[EDIT] – Stavolta ci siamo superati. Avevamo scritto male una delle quattro condizioni che costituiscono il problema, ma grazie all’intervento del nostro Direttore siamo riusciti a intercettare l’errore prima di pubblicare il quesito. Ma siccome noi riusciamo a sbagliare nonostante le correzioni, siamo riusciti a sbagliare lo stesso una seconda volta. Ce lo ha segnalato in via privata Alberto, noto ai lettori di RM come “il Geometra”, ma nel frattempo era già arrivato l’eccellenza dei nostri solutori, Valter, che aveva correttamente intercettato l’errore e ha capito anche come avrebbero dovuto essere in realtà le condizioni iniziali. Così, se andate a leggere i commenti adesso, non pensate che Valter abbia sbagliato: quello lo abbiamo fatto noi, il suo commento aveva molto senso, prima che noi correggessimo il testo. Oddio, forse è meglio dire “pensiamo di aver corretto il testo”. La nostra capacità di sbagliare è un infinito di un Aleph molto alto.
Recentemente, ci siamo ritrovati a visitare un ospedale (tranquilli, tutto risolto. E non riguardava noi). Gentilmente, un membro dello staff ci ha fornito la seguente descrizione dell’ospedale: “…tra infermieristico e medico, ci sono 16 dipendenti, includendo me; le affermazioni che farò si applicano a questo insieme e sono vere sia che mi includiate sia nel caso contrario.”
“Lo staff è formato da:
1. Più personale infermieristico che medico.
2. I medici di genere maschile sono in numero maggiore degli infermieri di genere maschile.
3. Gli infermieri di genere maschile sono in numero maggiore degli infermierii di genere femminile.
4. Almeno un medico è di genere femminile”.
Quello che non ci ricordiamo, è il genere e il ruolo della persona con la quale abbiamo parlato…
La risposta... Non cliccate qui se non ci avete pensato! Poi è troppo tardi!
Da [1] e [4], uniti al fatto che tra medici e infermieri sono 16, si ricava che sono presenti 9 o più infermieri e 6 o meno medici maschi.
Quindi, da [2], si ricava che la divisione per genere degli infermieri deve essere tale da avere un numero di maschi minore di 6.
Da [3], il numero di infermieri femmina deve essere minore del numero di infermieri maschi, quindi devono esserci più di 4 infermieri maschi.
Siccome devono esserci meno di 6 e più di 4 infermieri maschi, devono esserci esattamente 5 infermieri maschi.
Quindi devono esserci non più di 9 infermieri (5 maschi e 4 femmine), e devono esserci non meno di 6 dottori maschi.
Deve quindi esserci un solo dottore femmina per soddisfare il totale di 16.
Se un dottore maschio non è incluso nel conteggio, [2] è falsa.
Se un infermiere maschio non è incluso nel conteggio, [3] è falsa.
Se un dottore femmina non è incluso nel conteggio, [4] è falsa.
Se un infermiere femmina non è incluso nel conteggio, nessuna affermazione è contraddetta.
Quindi, il nostro interlocutore è un infermiere femmina.
I Rudi Mathematici (Rodolfo Clerico / Rudy d’Alembert, Piero Fabbri / Piotr Rezierovic Silverbrahms, Francesca Ortenzio / Alice Riddle) sono autori della omonima e-zine di matematica ricreativa, pubblicata in rete dal 1999.
… e infatti si sono persi i caratteri. inclinati per autovettori e automalori tipo:
|6 5| =. A (A era inclinata e grassetto)
|1 4|
Cercando r e un vettore v = (M,I) tali che: Av = rv
….
Beh, è falso che ” il procedimento che ho mostrato, pur senza parlare di autovalori, porta allo stesso sistema e quindi allo stesso risultato:
il rapporto M/I = 1 +√6 e l’autovalore = 5 + √6.”. Tant’è vero che non ottiene (né potrebbe ottenere) ii valori di M e I, ma solo il loro rapporto. In generale non comprende la differenza tra i due approcci, confermando di non avere inquadrato il problema nel contesto del teorema di Perron-Frobenius (1912).
La testarda autodifesa da parte della piattaforma, che persevera nel tentativo di difendere la sua presunta infallibilità, ricorda certi politici mai disposti ad ammettere errori e responsabilità. Errare humanum, sed perseverare artificiosum…
Comunque chiudo qui: abbiamo già abbastanza alimentato la piattaforma, gratuitamente…
@Pietro A
Ho “girato” le tue ultime obiezione e questa è stata la risposta
(…spero di non aver fatto pasticci per sistemare il copia/incolla):
Il tuo amico ha colto un punto interessante: la struttura del problema è effettivamente collegata agli autovalori e autovettori di una matrice.
