Riceviamo e condividiamo il seguente contributo di Giorgio Ottaviani, Professore ordinario di Geometria presso l’Università di Firenze, sul tema della didattica a distanza a livello universitario. Lo pubblichiamo nella speranza di aprire un dibattito nella nostra comunità accademica.

L’insegnamento a distanza della matematica nei corsi universitari pone delle problematiche nuove e inaspettate. Non è possibile riprodurre lo stesso schema di una lezione in presenza. Occorre immaginazione per sperimentare nuove strategie che mantengano gli obiettivi formativi e rispondano con efficacia al difficile periodo che ci aspetta.

a Carlo Casolo, con affetto e gratitudine.

Tino Faussone, l’indimenticabile protagonista de “La chiave a stella“ di Primo Levi, narra la sua passione per un lavoro ben fatto come tecnico montatore, che spesso si distingue per i particolari, tutti ben curati e preparati. Molti matematici condividono con Faussone l’amore per il proprio lavoro (“che purtroppo è privilegio di pochi” ammonisce Levi) e si trovano a sperimentare l’impossibilità di continuare a farlo come prima in questi giorni di emergenza per il corona virus. I matematici universitari riescono a proseguire a distanza la maggior parte della ricerca. Per la didattica no, per la didattica è cambiato tutto. E’ assai probabile che anche l’anno accademico 2020/21 andrà cominciato a distanza, e dobbiamo essere pronti ad elaborare delle strategie adatte a questa nuova situazione. La nostra didattica si deve evolvere, in senso darwiniano.

Tutti rimpiangiamo l’aula piena di studenti, con le nostre amate lavagne, e il dialogo diretto e formativo volto a “costruire” una dimostrazione. Che ha lo scopo di “convincere” chi ci ascolta della verità di una affermazione. E quando non vediamo chi ci ascolta, tutto diventa molto più difficile. Qualcuno ha sperimentato l’effetto di tornare nella classe vuota. E di registrare una lezione alla lavagna. C’è un effetto di tristezza, e un docente triste non fa una bella lezione. Ma c’è di più, e questa è la prima tesi che vorrei sostenere. La didattica a distanza non va pensata come un surrogato di quello che si faceva in presenza. Non possiamo ripetere le stesse cose che facevamo, o tendere ad una approssimazione il più fedele possibile. Dobbiamo e possiamo pensare a strategie diverse. Dobbiamo cercare il meglio, e non conservare l’esistente. Chi troverà le strategie migliori avrà maggiori possibilità di sopravvivere. C’è il pericolo, dietro l’angolo, che i docenti universitari vengano sostituiti da filmini precotti. Due, tre corsi di Calculus, che si ripetono in tutte le università italiane. O magari del mondo, in lingua originale e con i sottotitoli. Questa sarebbe una sconfitta per i docenti, ma soprattutto per gli studenti. Come Faussone dobbiamo prestare particolare attenzione alla didattica dei prossimi anni. Dobbiamo impegnarci a trovare qualcosa di più, a curare con attenzione tutti i particolari. Non vorrei essere frainteso. Condivido l’ansia e l’insicurezza di questi giorni e vorrei tanto tornare indietro alle classi in presenza. Cerco solo di adattarmi alla situazione, e dobbiamo adattarci nel migliore modo possibile. Molti di noi verranno invitati a fare lezione in aule attrezzate per la registrazione e dovremo cercare il meglio da queste situazioni. Che hanno il vantaggio di preparare una fase di transizione “mista”, che non sappiamo quanto potrà durare. Ma ci possono essere altre modalità altrettanto efficaci e più economiche, anche dal proprio domicilio. Che potrebbero convivere, con il metodo comune di avere una interazione diretta con gli studenti, che è a mio avviso il punto irrinunciabile. Questa è l’occasione per sperimentare davvero una didattica innovativa. Non ho ricette pronte e mi auguro che ai pochi suggerimenti che cerco di dare se ne aggiungano altri. L’esperienza, che dobbiamo ancora farci, ci dirà quale strada perseguire. Ma se non sperimentiamo nuove possibilità non avremo esperienza su cui basarci. Dobbiamo avere la consapevolezza che siamo in un punto di svolta, per tutta la società, che avrà delle ricadute profonde anche sulla professione del matematico e del docente.

La tavoletta grafica

La prima volta che ho provato la tavoletta grafica ho avuto un senso di delusione, dovuto probabilmente alla mia cattiva calligrafia. Ho provato ad insistere, su consiglio di colleghi, e con l’uso sono un poco migliorato, tanto che mi permetto di raccomandare la diffusione delle tavolette grafiche. Al prezzo di circa 60 euro permettono di trasformare la maggior parte dei computer, munendoli di uno schermo grafico. L’esperienza di condividere lo schermo con un gruppo di persone permette di discutere di Matematica con qualche formula davanti, in modo molto efficace. E’ uno dei modi in cui si possono seguire a distanza laureandi e dottorandi. Ogni Dipartimento potrebbe custodire un certo numero di tavolette grafiche di scorta, in caso di guasti. Durante una lezione, la tavoletta permette di passare velocemente da una formula scritta a mano, a una animazione, a un software. Permette insomma la convivenza tra schermo e lavagna che è difficile da attuare nelle aule in presenza dove, quando va giù lo schermo, la lavagna viene spesso coperta o drasticamente ridotta. Ricordiamoci che ogni nuova tecnologia necessita di un periodo di apprendimento.

La Matematica nei corsi per matematici e fisici

L’insegnamento della matematica ha varie sfaccettature, con una parte di esposizione di teorie di ampio respiro, che mettono lo studente a contatto con problematiche nuove sull’infinito, sullo spazio, sulla logica dove si impara una certa spregiudicatezza a manipolare i quantificatori (“per ogni epsilon esiste delta”). Accanto a questo c’è un aspetto maieutico di ricerca della verità attraverso il dialogo e la sperimentazione continua, anche verso se stessi, esercitandosi a togliere e mettere ipotesi, dapprima in contesti elementari e poi più avanzati . E infine c’è l’aspetto pratico, di confidenza con i calcoli e la ricerca di strategie computazionali efficaci ed efficienti, che si apprende con anni di esercizi. Tutti aspetti difficili da realizzare a distanza, ma non impossibili. Non impossibili se riusciamo a trasmettere agli studenti le motivazioni e la passione per il lavoro individuale e di gruppo. Con la speranza che gli studenti possano ritrovarsi in piccoli gruppi. Se non in presenza, dovremo dare loro occasioni telematiche, magari chiedendo di preparare delle liste di esercizi, delle brevi relazioni a gruppi, per dare loro la possibilità di conoscersi e di interagire tra loro. La tradizione italiana dei corsi di matematica “undergraduate” dà ancora una ottima preparazione a livello internazionale (e in questo siamo in buona compagnia con i colleghi scientifici), come è purtroppo testimoniato dalla incessante fuga di cervelli. Dobbiamo prestare molta attenzione che questo patrimonio non venga perduto.

Le esercitazioni devono essere privilegiate rispetto alle lezioni. Il contatto con gli studenti deve rimanere fondamentale. Non è pensabile limitarsi a registrare le lezioni in anticipo, senza avere poi una interazione. Mi viene in mente qualche spunto preso dalla “Flipped classroom”, così di moda in questo momento tra i docenti più audaci delle scuole superiori [Flipped]^{[1 ]}[Flipped] M. Maglioni, F. Biscaro, La classe capovolta, Erickson 2014. Semplificando, si tratta di un capovolgimento tra le attività svolte in classe e quelle svolte a casa. In una certa misura, questo atteggiamento potrebbe fornire una strada da sperimentare nella didattica universitaria. In quest’ottica, alcune lezioni potrebbero essere registrate in anticipo, e date per scontate dal docente che, al momento dell’incontro a distanza, richiama alcuni punti fondamentali e poi si dedica in pieno alle esercitazioni per apprendere i concetti con esempi ed esercizi, stimolando domande da parte degli studenti, e ponendo lui stesso delle domande in diretta a chi lo sta seguendo a distanza.

“L’arte di insegnare e interrogare”, come insegnava Enriques nel suo classico testo sempre attuale sull’insegnamento dinamico [Enriques]^{[2 ]}[Enriques] F. Enriques, L’insegnamento dinamico, Periodico di Matematiche, 1921. Questo deve rimanere un punto pedagogico irrinunciabile, senza il quale l’insegnamento perde di efficacia e qualità. Dobbiamo fare i conti anche con i registri delle lezioni, e questo è un punto spinoso. Occorre flessibilità nel conteggio delle ore frontali di lezione, che devono poter comprendere sia le lezioni registrate in precedenza (magari in una certa percentuale) che quelle svolte in diretta con gli studenti. Tutti abbiamo avuto esperienza che, registrando una lezione a distanza, si va più veloci. Ma al tempo stesso gli studenti hanno la possibilità di ascoltare più volte una lezione registrata. Non ci può essere una equivalenza di tempi tra una lezione a distanza e una lezione tradizionale in presenza.

La Matematica nei corsi di servizio

Uso il termine corsi di servizio, che si presta a interpretazioni poco benevole, nel senso che i corsi di Matematica per studenti universitari che non diventeranno matematici o fisici sono un servizio per loro, perché danno loro una formazione culturale e scientifica, e per il Dipartimento, perché ci permette di diffondere la cultura matematica e di interagire con altri ambienti. Formazione preziosa, perché insegna che la realtà viene descritta bene da modelli matematici, che poche funzioni sono sufficienti a descrivere una varietà incredibile di situazioni.

È indubbio che la matematica a distanza nei corsi di servizio pone le maggiori preoccupazioni. Quando un corso numeroso è diviso in più canali (ad esempio A-L, M-Z) può essere ragionevole che parte delle lezioni a distanza diventino comuni. Naturalmente le esercitazioni dovrebbero rimanere distinte per ciascun canale e qui la maggiore attenzione per le esercitazioni diventa ancora più vitale.

Mi è stato fatto notare che il sistema Wolfram Alpha ha un solutore online che risolve la maggior parte, se non la totalità, degli esercizi che possiamo dare a un corso di Matematica di primo anno. A titolo di esempio si trovano successioni, serie, limiti, derivate, integrali, equazioni differenziali, sistemi lineari, calcolo di autovalori e autovettori, classificazione di coniche e quadriche. Pagando un abbonamento aggiuntivo, si ottengono anche i passaggi intermedi del procedimento risolutivo.

Con gli esami a distanza, è difficile verificare che lo studente non “bari”, utilizzando questi strumenti. Questa osservazione rinnova la domanda su quali sono gli obiettivi di un corso di servizio di Matematica. Il timore di un aiuto informatico può favorire la crezione di esercizi, sia durante l’anno che agli esami, che richiedano una maggiore consapevolezza degli strumenti matematici usati, che è quello che serve all’ingegnere, al biologo, ecc.. Per citare un esempio, è istruttivo proporre esercizi su autovalori e autovettori, con una attenzione alle applicazioni, oltre lo standard “trovare gli autovettori di A”, si veda ad esempio [Strang]^{[3 ]}[Strang] G. Strang, Algebra lineare, Apogeo 2008. E’ opportuno cercare di mantenere il linguaggio visivo e grafico accanto a quello analitico delle formule, per questo la tavoletta grafica, e magari software di geometria dinamica come GeoGebra, possono risultare parecchio utili a distanza.

La Matematica per l’insegnamento

È indubbio che nei corsi di Matematica per l’insegnamento, come li abbiamo concepiti fino adesso, la componente di approccio laboratoriale ai problemi e di discussione comune è fondamentale. Mi piace riportare la notissima frase presa da “La Matematica per il cittadino” [UMI]^{[4 ]}[UMI] Matematica per il cittadino, 2001, reperibile sul sito UMI “L’ambiente del laboratorio di matematica è in qualche modo assimilabile a quello della bottega rinascimentale, nella quale gli apprendisti imparavano facendo e vedendo fare, comunicando fra loro e con gli esperti”. Questi corsi soffrono, durante l’emergenza COVID, delle stesse enormi difficoltà che hanno i corsi di Laboratorio di Fisica e Chimica.Se ci sono poche deroghe per corsi da svolgere in presenza, i corsi di Matematica per l’insegnamento dovrebbero avere la priorità e potrebbero essere trattati alla stregua dei corsi di laboratorio sperimentale. I docenti dovranno avere ancora maggiore fantasia nell’inventarsi situazioni da descrivere con video e a dare possibilità di discussione a tutti gli studenti. Accenno che il Dipartimento di Firenze ha promosso dal 2014 il Premio “Laboratorio Matematico Riccardo Ricci”, rivolto a classi di scuola superiore. Chi è interessato può trovare in rete [LabMat]^{[5 ]}[LabMat] Il premio Laboratorio Matematico Riccardo Ricci, Florence University Press, 2019 il volume con i contributi presentati alle prime edizioni, con delle idee veramente pregevoli e fantasiose. Purtroppo l’edizione 2020 è stata rimandata per l’emergenza virus; attività di questo tipo sono davvero difficili, se non impossibili, da progettare in questo periodo. Ho molto apprezzato che viceversa la tradizionale Gara Matematica individuale sia stata trasformata in Gara a gruppi a distanza ! Ove possibile, cerchiamo di continuare a distanza attività condivise con i colleghi delle scuole superiori.

