M come Monotòno

On March 7, 2014

La monotonia, in matematica e fuori, è la proprietà di avere sempre lo stesso andamento. Ma, se si va piano (per non sdrucciolare) e si mette l'accento sulla penultima sillaba, la cosa non risulta affatto noiosa.

Pensiamo a un treno in viaggio lungo una linea ferroviaria unidimensionale. La distanza dalla partenza non farà altro che aumentare: dopo 1 ora, cinquanta chilometri, dopo 2 ore sessanta, e così via. Non è un treno che brilla per rapidità, ma qui la velocità non conta, conta il viaggio. E conta il fatto che, man mano, la distanza dalla destinazione diminuisce. Tutto procede secondo una direzione ben precisa e invariabile nel tempo.

Analogamente, immaginiamo di voler misurare l'area di un cerchio di raggio unitario, approssimandola con quella di poligoni regolari inscritti. Supponiamo di partire da un triangolo e, ad ogni passo, raddoppiare il numero di lati, passando prima all'esagono, poi al dodecagono e così via dicendo. Staremo così generando, in corrispondenza, una sequenza di numeri, sempre più grandi, poiché ogni passaggio corrisponde ad "incollare'' su ogni lato del poligono precedente un nuovo triangolo isoscele con base il lato considerato e vertice opposto il punto sulla circonferenza intermedio tra i vertici della base. In questa sequenza, ogni approssimazione successiva è migliore della precedente, in quanto più vicina all'agognata stazione d'arrivo "pi-greco''.

Nella stessa linea di pensiero, in un mondo unidimensionale continuo (cioè "senza buchi''), una qualsiasi sequenza monotòna (che procede sempre nello stesso verso) e limitata (a cui è impedito di scappare a distanze arbitrariamente grandi dal punto di partenza) deve necessariamente avvicinarsi ad un valore limite. E con una giravolta, apparentemente linguistica, ma in realtà sostanziale, il processo di approssimazione dell'area del cerchio attraverso la procedura di esaustione proposta più su, diventa la maniera con cui si definisce il numero "pi-greco''.

L'escalation è  solo al principio. Lo stesso argomento di monotonia permette di dare senso a questioni più complesse come  la definizione di area di regioni dalla forma particolarmente inaspettata, semplicemente passando per una sequenza di numeri che cresce sempre (stima dal basso) e per una che decresce sempre (stima dall'alto). Il divertimento è garantito dalla variabilità delle regioni che si scoprono essere misurabili grazie a questo piccolo artificio monotòno.

Fuori dal finestrino, sempre a bordo del treno matematico, si notano altri paesaggi dove la decrescita o la crescita sono una costante.  Ce li indica il nostro compagno di viaggio, esperto di fisica, facendo notare come molti fenomeni reali siano descritti da una quantità opportuna, detta energia, a cui non è permesso di aumentare, ma solo, monotonamente, decrescere e come, in altri contesti, un'altra quantità, l'entropia, non possa che aumentare nel tempo, a discapito di ogni tentativo di ribellione.

Riportati sul terreno delle formule e delle equazioni, emergono espressioni, dette funzionali di Lyapunov, determinate dalle incognite del problema, che sono vincolate, per le regole del gioco, a procedere sempre nella stessa direzione, determinando la dinamica e fissandone i contorni delle stazioni di arrivo. Qui, si sosta, si riposa per un breve periodo per poi ripartire alla ricerca di altri paesaggi. Monotòni (e non).

Corrado Mascia

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