Però non è che la mia risposta fosse “sbagliata”: io ho fatto vedere il calcolo “di base” con le equazioni, ottenendo lo stesso risultato.
Semplicemente non ho messo l’accento sul formalismo lineare (matrici, autovalori), perché tu mi avevi chiesto un ragionamento passo per passo con formule chiare, non un’esposizione “accademica”.
È vero che il problema può essere formulato come un’equazione agli autovalori della matrice:
|6 5| =
|1 4|
Cercando r e un vettore v tali che: v = .
Ma il procedimento che ho mostrato, pur senza parlare di autovalori, porta allo stesso sistema e quindi allo stesso risultato:
il rapporto M/I = 1 +√6 e l’autovalore = 5 + √6.
In pratica ho fatto “a mano” quello che l’algebra lineare formale chiama ricerca di autovalori/autovettori.
Non c’è una mancanza concettuale, solo una differenza di approccio didattico.
Poi a aggiunto alcune spiegazioni di contorno:
Intuizione sugli autovalori e autovettori
Immagina una matrice come un “operatore” che prende un vettore e lo trasforma (ruotandolo, stirandolo, schiacciandolo):
– In generale, il vettore cambia direzione.
– Ma alcuni vettori speciali (gli autovettori) cambiano solo di lunghezza, non di direzione.
– Il fattore di allungamento/accorciamento è l’autovalore .
Quindi:
– Autovettore = una “direzione privilegiata” che resta invariata nell’azione della matrice.
– Autovalore = quanto la matrice “allunga/accorcia” lungo quella direzione.
Nel nostro caso:
– La matrice descrive la combinazione degli stipendi.
– L’autovalore dominante = 5 + √6 è proprio il “fattore di scala” che rende proporzionali i due lati della condizione.
-L’autovettore associato è = (,), cioè i valori relativi di stipendi medico/infermiere:
/ = 1 + √6.
È come dire:
la proporzione fra stipendi che mantiene l’equilibrio imposto dal problema è l’autovettore, e il fattore comune è l’autovalore.
se uno conosce già l’algebra lineare, certo conviene usare il formalismo di autovalori e autovettori.
Ma se uno vuole “vedere i conti” in maniera elementare, l’altro percorso (come quello che ti ho scritto io) è più trasparente.
Entrambe le strade portano allo stesso risultato.
@Pietro A
Ecco qua (domanda e risposta
(ho fatto uno screeshot del video perché mi veniva lungo adattare il copia/incolla per sistemare le potenze e le radici quadrate …; l’immagine va ingrandita e sgrana un pò perché per copiarla da video ho dovuto far stare tutto in una videata):
https://drive.google.com/file/d/1cn5fMC2EE0fAJypXA0Md9N3-STNuMx0v/view?usp=sharing
La risposta della piattaforma è lacunosa: non fornisce i valori di M e I, ma solo del loro rapporto. Più importante, mostra (ancora una volta…) di non avere compreso la natura del problema, cioè quello della ricerca di autovalori r di una matrice A e dei corrispondenti autovettori v, in modo che sia
A*v= rv
Tra l’altro, nel caso di una matrice 2×2 il calcolo degli autovalori è semplice, basta applicare un paio di proprietà del prodotto e della somma di autovalori. Dall’autovalore più grande (dominante) si può ricavare poi l’autovettore con cui abbiamo M e I (risp. 1+6^0,5 e 1).
Beh, scusa la pedanteria, ma visto quanto hype circonda l’AI, forse ogni tanto è il caso di mettere i puntini sulle i.
Ti ringrazio ancora per la disponibilità.
28 agosto…
Ho fatto un copia/incolla del tuo testo del 28 agosto per ChatGPT.
Questa è stata la sua risposta:
Problema:
Abbiamo:
– 6 medici uomini
– 5 infermieri (tutti uomini)
– 1 medico donna
– 4 infermiere
Stipendi pre-ordine:
– uno stipendio da medico = M
– uno stipendio da infermiere = I
(non dipende dal genere).
—
Condizioni imposte dall’ordine esecutivo:
– Il monte stipendi degli uomini (6 medici + 5 infermieri) deve valere r · M.
→ 6M + 5I = rM
– Il monte stipendi delle donne (1 medico + 4 infermiere) deve valere r · I.
