Ha senso insegnare la teoria degli insiemi a scuola? E se sì, in che modo? È possibile superare la diatriba tra l’idea anacronistica di usare gli insiemi per introdurre i numeri naturali nella pratica didattica e l’odio aprioristico per l’«insiemistica»? Questo articolo è stato scritto da Luigi Bernardi e Antonio Veredice ed è il terzo di una serie che trovate qui. 

Negli anni ’60 e ’70, durante il periodo della cosiddetta matematica moderna, la logica e la teoria ingenua degli insiemi sono state introdotte nei curricula scolastici di matematica di vari paesi, come Francia (V. Durand-Guerrier, 2020) e Stati Uniti, dove tale fenomeno – denominato new math – è stato al centro di un acceso dibattito con interventi fortemente critici da parte di molti matematici professionisti. Si veda a tal proposito il testo Why Johnny can’t add? The failure of the New Math scritto nel 1973 da Morris Kline.

La volontà di introdurre nuovi argomenti nei curricula di matematica trae origine dal movimento bourbakista; nel Convegno di Royamont del 1959, Dieudonné – levando il celebre grido «À bas Euclide» – esprime in modo dirompente la necessità di andare oltre l’insegnamento tradizionale. Nel suo intervento dal titolo “Per una nuova concezione dell’insegnamento della matematica”, Dieudonné propone, fra le altre cose, di introdurre il linguaggio e il simbolismo della teoria degli insiemi fin dalla scuola primaria. In seguito all’intervento di Dieudonné, nell’agosto 1960 si riunisce una commissione a Dubrovnik, in Jugoslavia, allo scopo di redigere un programma per l’insegnamento secondario che preveda anche l’introduzione di nozioni elementari della teoria degli insiemi.

La proposta di Dubrovnik e le istanze bourbakiste vengono accolte anche in Italia come motore del rinnovamento del curriculum di matematica a partire dai primi anni ’60: tra alcuni insegnanti e in molti libri di testo si fa spazio l’idea che i numeri debbano essere introdotti, a livello di scuola elementare, a partire dagli insiemi. Alla base di questa idea c’è la definizione di Cantor di numero ordinale come classe di equivalenza di insiemi ben ordinati rispetto alla relazione di isomorfismo.

Questo approccio presenta tuttavia limiti pedagogici, come evidenziato ad esempio da Michele Pellerey in “Oltre gli Insiemi” (Tecnodid, 1989), dove si sostiene l’importanza di «matematizzare situazioni grezze» rimandando l’introduzione di strutture matematiche più sofisticate a un maggior grado di consapevolezza del bambino. L’ondata bourbakista degli anni ’60 viene quindi parzialmente superata fra gli anni ’70 e ’80, nella fase di elaborazione dei programmi delle scuole elementari, medie e PNI (Piano Nazionale per l’Informatica) per i licei. Il superamento del bourbakismo in Italia si deve alle riflessioni teoriche e alla sensibilità didattica di persone come Giovanni Prodi, Umberto Cattabrini, Michele Pellerey e Vinicio Villani, i cui lavori pongono le basi per la parte matematica dei programmi per le scuole elementari pubblicati nel 1985 da una commissione istituita dal Ministro Falcucci e presieduta da Mauro Laeng.

I programmi del 1985 presentano cinque nuclei tematici: Problemi; Aritmetica; Geometria e Misura; Logica; Probabilità, Statistica, Informatica. La logica, se da un lato riveste una notevole importanza, non è però vista come contenuto matematico da aggiungere a quelli tradizionalmente insegnati nelle scuole elementari, ma come competenza trasversale. Nei programmi si esplicita infatti che «l’educazione logica, più che oggetto di un insegnamento esplicito e formalizzato, deve essere argomento di riflessione e di cura continua dell’insegnante». Questa riflessione continua deve essere perseguita ponendo attenzione alla «precisione e completezza del linguaggio, tenendo conto che il linguaggio naturale ha ricchezza espressiva e potenzialità logica adeguate alle necessità di apprendimento».
Per perseguire tali risultati è suggerito l’uso di attività concrete che siano ricche di potenzialità logiche: classificazioni mediante attributi, inclusioni, successioni. Viene affrontato esplicitamente il problema dell’approccio simbolico ma con un’attenzione particolare alla consapevolezza e ai significati da attribuire alle rappresentazioni simboliche. In quest’ottica si suggerisce di allargare l’uso dei simbolismi logici a contesti diversi, ad esempio estendere «la rappresentazione logica-insiemistica (Eulero-Venn, grafi, …) anche per aritmetica, geometria, scienze, lingua» e anche a «elementari questioni di tipo combinatorio» che possono essere considerate un «campo di problemi di forte valenza logica». Inoltre si chiarisce che «la simbolizzazione formale di operazioni logico-insiemistiche non è necessaria, in via preliminare, per l’introduzione degli interi naturali e delle operazioni aritmetiche».

