzino la distorsione delle aree? Ed esistono mappe che minimizzano la distorsione complessiva senza essere né equiareali né conformi? Da un punto di vista matematico questo approccio richiede una buona definizione, anzitutto, di una misura di distorsione. Esiste più di un modo di considerare questa distorsione, forse il più efficace è stato introdotto da Milnor. Se immaginiamo che su di una superficie il fattore di scala vari da punto a punto raggiungendo un valore minimo \(\sigma_1\) e un valore massimo \(\sigma_2\) allora Milnor definisce la distorsione metrica totale come il valore \(\delta= \ln (\sigma_1/\sigma_2)\). Chiaramente se il valore della scala fosse lo stesso in ogni punto della mappa il valore della distorsione sarebbe 0, ma questo, come detto, è impossibile. Esistono mappe che rendono minimo il valore della distorsione? E tra le mappe equiarea e quelle conformi quali sono quelle che avvicinano più questo limite? La risposta dipende dalla porzione di superficie della sfera rappresentata. Uno dei problemi è dato dal fatto che il fattore di distorsione può tranquillamente tendere all’infinito. E’ il caso di Mercatore; la distorsione metrica non è superiormente limitata andando verso i poli.

Nell’articolo di Milnor si dimostra che per ogni dominio chiuso e limitato della sfera la distorsione minima può essere effettivamente ottenuta. Per le mappe conformi questa distorsione minima viene raggiunta quando il valore della distorsione è costante lungo il bordo della regione che si rappresenta; è questo un risultato ottenuto già da Chebyshev, nel suo tentativo di ottimizzare la rappresentazione cartografica della Russia. Alle mappe equiareali può invece richiedersi di essere quasi-conformi, di avere cioé un limite finito al rapporto tra deformazione massima e minima degli angoli.

Questa misura di distorsione totale di una mappa non è però l’unica possibile e nel recente presente sono state proposte anche valutazioni alternativi su buoni indici di deformazione. Inoltre spesso a richieste sull’indice di deformazione si aggiungono richieste ulteriori. Ad esempio che meridiani e paralleli si intersechino a 90 gradi, oppure che le distanze lungo una linea di riferimento (l’equatore o un tropico) o rispetto a un punto vengano riscalate in maniera regolare. Non mancano le rappresentazioni che ammorbidiscono la richiesta di continuità su sottoinsiemi più complessi dei soli due poli, come tutte le mappe cosiddette interrotte (la più famosa l’avete vista sicuramente) . Le rappresentazione equiareale consigliata dall’ONU è una modifica di rappresentazioni equiareali precedenti (come la Eckert IV) nel tentativo di ottenere una rappresentazione dall’aspetto più piacevole. La gradevolezza dell’aspetto non è, come ovvio, un criterio matematico. La ricca storia della cartografia è un tentativo constante di bilanciare criteri estetici, richieste pratiche, non di rado in contrasto tra loro, e criteri matematici. Una storia che non a caso ha visto protagonisti i migliori matematici.

Qualcuno obbietterà che ogni problema di rappresentazione viene risolto usando un mappamondo, che non comporta nessun tipo di distorsione. Il che è vero, sino a quando non si riflette sul fatto che l’atto di vedere un mappamondo non è nient’altro che una ricostruzione di immagine che avviene nel nostro cervello a partire da una proiezione dell’oggetto reale, sferico, sulla superficie della retina (che non è piana ma ha una curvatura molto modesta) e quindi, in ultima analisi, nuovamente una combinazione di trasformazioni geometriche che introducono delle deformazioni. L’ineliminabile imperfezione delle mappe cartografiche è proprio ciò che ancora oggi permette di ragionare ancora su come migliorare la rappresentazione  piana di una superfice curva, problema non privo di applicazioni pratiche, come facile immaginare. Spesso è anche foriera di polemiche: dopo tutto ognuno di noi ha la sua mappa preferita.

Immagine di copertina: Physical map of the Earth using the Equal Earth projection, centered on the Greenwich meridian , Strebe, CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons