Una nuova mini-serie, fatta di video e articoli, di Alessandro Zaccagnini, matematico, esperto di teoria dei numeri, autore della fortunata serie “Dialogo sui numeri primi“, questa volta per raccontarci tante diverse dimostrazioni di un unico Teorema: 

Teorema (Euclide). Esistono infiniti numeri primi.

Questa è la seconda puntata (le altre le trovi qui).

La prima dimostrazione di Eulero

La serie armonica con i numeri primi diverge

Consideriamo i numeri primi \(p \le 10\), e cioè \(2\), \(3\), \(5\), \(7\). A ciascuno di questi associamo la somma della serie geometrica di ragione \(1 / p\), cioè le serie di ragione \(1 / 2\), \(1 / 3\), \(1 / 5\) ed \(1 / 7\), che chiameremo \(A\), \(B\), \(C\), \(D\). Verifichiamo le disuguaglianze
\[\begin{aligned}
A
&\,=\,&
{2}
=
\Bigl( 1 – \frac12 \Bigr)^{-1}
&=
1 + \frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac1{16} + \dots
&\,\ge\,&
{1 + \frac12 + \frac14 + \frac18} \\[5pt]
B
&\,=\,&
{\frac32}
=
\Bigl( 1 – \frac13 \Bigr)^{-1}
&=
1 + \frac13 + \frac19 + \frac1{27} + \dots
&\,\ge\,&
{1 + \frac13 + \frac19} \\[5pt]
C
&\,=\,&
{\frac54}
=
\Bigl( 1 – \frac15 \Bigr)^{-1}
&=
1 + \frac15 + \frac1{25} + \dots
&\,\ge\,&
{1 + \frac15} \\[5pt]
D
&\,=\,&
{\frac76}
=
\Bigl( 1 – \frac17 \Bigr)^{-1}
&=
1 + \frac17 + \frac1{49} + \dots
&\,\ge\,&
{1 + \frac17}\end{aligned}\]
A stretto rigore non abbiamo bisogno della somma delle serie geometriche, ma la dimostrazione è piú chiara se le usiamo. Moltiplichiamo fra loro i quattro numeri \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) come se fossero polinomi costituiti da monomi non simili: per noi \(A = 1 + x + x^2 + x^3\), \(B = 1 + y + y^2\), \(C = 1 + z\), \(D = 1 + t\), dove \(x = \frac12\), \(y = \frac13\), \(z = \frac15\) e \(t = \frac17\).

Somme parziali della serie armonica

Troveremo tutti i reciproci degli interi fra \(1\) e \(10\), oltre ad altre frazioni che trascureremo. In definitiva \[\begin{aligned}
A \cdot B \cdot C \cdot D
&\ge
\Bigl( 1 + \frac12 + \frac14 + \frac18 \Bigr)
\Bigl( 1 + \frac13 + \frac19 \Bigr)
\Bigl( 1 + \frac15 \Bigr)
\Bigl( 1 + \frac17 \Bigr) \\
&\ge
1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \frac15 + \frac16 + \frac17
+ \frac18 + \frac19 + \frac1{10} \\
&\ge
\log(10).\end{aligned}\] Il fatto che compaiano tutti gli interi fra 1 e 10 una ed una sola volta è una conseguenza del Teorema di Unicità della Fattorizzazione: la frazione \(\frac16\) si ottiene come \(x y\), la frazione \(\frac1{10}\) come \(x z\) e cosí via. Qui il logaritmo è quello naturale, in base \(\mathrm{e}\), il numero di Nepero. Questa disuguaglianza si dimostra in generale considerando l’area indicata nella figura qui sotto.

L’area colorata in figura è approssimativamente uguale all’area compresa fra l’asse delle ascisse e il grafico della funzione \(1 / x\) nell’intervallo \([1, 10]\).

La dimostrazione in generale

Consideriamo tutti i numeri primi fino ad un certo intero \(N\), associando a ciascuno di questi la relativa serie geometrica: moltiplicando fra loro le disuguaglianze corrispondenti troviamo i reciproci di tutti gli interi che non superano \(N\) e altri addendi piú piccoli che trascuriamo. Ma questa somma di reciproci vale almeno \(\log(N)\) perché per \(N \ge 1\) si ha \[1 + \frac12 + \frac13 + \dots + \frac1N
\ge
\int_1^N \frac{\mathrm{d}t}t
=
\log(N).\] Il numero dei fattori del prodotto di Eulero deve dunque crescere senza limite con \(N\) e quindi esistono infiniti numeri primi. In caso contrario, per \(N\) maggiore del massimo numero primo il prodotto sarebbe costante e invece è piú grande di una funzione illimitata, \(\log(N)\).

La serie armonica con i numeri primi

Modificando questa idea e utilizzando lo sviluppo di Taylor per la funzione logaritmo si ottiene la forma quantitativa della dimostrazione di Eulero, e cioè che la serie che contiene tutti i reciproci dei numeri primi \[\frac12 + \frac13 + \frac15 + \cdots + \frac1p + \cdots\] è illimitata.

La dimostrazione di Eulero è importante perché per la prima volta nella storia sono stati collegati un fatto aritmetico (il Teorema di Unicità della Fattorizzazione) ed un fatto analitico (la divergenza della serie armonica). L’idea si è rivelata molto fruttuosa ed è alla base di tutti gli studi moderni sui numeri primi e di tutte le piú importanti generalizzazioni, come quella di Dirichlet alle progressioni aritmetiche.

Alessandro Zaccagnini

Alessandro Zaccagnini