Due assiomi nati da intuizioni lontane – uno geometrico, l’altro algebrico – sembravano tracciare percorsi incompatibili nell’universo degli insiemi. Un eccezionale risultato di David Asperó e Ralf Schindler mostra invece che queste visioni si sostengono a vicenda, offrendo una nuova prospettiva sul problema (apparentemente elementare ma in realtà profondissimo) di stabilire quanti sono i numeri reali. Questo articolo è stato scritto da Giorgio Venturi.

L’importanza di un risultato matematico risiede spesso in due componenti complementari: la sua difficoltà tecnica, ovvero il livello di sofisticazione richiesto per ottenerlo, e la sua profondità concettuale, cioè la capacità di illuminare aspetti fondamentali della matematica e, al tempo stesso, di aprire nuovi orizzonti. Entrambe queste componenti sono fortemente presenti nel caso del risultato di David Asperó (University of East Anglia) e Ralf Schindler (University of Münster) di cui parliamo in questo articolo. Il teorema in questione è stato pubblicato nel 2021 negli Annals of Mathematics in un articolo dal titolo “Martin’s Maximum++ implies Woodin’s axiom (*)”, suscitando grande entusiasmo nella comunità della teoria degli insiemi e della logica, ambito in cui sono attivi Asperó e Schindler. L’importanza del risultato ha attirato l’attenzione anche al di fuori del mondo accademico, portando alla pubblicazione di un articolo su Quanta Magazine che ne segnala la risonanza presso la comunità scientifica. Cerchiamo allora di capire perché questo risultato è considerato così significativo.

Prima di addentrarci nei dettagli tecnici – e nei termini un po’ misteriosi del titolo del loro lavoro – vale la pena fare un passo indietro e osservare la matematica da una prospettiva un po’ più ampia. Spesso si pensa alla matematica come a un territorio fatto solo di certezze assolute, formule esatte e dimostrazioni rigorose. In parte ciò è vero, ma c’è un aspetto meno visibile – e forse sorprendente – che gioca un ruolo fondamentale nella nascita di molte idee matematiche: il punto di vista. Anche se gli oggetti della matematica sono, per così dire, eterni e immutabili, il modo in cui li guardiamo può fare una grande differenza. Cambiare prospettiva può portare a scoprire connessioni nuove, a vedere strutture dove prima si vedeva solo complessità, o addirittura a unificare teorie che sembravano muoversi su binari separati. È proprio questo il caso del risultato di Asperó e Schindler. Con il loro lavoro, hanno costruito un ponte tra due approcci alla teoria degli insiemi che, fino a poco tempo fa, sembravano difficilmente conciliabili. Il loro teorema suggerisce che queste due visioni, lungi dall’essere incompatibili, possono in realtà sostenersi a vicenda. Vediamo allora quali sono queste due prospettive e perché il loro incontro rappresenta una svolta importante nei fondamenti della teoria degli insiemi.

Cominciamo descrivendo il problema matematico che ha motivato i due approcci che, nel risultato di Asperó e Schindler, vengono mostrati convergere. In parole semplici, il problema di fondo della teoria degli insiemi è che gli assiomi attualmente a disposizione non sono sufficienti per risolvere tutte le domande che emergono naturalmente al suo interno. Il caso più classico, e spesso citato, è il cosiddetto problema del continuo: quanti sono i numeri reali? Ovviamente sappiamo che sono infiniti, ma la teoria ideata da Cantor per confrontare le dimensioni degli insiemi infiniti non permette di determinare con certezza a quale tra i vari livelli di infinito corrisponde l’insieme dei numeri reali. Questo è un problema serio, soprattutto se si considera che la teoria degli insiemi è nata proprio con l’obiettivo di fornire un linguaggio e una struttura solida per parlare dell’infinito in matematica. Gli assiomi comunemente accettati alla base della teoria, noti come assiomi di ZFC (cioè la teoria di Zermelo-Fraenkel con l’aggiunta dell’assioma della scelta) non bastano per risolvere il problema del continuo. Per affrontare questa e altre questioni simili, i teorici degli insiemi hanno proposto l’aggiunta di nuovi assiomi, che possano estendere ZFC e “completare” la teoria. Ma qui nasce una nuova difficoltà: quali assiomi aggiungere? E su quale base? Ed è proprio qui che il punto di vista diventa fondamentale.

Per completare la teoria degli insiemi con nuovi assiomi, cioè con principi aggiuntivi che ci dicano quali insiemi esistono e quali no, permettendoci così di rispondere a problemi come quello del continuo, si possono adottare molte prospettive diverse. Tutte queste nascono dal tentativo di chiarire e completare il comportamento di una delle operazioni più fondamentali della teoria degli insiemi: l’operazione di potenza, cioè l’operazione che, dato un insieme, produce l’insieme di tutti i suoi sottoinsiemi (il cosiddetto insieme potenza). Questa operazione è centrale, perché secondo gli assiomi di ZFC, ogni insieme appartiene all’insieme potenza di qualche altro insieme. In altre parole, capire come funziona l’operazione di potenza equivale, in larga misura, a capire quali enti esistono nella teoria degli insiemi.

David Asperó e Ralf Schindler, ritratti durante la premiazione con la medaglia Hausdorff (2022) per il risultato presentato in questo articolo.

