La congettura Collatz: il lupo vestito da agnello

Qualche settimana fa, dall'Università di Amburgo è arrivato l'ultimo tentativo di attacco alla "Congettura di Collatz". Gerhard Opfer ha infatti cercato di dimostrare l'esattezza di questa congettura, che è famosa quanto semplice nella sua formulazione.
La congettura Collatz è anche detta problema del 3n+1: prendete un numero naturale qualsiasi. Se è pari, dividetelo per 2, se invece è dispari, moltiplicatelo per 3 e aggiungete 1. Nei due casi otterrete un nuovo numero su cui potrete ripetere ancora la stessa operazione e così via. La cosa sorprendente che notò a un certo punto il matematico Collatz, e poi molti altri dopo di lui, è che, mentre a priori potreste continuare così fino all'infinito, in pratica se provate con un qualsiasi numero, dopo un numero finito di passi arrivate al numero 1 da cui passate al 4=3x1+1, poi al 2 e di nuovo a 1. Insomma, finite per rimanere in questo piccolo ciclo 1-4-2-1, e questo indipendentemente dal numero scelto.

Prendiamo per esempio il numero 5. Abbiamo che 3x5+1=16, 16/2=8, 8/2=4, 4/2=2, 2/2=1 e siamo arrivati a 1 in 5 passi. La traiettoria partendo da 7 è già meno semplice:   7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1
Il problema consiste nel dimostrare che questo è vero per tutti i numeri. Finora, questo problema non è stato risolto e anche la tecnica avanzata da Opfer conteneva un errore (per chi vuole seguire la discussione, rimandiamo a questo link ).
Poiché il modo in cui il problema è enunciato è tutto sommato davvero lineare, sono tantissime le tentate soluzioni che sono state proposte da quando la congettura è nata, nel 1937. Ma il problema sembra, sempre di più, un lupo travestito da agnello.

Alcune osservazioni/insidie. Vi sono numeri, magari piccoli, che possono generare una successione (simile a quella di sopra) che può essere molto lunga: ad esempio il numero 27, che vi obbligherebbe a compiere 111 passi, arrivando fino al numero 9232, prima di arrivare a 1. E, inoltre, il numero massimo da cui passa una successione di questo tipo è difficilmente prevedibile. Per esempio, partendo con numeri compresi tra 1.819 e 4.254, le successioni generate non superano il valore di 1.276.936. Se invece partite da 4.255 dovete passare da 6.810.136 prima di arrivare a 1. Insomma, il comportamento di queste successioni è assolutamente imprevedibile e la figura (presa da Wikipedia) che riporto in questa pagina, mostra schematicamente le traiettorie di tutti i numeri fino a 1000, che non fanno che confermare questo andamento caotico. Collatz propose questo problema mentre cercava di capire meglio le permutazioni dei numeri.

Dal momento in cui la congettura vide la luce, tantissimi matematici, informatici e anche semplici amateurs hanno provato a dimostrare che era vera per tutti i numeri, ma con scarsi risultati. Vari progetti al computer hanno testato qualche miliardo di miliardi di numeri, senza però trovare contraddizioni (ma chiaramente questo non è una dimostrazione).
D'altra parte, a conferma che il problema fosse veramente difficile, nel 1972 il famoso matematico John Horton Conway fece vedere che una generalizzazione di questa congettura, che però non contiene la congettura stessa, era ricorsivamente indecidibile (detto in parole povere: non si può sapere se è vera o no senza farsi tutto il calcolo numero per numero). Il famoso matematico ungherese Paul Erdős mise in palio addirittura un premio di 500$ per chi lo avesse risolto, ma ci tenne anche ad avvisare: “la matematica non è ancora pronta per questi problemi”.