Benvenuti al nuovo episodio di “Radici di Pop” la rubrica di Massimo Martone che scava nel terreno della cultura pop per far sbocciare, tra fumetti, meme e serie TV, i fiori della matematica. Questa volta entriamo direttamente nelle vostre case, davanti al divano e alla TV accesa. Vi mostreremo come anche una semplice scena di un film possa nascondere legami sorprendenti con la matematica. In particolare con una delle sue branche più affascinanti: la teoria dei giochi.

Se chiedessimo a qualcuno un esempio di teoria dei giochi al cinema, la risposta più probabile sarebbe A Beautiful Mind un film bellissimo, che racconta la vita di John Nash, uno dei padri di questa disciplina. Ma quello di Nash non è l’unico caso. In questo articolo scopriremo insieme come tante serie e film, che a prima vista sembrano lontanissimi dalla matematica, nascondano invece esempi viventi di teoria dei giochi. Basta saper guardare dietro le quinte delle scelte dei personaggi per scorgere dilemmi strategici, equilibri, alleanze e tradimenti. Serie come Friends, South Park, Simpson e tante altre nascondono riferimenti, espliciti o impliciti, alla teoria dei giochi. Se vi incuriosisce scovarli, vi lasciamo qui un link con una lista di film e serie famose in cui la matematica fa capolino, anche quando non ve l’aspettate.

Dr. Strangelove

Quest’oggi cominciamo la nostra rassegna con un grande classico del cinema, poi comparso in Tv: Dr. Strangelove, un cult imperdibile per ogni cinefilo. La trama, in apparenza semplice, ci porta nel pieno della Guerra Fredda: Stati Uniti e Unione Sovietica sono intrappolati in una spirale di tensione, e nessuna delle due potenze è disposta a fare il primo passo indietro. Senza svelare troppo: ci concentreremo sul finale del film, che, come evidenziato anche in un articolo della Cornell University, può essere letto come una critica all’applicazione della teoria dei giochi in scenari dove il rischio è semplicemente troppo alto. In particolare, il bersaglio sembra essere proprio l’equilibrio di Nash: quella situazione in cui ogni giocatore prende decisioni razionali… ma che, nel contesto della deterrenza nucleare, può portare a esiti catastrofici.

Ma cos’è l’Equilibrio Di Nash?

Per rispondere a questa domanda, dobbiamo fare un breve tuffo nei concetti base della teoria dei giochi.

Un gioco è costituito da tre elementi:

• Un insieme di N giocatori, che indicheremo con \( s=1,\dots,N \) ;
• Per ciascun giocatore s, un insieme di possibili azioni tra cui scegliere, indicato con un vettore \( A_s=(a_{s,1},\dots,a_{s,n}\) Una singola scelta del giocatore verrà indicata semplicemente con \( a_s \) ​;
• Una funzione di guadagno (o payoff) \( F_s(a_1,\dots,a_N) \) per ogni giocatore, che associa a ogni combinazione di scelte un valore. Importante: il guadagno di un giocatore non dipende solo dalle sue scelte, ma anche da quelle degli altri. Questo rende il gioco non cooperativo — cioè senza possibilità di accordi o contratti vincolanti tra i partecipanti.

Ora, che cos’è un equilibrio di Nash?

È una configurazione di strategie (una per ciascun giocatore) tale per cui nessuno ha convenienza a cambiare la propria azione, a patto che gli altri restino fermi sulle loro. Formalmente, per ogni giocatore s, deve valere:

$$ F_s(a_1, \dots, a_N) \geq F_s(a_1, \dots, a’_s, \dots, a_N) $$

dove  a_s’  è una possibile deviazione della strategia del giocatore sss. In altre parole: se tutti stanno giocando in equilibrio, a nessuno conviene essere l’unico a cambiare idea.

Un esempio pratico? Immaginiamo un gioco in cui ci sono N giocatori, e N-1 di loro scelgono la parola “maiale” e uno soltanto la parola “pollo”. Chi rimane isolato, molto probabilmente, ci rimetterà. L’equilibrio, quindi, premia la conformità: se tutti fanno una certa scelta, conviene anche a te fare lo stesso. Cambiare, da solo, peggiorerebbe solo il tuo guadagno.

E torniamo al film Dr. Strangelove: in quel contesto, l’equilibrio sembrerebbe suggerire che la strategia razionale sia minacciare l’attacco, per mantenere l’equilibrio della paura.
Ma come osserva il Dr. Stranamore stesso, quando in gioco c’è la sopravvivenza del mondo intero, la razionalità matematica non basta più. La teoria dei giochi ha un limite: funziona bene solo quando il rischio non è la fine di tutto.

Conclusioni

L’equilibrio di Nash non è l’unico concetto della teoria dei giochi ad aver fatto capolino sul piccolo (e grande) schermo e Dr. Strangelove non è certo l’unico titolo a parlarne. Abbiamo visto un esempio, ma ce ne sono molti altri. Il celebre dilemma del prigioniero, ad esempio, compare in forma perfetta in una delle serie più virali degli ultimi anni: Squid Game, nel gioco della campana (quello in cui i concorrenti devono decidere se saltare su vetro temperato o normale). Anche lì, il confine tra fiducia e strategia è sottilissimo ed è proprio questo che la teoria dei giochi studia. Tutto questo per dire una cosa semplice: la matematica è dappertutto.

P.s. Vi invito a recuperare l’articolo di Roberto Luchetti e il primo numero della collana Rivoluzioni Matematiche. Troverete degli approfondimenti su alcuni dei concetti affrontati!