Un approccio per affrontare questo problema è quello di massimizzare gli insiemi potenza: cercare cioè di aggiungere nuovi assiomi che dicano che “esistono il maggior numero possibile di sottoinsiemi”. Gli assiomi che perseguono questa idea sono chiamati Assiomi di Forcing. Ma anche qui ci sono vari modi distinti di procedere. Nel caso dell’articolo di Asperó e Schindler, sono due le prospettive che vengono analizzate. Per ragioni di somiglianza con altre aree della matematica, solitamente queste due vengono chiamate “prospettiva geometrica” e “prospettiva algebrica”.

La prospettiva geometrica è ben esemplificata da un classico risultato dell’analisi matematica: il teorema della categoria di Baire. Esso afferma che se \(X\) è uno spazio topologico compatto di Hausdorff e \(\mathcal{D}\) è una famiglia numerabile di insiemi aperti e densi in \(X\), allora l’intersezione di tutti gli insiemi di \(\mathcal{D}\) è ancora densa in \(X\). Questo risultato mostra come sia possibile garantire l’esistenza di insiemi sulla base di considerazioni geometriche, determinate dalla struttura topologica dello spazio. Tuttavia, mentre il teorema di Baire è una conseguenza degli assiomi di ZFC, la situazione cambia quando si prova ad andare oltre: ad esempio, cosa succede se invece di intersecare una famiglia numerabile, proviamo a intersecare \(\aleph_1\) (cioè una famiglia di cardinalità pari al primo infinito non numerabile) insiemi densi?

In questo caso, non è più garantito che l’intersezione sia densa. Esistono infatti spazi per cui questa proprietà fallisce. E qui entra in gioco l’apporto dei teorici degli insiemi: è stato possibile identificare una classe massimale di spazi per cui una simile generalizzazione (per \(\aleph_1\)) del teorema di Baire continua a valere. Il principio che formalizza questa estensione si chiama Martin’s Maximum (\(\mathsf{MM}\)). L’assioma \(\mathsf{MM^{++}}\), che compare nel titolo dell’articolo di Asperó e Schindler, è una raffinata generalizzazione di Martin’s Maximum. Anche se contiene elementi tecnici più sofisticati (su cui non è necessario entrare), mantiene intatta la natura geometrica del principio di base. L’interesse per \(\mathsf{MM}\) e \(\mathsf{MM^{++}}\) è dovuto al fatto che si tratta di assiomi estremamente potenti, in grado di risolvere numerosi problemi lasciati aperti dagli assiomi standard di ZFC. Tra questi, spicca proprio il problema del continuo: \(\mathsf{MM^{++}}\) implica infatti che la quantità di numeri reali è \(\aleph_2\) (cioè il secondo infinito non numerabile).

La prospettiva algebrica, invece, è ben esemplificata dalla nozione di chiusura algebrica. Un esempio familiare viene dalla costruzione dei numeri. È noto, ad esempio, che i numeri interi si ottengono a partire dai numeri naturali chiudendo questi ultimi rispetto all’operazione di sottrazione: abbiamo bisogno di numeri come -\(5\) per dare un senso a operazioni come \(7\)-\(12\). Allo stesso modo, i numeri razionali si ottengono a partire dagli interi chiudendoli rispetto all’operazione di divisione (eccetto la divisione per zero, naturalmente). E proseguendo questo processo si arriva ai numeri complessi, che costituiscono un insieme chiuso rispetto a tutte le operazioni algebriche fondamentali: somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione e radici. Per questo motivo si dice che i numeri complessi formano un campo algebricamente chiuso. E questa chiusura ha un valore importante: rende più semplice e trasparente determinare quali oggetti esistono, perché ogni equazione algebrica che può essere scritta ammette una soluzione in questo contesto. A questo punto, possiamo chiederci: cosa succede se adottiamo un approccio analogo nella teoria degli insiemi? È esattamente questo il tentativo alla base dell’Assioma \((*)\), proposto da Hugh Woodin. L’idea è quella di trattare gli insiemi come oggetti generati da alcune operazioni insiemistiche di base, e poi costruire una teoria che sia chiusa rispetto a queste operazioni – un po’ come i numeri complessi sono chiusi rispetto alle operazioni algebriche. In questo senso, l’assioma \((*)\) può essere visto come una sorta di “chiusura algebrica applicata all’universo degli insiemi”, e il suo obiettivo è proprio quello di massimizzare l’esistenza in modo coerente. Anche questo principio ha conseguenze importanti: permette di risolvere molti problemi lasciati aperti da ZFC, e contribuisce a definire con maggiore chiarezza quali insiemi “dovrebbero” esistere in una teoria coerente e ben strutturata.

Il risultato dimostrato da Asperó e Schindler, secondo cui l’assioma geometrico \(\mathsf{MM^{++}}\) implica l’assioma algebrico \((∗)\), rappresenta un momento di particolare rilievo nella teoria degli insiemi. Questo perché unisce due prospettive profondamente diverse, nate da intuizioni e metodi differenti: una basata sulla struttura topologica e la massimizzazione geometrica degli insiemi, l’altra fondata su un principio di chiusura algebrica degli oggetti insiemistici. Il fatto che questi due approcci, sviluppati in modo indipendente, convergano suggerisce che siamo di fronte a una visione più coerente e strutturalmente solida dell’universo degli insiemi.

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