Di recente, un modello di IA di OpenAI ha confutato una celebre congettura di Erdős, il cosiddetto “problema delle distanze unitarie”, ne abbiamo parlato qui. La questione riguardava quanti collegamenti di dimensioni simili si possono tracciare tra punti disposti su una superficie piana: Erdős aveva fissato un tetto massimo a quel numero, e per anni molti esperti l’avevano dato per buono. Il modello ha invece mostrato che quel numero può essere molto più grande: ricorrendo a un’idea poco nota della teoria algebrica dei numeri, l’AI ha costruito strutture complesse dalle dimensioni elevatissime e le ha usate per disporre i punti in una configurazione molto diversa da quelle che gli esseri umani avevano preso in considerazione. Un risultato che ha colto di sorpresa la comunità: alcuni non si aspettavano di vedere quella congettura smentita. Nel nostro articolo abbiamo cercato riportare alcune impressioni relative a questo risultato. Questa storia ha fatto però un altro passo in avanti.

Infatti, meno di una settimana dopo, Thomas Bloom, dell’Università di Manchester, nel Regno Unito, e alcuni suoi colleghi hanno usato un ragionamento simile per smentire un’altra celebre affermazione, formulata da Erdős nel 1976: la congettura “somma-prodotto”. Dopo aver visto l’IA di OpenAI usare la teoria algebrica dei numeri per risolvere un problema di geometria, Bloom e colleghi hanno capito di poter tentare la stessa mossa sulla congettura somma-prodotto.

Di cosa parla questa congettura? Dice che, se prendi tutti i numeri di un insieme e li sommi a due a due, e poi li moltiplichi a due a due, una coppia alla volta, ottenendo così due nuovi insiemi, almeno uno dei due dovrà risultare molto più grande di quello di partenza: non puoi tenerli entrambi ugualmente piccoli. Un paio di esempi. Se moltiplichi tutti i numeri da 1 a 5 ottieni un insieme più grande che se li sommi, perché tra le somme compaiono dei risultati duplicati, come 2+3 e 1+4. Prendendo invece un altro insieme, per esempio l’insieme dei numeri 1, 2, 4, 8 e 16, sarà l’insieme delle somme a essere più grande, perché quello dei prodotti contiene soltanto varie potenze di due.

Erdős aveva fissato un limite a quanto piccolo potesse restare il maggiore dei due insiemi, ed era convinto che valesse per qualunque insieme di numeri. Bloom e colleghi hanno invece usato lo stesso trucco ad alte dimensioni per trovare un insieme in cui sia la somma sia il prodotto sono più piccoli di quanto Erdős ritenesse possibile. Invece di usare una progressione geometrica di numeri, come le potenze di due, è possibile creare una progressione di numeri in molte dimensioni diverse contemporaneamente, che produce un insieme in cui il numero di somme diverse che si possono creare è molto più piccolo. “La costruzione è semplicissima da descrivere, e ora capiamo davvero perché la congettura di Erdős non regge: questo dovrebbe aiutarci anche con molti altri problemi collegati”, ha dichiarato Bloom.

L’intuizione originaria di Erdős, tuttavia, era che la congettura dovesse valere soprattutto per i numeri interi, e questo sembra essere ancora plausibile, perché l’insieme trovato da Bloom e colleghi ricorre a numeri che si fanno sempre più “complicati” man mano che gli insiemi crescono. Lo stesso Bloom concorda sul fatto che la congettura potrebbe reggere ancora per gli interi, e che “c’è ancora un’enorme quantità di lavoro da fare”.

L’intuizione di fondo, aggiunge Bloom, è che problemi apparentemente geometrici, come gli insiemi di quadrati di potenze di due, possano in realtà essere affrontati con gli strumenti della teoria dei numeri. C’è da sottolineare che in questo caso GPT-5.5 Pro è stato utilizzato come strumento di verifica nelle prime fasi dello sviluppo di questa dimostrazione, ma la dimostrazione finale, comprese tutte le idee principali, è stata quasi interamente generata da esseri umani.