Alessandro Zaccagnini ci propone un suo “Dialogo sui numeri primi”, un esercizio di stile in cui cercherà di parlare dei numeri primi in modo interessante senza usare formule, o quasi. Nel dialogo, che qui presentiamo a puntate, o meglio “giornate”, troveremo tre personaggi presi a prestito da Galileo: Salviati, che è un copernicano (un teorico dei numeri analitico), Sagredo, che è un patrizio (un matematico di un altro settore), e Simplicio, che è un tolemaico (un dilettante). Questa è la Giornata sesta, nella quale si discute del Teorema dei Numeri Primi. Tutte le puntate le trovate sempre a questo link.

Giornata sesta, nella quale si discute del Teorema dei Numeri Primi

Simplicio. Immagino che dovremo parlare di Riemann, prima o poi.

Salviati. Non avere fretta, Simplicio, c’è ancora parecchia strada da fare prima di arrivare a Riemann. Sul nostro cammino troveremo ancora le nostre vecchie conoscenze Legendre e il gigante Gauss.

Simplicio. Di nuovo Legendre?

Salviati. Sí, solo per ricordare la formula che ha ottenuto con la sua analisi del crivello di Eratostene: può dare delle informazioni quantitative, ma sono poco gestibili e in definitiva poco accurate. E, per chiudere con Legendre, bisogna dire che è stato tra i primi a congetturare il Teorema dei Numeri Primi, piú o meno contemporaneamente a Gauss.

Simplicio. Cosa dice il Teorema dei Numeri Primi?

Salviati. Prima ti dicevo che ci sono alcuni insiemi di numeri interi per cui è interessante sapere quanti elementi non superano un dato limite \(N\).

Simplicio. Hai detto che \(N\) potrebbe essere molto grande, ben al di là delle possibilità dei computer.

Salviati. Esatto. Ma anche per gli \(N\) relativamente piccoli può essere piú interessante una risposta approssimata ma facile da calcolare, di una risposta esatta che richieda molte risorse.

Sagredo. Qui torniamo al discorso di cosa vuol dire una formula approssimata data da una funzione “semplice” con errore “tollerabile.”

Simplicio. Sí, infatti, ne avete parlato ieri ma poi il discorso ha preso un’altra strada.

Sagredo. È il momento di riprenderlo, vero Salviati?

Salviati. Senz’altro. Naturalmente, tra gli insiemi per cui ci si fa questa domanda ci sono i numeri primi.

Simplicio. Quindi ci chiediamo: fra i numeri interi da 1 ad \(N\), approssimativamente quanti sono i numeri primi? Ho capito bene?

Sagredo. [A parte.] Lo vedi che quando ti ci metti d’impegno le cose le capisci?

Salviati. Riassumendo: sappiamo che esistono infiniti numeri primi, perché Euclide prima ed Eulero poi l’hanno dimostrato. Vogliamo sapere, come minimo, se sono frequenti quanto i numeri pari, o rari quanto i quadrati perfetti.

Simplicio. Non possono essere frequenti quanto i numeri pari: almeno la metà di tutti gli interi sono composti. E poi abbiamo già detto che al massimo un terzo degli interi sono primi, quando mi hai spiegato il principio di inclusione-esclusione.

Sagredo. Però, per quello che sappiamo ora, i numeri primi potrebbero essere almeno l’1% di tutti gli interi. Giusto, Salviati?

Salviati. Sí e no.

Simplicio. Non mi sembra una risposta da matematico …

Salviati. La risposta è sí, se partiamo da quanto dimostrato da Eulero. Ma, dimenticando Gauss per un minuto, la risposta è no se teniamo conto dei bellissimi teoremi dimostrati da Frits Mertens nel corso della seconda metà del diciannovesimo secolo.

Sagredo. Sbaglio o lo hai già menzionato?

Salviati. Sí, quando abbiamo parlato della complessità del crivello di Eratostene. Fra le altre cose Mertens ha scoperto una versione precisa del Teorema di Eulero, partendo dalla formula di Stirling.

Sagredo. La formula di Stirling? Quella per calcolare approssimativamente \(N!\)?

Salviati. Proprio quella. Anche se in forma indiretta, la scomposizione in fattori primi di \(N!\) contiene delle informazioni sui numeri primi fino ad \(N\) e Mertens è riuscito ad estrarle, per cosí dire, rendendole piú esplicite.

Simplicio. Quanto sono accurate queste informazioni?

Salviati. Non molto. Si può congetturare la verità, ma non dimostrare, per esempio, che l’ennesimo numero primo \(p_n\) sia approssimativamente uguale a \(n \log(n)\), che equivale al Teorema dei Numeri Primi, come dicevo ieri.