Gli esami

Come osservazione preliminare, le prove intermedie acquistano ancora maggiore importanza a distanza, perché stimolano lo studente a seguire con costanza il corso, a svolgere gli esercizi, a partecipare assiduamente ed attivamente. Una parte considerevole di studenti può sostenere l’esame alla fine del corso se ha seguito le prove intermedie. Nella maggior parte delle università americane le prove intermedie (homework) sono svolte a casa dallo studente. Non troverei scandaloso dare fiducia allo studente accettando degli elaborati prodotti in autonomia a casa, evitando il controllo video a distanza, che in casi numerosi può diventare molto complesso. A condizione di verificare alla fine con un esame orale.

Veniamo a un aspetto positivo. La tradizione italiana degli esami orali di Matematica si rivela molto preziosa. Ed è probabilmente alla base della buona preparazione undergraduate sottolineata in precedenza. Uno scritto a quiz può essere copiato, nel mettere crocette è facile ricevere suggerimenti. Ad un orale, soprattutto per gli studenti di Matematica e Fisica, siamo interessati a una comprensione superiore, e non sarà mai il suggerimento di un eventuale complice nascosto a cambiare il corso di un esame. La padronanza di un argomento è chiara da un dialogo docente – studente, anche se svolto a distanza. E questo dialogo è facilitato se docente e studente condividono lo stesso testo, magari l’elaborato scritto dallo studente. A distanza ogni dialogo si allunga nei tempi, e questo è un aspetto negativo.

Il numero degli appelli va ridotto, se non vogliamo che l’attività di docente diventi un esamificio. L’abitudine a “provare l’esame”, così frequente nei corsi di servizio, potrebbe aumentare con gli esami a distanza. Troveremo moltre difficoltà a convincere i colleghi che il numero di appelli non è proporzionale alla qualità di una Università, è vero semmai il contrario.

Un piccolo suggerimento pratico che potrebbe aiutare la riduzione degli appelli, insieme al mantenimento delle prove intermedie: le date degli appelli vengono fissate dal Corso di Laurea, mentre l’orario può essere scelto dal docente. In questo modo il Presidente del Corso di Laurea riesce a programmare le prove in modo che gli esami siano sufficientemente distanziati tra loro. Il docente, potendo scegliere l’ora, che può essere anche non standard, riesce ad ovviare al problema che le risorse informatiche della stessa casa sono condivise da partner e figli. Molte/i colleghe/i hanno figli piccoli in casa e devono attendere un aiuto che è disponibile solo a determinate ore. Il problema e le preoccupazioni sulle pari opportunità in tempo di COVID sono state affrontate con molta efficacia da Chiara de Fabritiis su [MaddMaths], sito che, in modo attuale, sta affrontando la problematica dell’insegnamento della matematica a distanza.

Un po’ di stile

Sono rimasto piacevolmente sorpreso, grazie alla webcam, che circa un terzo degli studenti del terzo anno di Matematica, dunque tutti nativi digitali, avevano arredato la loro stanza con una lavagna. Evidentemente abbiamo trasmesso loro qualcosa di più dei contenuti dei corsi.

Chissà cosa avrebbe detto Faussone del corona virus. Non avrebbe potuto continuare i suoi viaggi intorno al mondo. La prima cosa da ricordarci è che il suo autore aveva passato periodi ben peggiori di questo, e la storia ci può aiutare a non drammatizzare oltre misura. Anche noi, come Faussone “ci terremmo a fare le cose con un po’ di stile”(“Off-shore” in [Levi]^{[6 ]}[Levi] P. Levi, La chiave a stella, Einaudi 1978). Questo rimane il nostro punto fisso, qualunque sia la tecnologia che adottiamo. E allora riusciremo a togliere il punto interrogativo del titolo.

Giorgio Ottaviani
Dipartimento di Matematica e Informatica Ulisse Dini, Università di Firenze
giorgio.ottaviani@unifi.it
http://www.math.unifi.it/users/ottavian

Roberto Natalini

Roberto Natalini [coordinatore del sito] Matematico applicato. Dirigo l’Istituto per le Applicazioni del Calcolo del Cnr e faccio comunicazione con MaddMaths!, Archimede e Comics&Science.