I come Inversione

On December 21, 2015

Raro che un regalo si presenti ai nostri occhi, pronto da prendere e toccare. Più spesso, l'oggetto è celato, protetto da strati di operazioni successive, nascosto da una specie di carta da regalo, fiocchi, fiocchetti, nastro adesivo ed il resto. L'inversione consiste nello spacchettare ciò che è stato impacchettato, procedere a ritroso per trovare il nocciolo della questione. Il regalo vero e proprio.

Le equazioni di primo grado proteggono l'incognita ics con una sequenza di moltiplicazione e addizione; l'inversione consiste in una sottrazione ed una divisione, a ritroso. E non si tratta di un puro gioco matematico visto che il passaggio da gradi Celsius a Fahrenheit rientra a pieno titolo nella categoria. Si può procedere ed invertire azioni di forma più complicata, a patto che sia soddisfatta un'unica indispensabile condizione, detta iniettività, la quale richiede che si abbiano esiti diversi quando la trasformazione è applicata a configurazioni diverse. Aggiungere 3 fornisce un risultato diverso a seconda del numero di partenza, così come moltiplicare per 5 o dividere per 7. Lo stesso vale per l'applicazione di un esponenziale o di un logaritmo, quale che sia la base prescelta. Diverso è il caso della moltiplicazione per 0, visto che l'esito è sempre lo stesso, indipendentemente dal punto di partenza. Problematico anche il quadrato, per il vizio di -1 di restituire +1, se moltiplicato per sé stesso.

Per le trasformazioni lineari di un piano, tutto è definito dall'effetto della trasformazione di un singolo parallelogramma, quale che sia. Se il risultato è ancora un parallelogramma vero e proprio, l'iniettività è soddisfatta e la trasformazione è invertibile. Quando, al contrario, l'esito è un segmento o, peggio ancora, un punto, un eventuale tentativo di ritorno al punto di partenza, fallisce miseramente. Il criterio di invertibilità diventa ancora più leggibile se tradotto in termini di misura dell'insieme trasformato o, come si dice, in termini di determinante della trasformazione. Con questo linguaggio, l'invertibilità è equivalente alla richiesta che il determinante sia diverso da zero.

Quando si decide di lasciar volare la fantasia verso mondi nonlineari, accettando che segmenti diventino archi, giunge in soccorso l'idea della linearizzazione per cui, per lo meno a livello locale, l'invertibilità può essere riconosciuta analizzando il determinante di una trasformazione lineare che ben approssima quella nonlineare. Il fatto che l'inversione globale non sia conseguenza della locale è un'altra storia.

Invertire è una mania diffusa dei matematici. Si invertono le matrici così come le funzioni analitiche (Teorema di inversione di Lagrange); si invertono la trasformata di Fourier e la trasformata di Mellin, e compagnia bella. Persino nella serie televisiva Futurama  fa capolino un teorema di inversione, che riguarda la possibilità di ripristinare i corpi originali dopo un intricato scambio di cervelli.

L'interesse dell'inversione non è solo una questione di interesse puramente matematico. Nel mondo tangibile, ci si confronta spesso e volentieri con valori osservati che sono il risultato indiretto del dato di reale interesse. Il radar rileva onde elettromagnetiche, il sonar onde sonore, ma entrambi cercano la posizione di oggetti mobili. Il problema è quello di calcolare il fattore che ha generato l'osservazione, a partire da quest'ultima. Alla stessa maniera, nella tomografia, si cerca di recuperare l'informazione relativa alla struttura interna di un tessuto o di un organo, a partire dalla sua risposta all'invio di raggi X.

Tutte queste operazioni di inversione, manco a dirlo, possono essere completate solo attraverso l'analisi di un opportuno modello matematico. Ad esempio, una volta stabilito che una distribuzione di densità di massa genera un ben determinato campo gravitazionale, così come descritto in forma precisa e inequivocabile dall'equazione di Laplace, si associa al campo misurato la distribuzione di massa sottostante, invertendo la trasformazione che opera nel verso opposto. Per alcuni, la soddisfazione è la stessa di quella che si prova scartando il regalo sotto l'albero. Per altri, è molta di più.

Corrado Mascia

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