Sagredo. Ma, se capisco il tuo sottinteso, queste informazioni bastano ad escludere che l’1% degli interi sia un numero primo.

Salviati. Esatto. La percentuale dei numeri primi fra i numeri interi fra 1 ed \(N\) tende a 0, in modo irregolare ma nemmeno tanto, quando \(N\) tende a infinito.

Sagredo. La prima domanda, però, resta il tasso, cioè la velocità con cui questa percentuale tende a 0, o sbaglio?

Salviati. Esattamente. Le formule congetturate da Gauss e Legendre, e l’insieme di elegantissimi risultati di Mertens, puntano nella stessa direzione, e cioè che fino ad \(N\) vi sono circa \(N / \log(N)\) numeri primi.

Simplicio. Salviati, ho notato che hai parlato piú volte di logaritmi. Dato che non li conosco, potresti esprimere questi risultati facendone a meno?

Sagredo. [A parte.] Si tratta di matematica elementare. Hai la pretesa di fare scoperte sui numeri primi senza conoscere le basi della matematica …

Salviati. In realtà no, Simplicio. Possiamo formulare i piú importanti risultati sui numeri primi in molti modi diversi, grazie soprattutto a Pafnuty Chebyshev, ma non è possibile evitare del tutto la funzione logaritmo naturale.

Simplicio. Dunque il Teorema dei Numeri primi può essere enunciato in piú modi equivalenti?

Salviati. Sí, è possibile enunciarlo in piú modi; è una cosa utile perché una delle formulazioni alternative è piú facile da dimostrare per motivi tecnici. Come dicevo, grazie al lavoro di Chebyshev possiamo evitare qualche complicazione, ma non proprio tutte.

Sagredo. Prima hai detto che Gauss e Legendre sono stati i primi a congetturare il Teorema dei Numeri primi, ma in forma diversa.

Salviati. In effetti sí. Legendre lo ha congetturato nella forma che ho menzionato prima, e cioè che esistono circa \(N / \log(N)\) primi fino ad \(N\). Se ricordate il discorso su “funzione semplice ed errore tollerabile,” questa è senz’altro una funzione semplice.

Sagredo. E l’errore?

Salviati. Legendre non ne parla, mentre Gauss dà una formula piú complicata, in cui il termine principale è dello stesso stesso ordine di grandezza all’infinito della formula di Legendre, ma poi ha notato che il termine d’errore della sua formula cresce molto piú lentamente, sulla base dei suoi dati empirici. Quanto congetturato da Gauss è stato confermato solo un secolo piú tardi.

Simplicio. Un secolo per dimostrare un solo teorema?

Salviati. Un secolo e una decina di grandi matematici.

Sagredo. Il progresso è stato lentissimo.

Salviati. Non dobbiamo dimenticare che ci sono stati molti passaggi intermedi: per esempio, nella prima metà del diciannovesimo secolo Pierre Lejeune Dirichlet ha trovato un modo per dimostrare che esistono infiniti numeri primi nelle progressioni aritmetiche, estendendo l’idea di Eulero ben al di là dell’originale.

Sagredo. E cosa ha dimostrato, di preciso?

Salviati. Per fare solo un piccolo esempio, ha dimostrato che esistono infiniti numeri primi che terminano con le cifre 143. Precisamente, se nella serie armonica cancelli tutti gli addendi tranne i numeri primi che terminano con le cifre 143, quella che resta è ancora una serie divergente.

Sagredo. Sembra impossibile, perché si cancella “quasi tutto.”

Salviati. Infatti, sembra impossibile.

Sagredo. Se non sbaglio, fino a 10000 ci sono solo due numeri primi che terminano con 143.

Salviati. Mi pare di sí, 2143 e 6143. Naturalmente, Dirichlet ha dimostrato piú in generale che la serie armonica fatta sui soli numeri primi in certe progressioni aritmetiche è divergente.

Simplicio. Certe progressioni? Non tutte?

Salviati. Non proprio tutte perché la progressione aritmetica 5, 15, 25, 35, 45, … contiene solo un numero primo, mentre la progressione 4, 14, 24, 34, 44, … non ne contiene affatto.

Sagredo. Salviati, dicevi che la dimostrazione di Dirichlet contiene idee originali che vanno oltre quelle di Eulero.

Salviati. Ha introdotto alcune funzioni complesse, che ora si chiamano funzioni \(L\) di Dirichlet, che generalizzano la funzione zeta di Riemann e sono, ancora oggi, la chiave per comprendere come sono distribuiti i numeri primi nelle progressioni aritmetiche.