Nonostante queste premesse, da lì in poi il percorso della logica nei programmi scolastici italiani e nelle successive Indicazioni Nazionali è quantomeno controverso. La logica viene difatti via via marginalizzata fino a scomparire del tutto: nelle Indicazioni Nazionali per la scuola primaria attualmente in vigore (2012) sono presenti esclusivamente i nuclei tematici Spazio e figure, Numeri e Relazioni, dati, previsioni e la parola “logica” non compare mai, se non nel traguardo «Leggere e comprendere testi che coinvolgono aspetti logici e matematici». Se da un lato quindi condividiamo in pieno il superamento del ruolo della teoria degli insiemi come propedeutico all’introduzione dei numeri e delle operazioni, non condividiamo la scomparsa in toto della teoria degli insiemi e della logica dalle Indicazioni Nazionali e delle prassi più consolidate.

Gli insiemi sono i protagonisti del percorso educativo che illustreremo nella prossima sezione, tuttavia la loro presenza non ha assolutamente uno scopo fondazionale, si tratta piuttosto di vedere gli insiemi come strumento per sviluppare abilità logiche e argomentative. L’idea di base è quella di superare la sterile «polarizzazione» tra l’idea anacronistica di usare gli insiemi per introdurre i numeri naturali nella pratica didattica e l’odio aprioristico per l’«insiemistica»: esiste una terza via!

IL PERCORSO DI ZERMELO

Zermelo è un percorso educativo per introdurre gli studenti ai valori di verità, ai quantificatori, alla negazione e all’argomentazione nell’ambiente significativo degli insiemi. Il nome è un omaggio al matematico e logico Ernst Zermelo. Come prima attività del percorso, che può essere proposto fin dalla classe prima di scuola primaria, vengono presentati i personaggi del furfante – che mente sempre – e del cavaliere – che dice sempre la verità. Ogni studente costruisce le due maschere, che verranno poi usate nelle successive lezioni.

Figura 1: Gli studenti creano le proprie maschere

Per abituarsi ai personaggi, gli studenti sono quindi invitati a fare affermazioni indossando la maschera del cavaliere o del furfante. Attività fondamentali sono quelle di descrizione dell’ambiente circostante – chiaramente fatta indossando le maschere – e di valutazione delle frasi dette dall’insegnante o dai compagni.

Figura 2: Costruire e valutare affermazioni

In seguito, si propongono queste stesse due attività di descrizione e valutazione sulle Tavole di Zermelo, ossia insiemi di persone, animali, figure o numeri. Le tavole costituiscono l’artefatto principale del percorso di Zermelo.

Figura 3: Esempi di tavole di Zermelo

Le descrizioni degli studenti saranno pian piano guidate dall’insegnante verso l’uso dei quantificatori «tutti», «almeno», «al massimo», «nessuno». È importante una precisazione: spesso, nelle prime classi di scuola primaria, si parla di «quantificatori» comprendendo però anche espressioni come «pochi» o «molti». I quantificatori logici, propri di un ambiente matematico, sono espressioni che hanno un significato chiaro e non ambiguo, mentre vanno evitate espressioni come «pochi» che sono giustamente soggettive e dipendono dal contesto.

Figura 4: Lo studente descrive la tavola indossando la maschera da furfante

Nel percorso di Zermelo, oltre a dare importanza ai quantificatori, si lavora molto sulla loro negazione. Una difficoltà nota, ad esempio, è quella di comprendere che per negare un’affermazione contenente un quantificatore universale è sufficiente un controesempio, ossia un elemento particolare – un testimone – che non rispetta la proprietà di cui si sta trattando. Nelle varie sperimentazioni fatte in classe, si è notato che il personaggio del furfante facilita questa dinamica di negazione. Il percorso prosegue fino a introdurre simboli specifici per quantificatore universale (∀) e esistenziale (∃). Anche se a prima vista può sembrare poco opportuno considerato il grado scolastico, in tutte le sperimentazioni fatte non abbiamo mai incontrato problemi per gli studenti, che anzi venivano incuriositi e stimolati dal simbolismo. I simboli sono presentati come simboli usati da furfanti e cavalieri nella loro isola (ossia in un contesto logico simbolico) e vengono motivati (∀ è una «A» al contrario, iniziale della parola «ALL», mentre ∃ è una «E» ribaltata, iniziale della parola «ESISTE»). Questi simboli sono anche un’occasione, con gli studenti più grandi, di osservare come la matematica non esista «da sempre» ma sia in continua evoluzione. Pur essendo oggi largamente usati sia nella scuola secondaria di II grado sia nei corsi universitari, i due simboli sono relativamente recenti: il simbolo per il quantificatore esistenziale è stato introdotto da Giuseppe Peano all’inizio del ‘900 e il simbolo per il quantificatore universale da Gerrard Gentzen negli anni ’30. Questi simboli non divennero canonici per la comunità matematica che negli anni ’60 e ’70.

Il percorso continua poi affrontando, sempre con un focus sul linguaggio e sulla logica, concetti come sottoinsiemi, unione, intersezione.