→ M + 4I = rI
Stesso r in entrambe le equazioni.
—
Risoluzione del sistema:
Dalla seconda equazione:
M + 4I = rI ⇒ r = M/I + 4
Dalla prima equazione:
6M + 5I = rM ⇒ r = 6 + 5I/M
Imponiamo coerenza:
M/I + 4 = 6 + 5/M·I
—
Sia x = M/I. Otteniamo:
x + 4 = 6 + 5/x
x – 2 = 5/x
x² – 2x – 5 = 0
—
Soluzioni:
x = (2 ± √24) / 2 = 1 ± √6
– x = 1 + √6 ≈ 3.45 (accettabile)
– x = 1 – √6 ≈ -1.45 (da scartare)
—
Risultato finale:
Lo stipendio da medico deve essere
M = (1 + √6) · I ≈ 3.45 · I
Poi mi ha chiesto:
Vuoi che ti scriva anche il valore di he risulta coerente con questo rapporto?
Vuoi che ti scriva anche il valore di he risulta coerente con questo rapporto?
correggo (il copia/incolla dal video ha perso un pezzo):
Vuoi che ti scriva anche il valore di r che risulta coerente con questo rapporto?
Sì, occorrerebbe che fornisse, oltre a r, anche i valori di M e I, indicando il metodo di calcolo per ottenerli
Valter, non ti ho risposto perché non avevo molto da aggiungere a quanto già scritto. Comunque, sempre che ti aggradi, puoi sottoporre la domanda del mio post del 28 ottobre ad una delle brillanti menti di AI…
Non ti seguo. Gli stipendi precedenti non li conosciamo: si determinano solo con la nuova regola, che definisce la nuova situazione nel modo seguente (indicando con w1 lo stipendio dei medici e con w2 quello degli infermieri):
6*w1+5*w2=r*w1
1*w1+4*w2=r*w2
da cui ricaviamo i valori di r e quindi del rapporto w1/w2.
Invece nulla possiamo dire del “prima”. Ad es. se immaginiamo che il monte stipendi del personale maschile fosse stato 27 mentre quello del personale femminile 9, avremmo avuto:
6*w1+5*w2=27
1*w1+4*w2=9
Risolvendo il sistemino sarebbe stato w1=3,32 e w2=1,42, e il rapporto w1/w2 sarebbe stato 2,33.
Hai sicuramente ragione tu in tutto
(avevo premesso che mi sbagliavo).
Non ho formazione matematica
(la uso in modo un pò barbaro).
Ti mostro come sono giunto alle mie conclusioni
(così, nel caso, mi correggi …e imparo qualcosa).
Sono partito da questo sistema di equazioni/disequazioni:
a=6,b=5,c=1,d=4, r*M=a*m+b*f, r*F=c*m+d*f, m=1,f>0,F>0
dove:
– a,b,c,d è il numero di medici/infermieri maschi/femmine
((l’ho impostato per verificare altre possibili combinazioni)
– a margine mi è risultato che ne sono solo possibili alcune
(quando il △ di una quadratica che li considera è positivo)
– m, f lo stipendio di medici/infermieri prima adeguamento
– M, F lo stipendio di medici/infermieri dopo adeguamento
– m=1 normalizza lo stipendio medici prima adeguamento.
Come risultato ho valori di “r” e “M” che dipendono da “f” e “F”:
– M = (6F + 5fF) / (1 + 4f)
– r= (1 + 4f) / F.
-ho poi imposto stessi stipendi prima e dopo l’adeguamento:
a=6,b=5,c=1,d=4, r*M=a*m+b*f, r*F=c*m+d*f, m=M=1,f>0,F=f
– da cui avevo ottenuto i valori puntuali di r, m=M, f=F:
— r = 5 + √6
— f = F = (√6 – 1) / 5.
– poi, come avevi chiesto, ho calcolato M/F = m/f = 1/f = 1 + √6.
In questo modo, però, gli stipendi prima e dopo restano uguali.
Detto senza calcoli:
E’ ovvio che, se il monte stipendi di uomini e donne, moltiplicato per lo stesso fattore r, vale già prima dell’adeguamento degli stipendi, l'”adeguamento” consiste nel mantenere gli stessi stipendi originari.
A me pare poi che: se, per “monte stipendi” si intende quello prima dell’adeguamento, quella che propongo sia l’unica soluzioni possibile (al netto del fattore di scala).