Simplicio. Non capisco. Dirichlet precede Riemann, o sbaglio?

Salviati. È vero, ma pur avendo preso il nome da Riemann la funzione zeta era già nota a Eulero che ne conosceva bene alcune proprietà, ed era comparsa in casi particolari anche un secolo prima dello stesso Eulero.

Sagredo. In matematica, spesso anche i giganti si arrampicano sulle spalle di altri giganti per poter guardare piú lontano …

Simplicio. Salviati, mi puoi spiegare il contributo di Riemann?

Salviati. Vista l’ora, oggi mi limito a dire che come Eulero ha fatto il passaggio, tutt’altro che scontato, dall’aritmetica all’analisi reale, cosí Riemann ha fatto un altro passaggio, forse ancora piú difficile, dall’analisi reale all’analisi complessa.

Sagredo. Vorrei concludere, se posso, con un’osservazione sull’importanza delle dimostrazioni multiple. I matematici ridimostrano spesso lo stesso teorema, anche come sottoprodotto di altre ricerche.

Simplicio. Cosa vuoi dire, Sagredo?

Sagredo. Che qualche volta non si va semplicemente in cerca della dimostrazione di un risultato di cui siamo convinti, ma nella ricerca c’è una certa dose di “serendipità,” cioè talvolta ritroviamo dei risultati magari noti che otteniamo con una strada diversa da quella già conosciuta, oppure troviamo dei risultati diversi da quelli che ci eravamo prefissi.

Salviati. La matematica è multidimensionale e si può arrivare allo stesso punto da molte direzioni diverse.

Sagredo. Non solo. Quando si parte in cerca di un risultato nuovo, non si sa a priori che strada si farà e che cosa si incontrerà lungo il cammino: non è impossibile trovare delle scorciatoie per ottenere con meno fatica dei risultati già noti.

Simplicio. Mi lasciate con molte cose su cui riflettere, stasera.

Salviati. Ma spero di averti interessato ancor piú alla mia disciplina.

Simplicio. Di sicuro. Mi aspettavo che fosse piú facile: in fondo parliamo solamente di numeri interi e tutti possono capire i numeri interi.

Salviati. Ho cercato di spiegarti che non bastano “solo” i numeri interi per capire bene i numeri primi. Domani vedremo che non bastano neppure i numeri reali, ma che è necessario utilizzare i numeri complessi, meglio ancora l’analisi complessa, come ha mostrato Riemann.

Sagredo. Salviati, che ne dici di ricapitolare quanto abbiamo discusso oggi, aggiornare la nostra seduta a domani e rilassarci con un bel pranzo a base di prodotti del mio orto?

Salviati. Abbiamo visto che Eulero ha dato una dimostrazione radicalmente nuova del teorema di Euclide sui numeri primi. Questo ha messo in moto un meccanismo che, attraverso Gauss, Legendre, Dirichlet ed altri matematici di cui parleremo domani, ha portato alla dimostrazione del Teorema dei Numeri Primi, nel 1896.

Sagredo. Quindi, come dicevi prima, è passato circa un secolo dalla prima congettura alla dimostrazione vera e propria.

Salviati. Alla fine del diciannovesimo secolo i tempi erano maturi, tanto è vero che ne sono state date due dimostrazioni simultanee e indipendenti. Sono stati Charles Jean de la Vallée Poussin e Jacques Hadamard.

Sagredo. E chi si è avvicinato di piú alla verità, Gauss o Legendre?

Salviati. La formula di Gauss è piú vicina al numero esatto dei numeri primi.

Simplicio. E Riemann?

Salviati. Riemann ha indicato la strada, ma non è stato cosí fortunato da percorrerla tutta fino in fondo.

Simplicio. Quindi dedicheremo la giornata di domani a Riemann?

Salviati. Inevitabilmente. Ma ora, accettiamo l’invito di Sagredo e andiamo a pranzo!

Sagredo. Benissimo. Nel pomeriggio ancora musica: questa volta divertimenti di Mozart. Poi questa sera, dopo una bella cena in onore dei numeri primi, potremo sfruttare il cielo limpido che avremo e ammirare Giove e Saturno che brilleranno verso sud, vicino al Sagittario.

Salviati. E la luna non sarà molto lontana! Sarà proprio un bello spettacolo!

Fine della sesta giornata

L’immagine di copertina è un dettaglio di una lettera che Gauss ha scritto nel 1849 all’astronomo Johann Franz Encke in cui parla delle sue ricerche sui numeri primi e mette a confronto la sua formula con quella di Legendre e presa da qui.

Alessandro Zaccagnini