«Sai, sei un pochino complicata dopo tutto». «Oh, no», lo rassicurò [Nicole] in fretta. «No, per niente, sono solo… tante diverse persone semplici» (Francis Scott Key Fitzgerald, Tenera è la notte)
Anche Benoît Mandelbrot era tanti diversi scienziati semplici. Nel 1943 studiava matematica pura per poi laurearsi in matematica applicata, prendere un master in ingegneria aereonatica e scrivere una tesi di dottorato sulla frequenza di parole in un testo. Nel suo primo impiego all’IBM nel 1958, Mandelbrot si dedicò ad evitare i rumori del telefono, ma non resistette all’utilizzo dei computer a sua disposizione per studiare i fenomeni naturali caotici; d’altronde aveva sposato una biologa. Questo studio culminò con la formalizzazione della teoria dei frattali, del concetto di dimensione frazionaria e nella rappresentazione del suo omonimo insieme che tutt’oggi è uno degli oggetti più complessi della geometria e una delle forme più amate dai non matematici. A confermare l’irragionevole poliedricità di Mandelbrot, non mancheranno il premio Wolf della Fisica, l’insegnamento della fisiologia, la laurea honoris causa in Medicina e il tentativo di applicazione delle sue ricerche alla economia.
Se ci fosse oggi, il gran maestro dei frattali sarebbe sicuramente esperto di reti. Cosa è una rete complessa, se non tante diverse reti più semplici? Come la Nicole di Fitzgerald, ogni cosa complessa è tante cose semplici. Se davanti a Nicole ci fosse stato un matematico avrebbe chiesto se l’oggetto (o meglio il soggetto) “tante persone diverse e semplici” si ottiene per somma, per unione, per giustapposizione o persino per evoluzione. Tommy invece nella magica colazione chiede “Perché non ti hanno lasciato al tuo stato naturale?” Un matematico o un fisico non avrebbe detto questo, lo stato naturale è proprio quello di evolvere e determinare la complessità. La prima rete di computer, Arpanet, aveva solo quattro nodi, e il suo grafo non era affatto complicato, l’attuale internet ha un numero di nodi talmente alto che potremmo confonderne l’immagine con una costellazione. Eppure sono sempre punti e segmenti, solo che la prima figura semplice è stata ripetuta a diversi livelli di grandezza. Non è un gioco matematico nuovo. Apollonio, il padre delle sezioni coniche, nel 200 a.C. amava riempire di cerchi più piccoli i cerchi più grandi. Immaginiamo sia lui il matematico seduto nella formella esagonale del duomo di Firenze. Prendiamo il compasso e come suggerisce la base della formella inseriamo un trilobo nel nostro primo cerchio. Nello spazio restante però inseriamo ancora 4 cerchi più piccoli tangenti a quelli del trilobo. Disegnamoli, purtroppo avanza ancora spazio, possiamo disegnare altri 12 cerchi più piccoli, e adesso non potremo fermare la regola che ci imporrà di disegnare altri 36 cerchi e così via all’infinito (questa parola però non facciamola sentire ad Apollonio). La figura idealmente risultante si chiama gerla di Apollonio ed è una fittissima, apparentemente caotica ragnatela di archi costruita dalla regola semplice.
Il gioco che piaceva a Mandelbrot va oltre quello proposto da Nicole: ricostruire non solo le parti semplici ma anche la regola con cui queste generano la complessità o viceversa. Nel bordo di un fiocco di neve o in una costa frastagliata o nel bordo di una cellula cancerosa si trova una semplice iterazione di un segmento diviso in parti uguali alcune delle quali sono sostituite da rientranze. Il matematico non solo sa immaginare l’immagine ideale risultante da una applicazione infinita di regole semplici, ma vuole anche guardare indietro, da un oggetto complesso vuole ricostruire la forma e la regola semplice che l’ha generata. Ad esempio, quale regola ha prodotto le asperità del marmo di sfondo al matematico nella formella? Una regola non troppo diversa da quella della gerla di Apollonio.
Mandelbrot amava soprattutto questo terzo livello del gioco: trovare elementi naturali complessi che si potevano studiare con le regole semplici iterate. Il suo testo “La geometria frattale della natura” è un manifesto di questa rilettura della natura mediante lo studio della sua complessità.