Se invece, per “monte stipendi” si intende quello dopo dell’adeguamento, mi sembra ovvio che gli stipendi prima dell’adeguamento potevano avere qualsiasi altro valore in quanto non vi sarebbe alcuna relazioni tra gli stipendi prima e dopo l’adeguamento.
Il valore di M/F che si ottiene dal sistema di equazioni vale anche in questo secondo scenario; l’unica variazione è che tutti i calcoli farebbero riferimento solo a M e F:
a=6,b=5,c=1,d=4, r*M=a*M+b*F, r*F=c*M+d*F, m=M=1,F>0
…spero di non aver detto troppe asimate.
“anche prima prendevano lo stesso” significa che se dopo le modifiche dello stipendio un medico prende 1 un infermiere prende 1/(1+√6); anche prima delle modifiche dello stipendio un medico prendeva 1 un infermiere prendeva 1/(1+√6); ho normalizzato lo stipendio dei medici a 1 (poi basta scalare per ottenere gli altri stipendi possibili).
Buona la prima! Non so invece cosa intendi quando scrivi “anche prima prendevano lo stesso”. Quanto prendevano prima non lo sappiamo, gli stipendi vengono determinati solo a seguito delle condizioni imposte dall’OEP. I ruoli d’altra parte risultano dalla risposta al Q&D: la matrice dei ruoli di uomini e donne non cambia.
P. S. Lo spunto per la domanda arriva dall’art. di Roberto Natalini sui sistemi di classificazione nel tennis, nel cui P.S. fa riferimento al teorema di Perron-Frobenius (osservazione a margine: l’ultima componente dell’autovettore p dovrebbe essere 0,103). Il calcolo di autovalori e autovettori associati in caso di matrici 2×2 è semplice, ma si complica molto se le dimensioni aumentano, ad es. se si vuole rappresentare il sistema economico di una nazione…
“anche prima prendevano lo stesso” significa che se dopo le modifiche dello stipendio un medico prende 1 un infermiere prende 1/(1+√6); anche prima delle modifiche dello stipendio un medico prendeva 1 un infermiere prendeva 1/(1+√6); ho normalizzato lo stipendio dei medici a 1 (poi basta scalare per ottenere gli altri stipendi possibili).
C’è una “stranezza” in quanto ottengo; per questo penso di sbagliarmi.
Dal rapporto che ottengo se un medico prende 1 un infermiere prende 1/(1+√6).
Lo strano è che, svolgendo i miei calcoli, anche prima prendevano lo stesso.
Questo risultato sorprendente mi viene utilizzando come r il valore 5 + √6.
…che ci sia una risposta “Quick & Dirty” che semplifica i miei calcoli astrusi?
Si, hai ragione; …ero un pò addormentato; mi sono fermato al valore di r.
Comunque temo, come ho già detto, di sbagliarmi ma provo a rispondente:
la stipendio da medico ora è: 5/(√6 – 1) = 1 + √6 ≈ 3.44949 quello da infermiere.
Ma la domanda non è un’altra?
La butto lì
(quasi sicuramente sbagliata):
r=5+√6
Supponiamo dunque che nella struttura lavorino 6 medici uomini, 5 infermieri, 1 medico donna e 4 infermiere. Immaginiamo inoltre che l’ospedale sia un buon esempio di parità di genere: gli stipendi del personale non dipendono dal genere, a parità di ruolo donne e uomini percepiscono stipendi uguali.
Ora però, in seguito a un ordine esecutivo presidenziale avente effetto immediato, all’ospedale viene imposto di adeguare gli stipendi del personale in modo che il monte stipendi complessivo degli uomini (medici + infermieri) debba valere r volte lo stipendio da medico. Il monte stipendi delle donne invece dovrà valere lo stipendio da infermiere moltiplicato per lo stesso fattore r. L’ordine presidenziale non precisa il valore del fattore r; si sa solo che è un numero reale che l’ospedale avrà facoltà di determinare.
Domanda: a seguito dell’ordine esecutivo, quanto deve valere ora lo stipendio da medico rispetto a quello da infermiere?
il quesito 3:
3. Gli infermieri di genere femminile sono in numero maggiore dei medici di genere femminile.
dovrebbe essere variato, a mio avviso, in:
3. Gli infermieri di genere maschile sono in numero maggiore degli infermieri di genere femminile
altrimenti vi sarebbero molte soluzioni per tutti e quattro le combinazioni di genere/ruolo.
Con la variazione che suggerisco, la soluzione diventa univoca.