IL GIOCO ONLINE ZERMELO GAME

ZERMELO GAME è un gioco online che accompagna il percorso di Zermelo. Il gioco può essere giocato sia da L.I.M. che da PC. Quando si gioca, l’obiettivo principale è determinare se tutti o non tutti gli elementi di un dato insieme possiedono una certa proprietà oppure, in alternativa, se almeno uno o nessuno di essi la possiede.

Nella Figura 6 è chiesto se «tutti» o «non tutti» gli oggetti mostrati siano rossi. Se da un lato la risposta è chiara (non tutti), dall’altro non è immediato argomentare a favore della risposta. Messi davanti a un quesito del genere e chiamati ad argomentare, molti studenti affermano infatti «perché alcuni sono rossi» o, più di rado, «perché solo alcuni sono rossi». La verità è che per argomentare a favore della risposta, gli oggetti rossi non giocano alcun ruolo: non tutti gli oggetti sono rossi perché almeno uno non è rosso.

Figura 6: Non tutte le palline sono rosse perché esistono palline non rosse

La modalità testimone, attivabile nella home page (figura 5), implementa a livello digitale questa dinamica argomentativa: una volta che si risponde «non tutti» bisogna selezionare un elemento che non goda della proprietà in alto, mentre se si risponde «almeno uno» bisogna selezionare un elemento che goda della proprietà. Nei casi di risposte universali («tutti» o «nessuno») invece non è richiesta alcuna argomentazione aggiuntiva. Queste regole di argomentazione non sono artificiose, ma sono fedelmente riprese dalla Game Semantics, di cui abbiamo già discusso nella puntata precedente.

Figura 7: Il testimone del fatto che non tutte le palline siano rosse è una pallina verde o blu

Se si seleziona modalità negazione, allora oltre alle normali proprietà (ad esempio ROSSO, VERDE e BLU) compariranno anche queste stesse proprietà ma negate. Il simbolo ¬ va appunto letto come «non». Ad esempio, essere ¬ VERDE vuol dire «non essere verde», quindi – nel caso del gioco – o rosso o blu. Analogamente, essere ¬ PARI vuol dire «non essere pari», cioè dispari. Facendo riferimento alla situazione seguente, viene chiesto se tutte o non tutte le palline siano non rosse. Essendoci solo palline verdi o blu, la risposta è tutti.

Figura 8: Non essendoci palline rosse, tutte le palline sono non rosse

Più complicata è la modalità negazione in presenza anche della modalità testimone. Ad esempio, il testimone che «non tutte le palline sono non rosse» è proprio una pallina rossa. La dinamica di gioco con la negazione potrebbe, a prima vista, sembrare un gioco di parole tanto artificioso quanto inutile. Tuttavia, nel linguaggio comune usiamo costrutti simili senza esserne pienamente consapevoli. Ad esempio, la frase «in quella classe sono tutti disobbedienti!» fa parte del linguaggio quotidiano. Negare questa frase equivale ad affermare «non è vero, in quella classe non sono tutti disobbedienti», ossia, poiché il prefisso «dis» serve per negare, «¬ ∀ ¬ obbedienti». Negare questa frase vuol dire trovare un testimone che non goda della proprietà, ossia uno studente obbediente della classe. In altre parole, essere in grado di gestire con sicurezza i quantificatori, e relative regole di argomentazione, in un ambiente logico formale aiuta anche a navigare con sicurezza nel mare – più calmo ma più ambiguo – dei quantificatori nella vita quotidiana.

Gli ambienti di gioco POLIGONI e NUMERI propongono le stesse dinamiche appena presentate, con proprietà riferite però a poligoni (e.g., equilatero, almeno due lati uguali) e a numeri (e.g., pari, dispari, maggiore, minore).

La modalità SACCHI complica invece il lato logico e fanno la loro comparsa i quantificatori alternati: gli oggetti adesso in gioco sono i sacchi, ossia a loro volta insiemi di oggetti. Facendo riferimento alla Figura 9, viene chiesto se l’affermazione «esiste una pallina blu» sia valida «in ogni sacco» o «non in ogni sacco». Nella prossima puntata chiariremo meglio la scrittura BLU(pallina).

Figura9: C’è almeno una pallina blu in ogni sacco?

Il nostro invito è fare un poco di teoria degli insiemi fin dalla scuola primaria, attribuendo alla teoria degli insiemi e alla logica, oltre a un ruolo cruciale per lo sviluppo cognitivo dello studente, il ruolo di analisi delle conoscenze matematiche già possedute. Un ruolo simile a quello svolto dalla grammatica nello studio della lingua madre. Non fare teoria degli insiemi perché in passato è stata fatta per scopi discutibili non ci sembra un’argomentazione valida. In altre parole, il fatto che esista un modo sbagliato di usare gli insiemi a scuola… non prova che tutti i modi di usare gli insiemi a scuola siano sbagliati!

Alla prossima!

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