Ma per un matematico lo studio deve essere quantitativo oltre che qualitativo. Apriamo, con attenzione e sorpresa, un’agata blu e concentriamoci sul disegno della sua sezione. Possiamo dire con una certa approssimazione che vi sono cerchi concentrici fino ad una zona centrale più complessa. Vogliamo però un numero che misuri questa complessità. Vogliamo un valore che dica che il bordo del minerale è più complicato (ovvero con più asperità) delle linee di passaggio dal blu chiaro al blu scuro. Il numero che legge questa complessità è la dimensione frattale. Un valore che si avvicina ad uno quando la curva si avvicina ad una senza punte e si avvicina a due quando la curva tende a riempire il piano come fa il reticolo bianco interno al minerale. La buona definizione di questo numero ha richiesto strumenti molto potenti della teoria della misura e portato anche sorprese tra gli stessi matematici. L’irragionevole fortuna dei matematici portava a sperare che diverse definizioni di dimensione avrebbero prodotto lo stesso numero. Chi studia frattali incontra termini come dimensione di Hausdorff, dimensione di boxcounting, dimensione di Lyapunov, dimensione di correlazione, etc… Le varie definizioni coincidono su cubi, quadrati e segmenti con la definizione classica, ma insiemi con troppe punti avevano dimensione diversa visti da un topologo e da un analista. Rozzamente possiamo dire che uno guarda i vuoti, l’altro le punte di un oggetto. Con la classica definizione di dimensione si sta seduti sullo scranno di Apollonio, ma con la nuove definizioni di dimensioni si sta a guardare anche la formella ed Apollonio e quel che sta tracciando. Così si definirono frattali quegli oggetti la cui dimensione topologica non coincideva con la dimensione di Hausdorff. Alcuni definirono incautamente frattali proprio quegli oggetti che hanno dimensione (di Hausdorff) frazionaria ed escludono così magiche curve che riempiono il piano e lo spazio nonché l’insieme di Mandelbrot, il bellissimo insieme bidimensionale (contiene un cerchio pienissimo) ma con bordo anch’esso bidimensionale! Una pozzanghera da cui non ci si salva avvicinandosi al bordo. Nel bordo di Mandelbrot possiamo disegnarvi come nel piano, pur non essendovi spessore; se ci capita di mettere anche solo un piccolissimo passo verso questo contorno troveremo un altro piccolo Mandelbrot oppure uno degli infiniti meravigliosi insiemi di Julia. Alcuni di questi assomigliano ad onde, altri a cavallucci marini sommersi da tali onde, alcuni a galassie, altri ai fuochi d’artificio che creiamo per imitare le galassie, altri a nuvole, qualcuno a fulmini, qualcuno a trombe d’aria, qualcuno al fiume che deriverà da quella pioggia, altri a conigli che lì si abbevereranno, altri alle nostre strutture cerebrali con cui osserviamo tutto questo. La formuletta $$z(t+1)=z(t)^2+c$$ ha irragionevolmente rigenerato tantissime forme della natura, e se un creatore con compasso avesse voluto creare il tutto matematicamente avrebbe dovuto mettere un insieme di Mandelbrot nel centro. Che questa immagine sia su un frontespizio del 1200 è davvero irragionevole! Che vi sia da qualche parte un insieme di forme-ricordo che si ripresentano improvvisamente attorno a noi? A noi matematici piace cercare questi pattern, con la dimensione frattale ne misuriamo il grado di evoluzione e tanto spesso utilizziamo tale studio in impreviste applicazioni. Forse la matematica è complessa proprio perché sempre in evoluzione, eppure è solo tante diverse idee semplici! L’emozione di comprendere una di queste idee deve poi guidare tutto il percorso di scoperta.
Per dirla con la Nicole di Tenera è la notte: Non ti chiedo di amarmi sempre così, ma ti chiedo di ricordartelo. Da qualche parte dentro di me ci sarà sempre la persona che sono stasera.
Sandra Lucente
In copertina: Mappa del web 2010/ Formella “Geometria” scuola di Andrea Pisano, Campanile di Firenze/ Frontespizio di Bibbia illustrata del XIII secolo/ Sezione di agata blu.
