A breve, sarà tempo di smontare l’albero e riporre tutto nella scatola da conservare in cantina fino al prossimo anno. Palle comprese. E si riproporrà l’usuale dilemma: come far entrare tutto, ordinato come stava prima dell’avvento della preparazione natalizia? Un problema di impacchettamento, o di packing, per gli anglofili (da non confondere con il packaging, per carità).
In matematica, il problema dell’impacchettamento consiste nello stabilire una configurazione per inserire una classe di oggetti (non deformabili e non compenetrabili) all’interno di un contenitore, rispettando un qualche criterio di ottimalità. Ad esempio, minimizzare gli spazi vuoti, per utilizzare più spazio possibile. In tal caso, il valore che misura la bontà di una configurazione è la sua densità, cioè il rapporto tra il volume occupato dagli oggetti ed il volume totale del contenitore. Più grande è la densità, migliore è la configurazione. Se il contenitore è di area infinita, si è soliti considerare la densità media, ottenuta come limite di densità su una famiglia di contenitori limitati che approssimano l’eccessivo contenitore originale.
Tipico è l’impacchettamento di cerchi (in dimensione 2), di sfere (in dimensione 3), di ipersfere (in dimensione maggiore di 3), nell’ipotesi che tutti gli oggetti abbiano la stessa taglia (raggio unitario, ad esempio). E non si tratta di sola curiosità matematica o di puro problema da magazziniere. Persino strutture esotiche come il reticolo E8 ed il reticolo di Leech (che vivono, rispettivamente, in dimensione otto e ventiquattro) rischiano di divenire interessanti ed utili in ambiti diversi, quali, ad esempio, l’archiviazione digitale, la trasmissione di documenti elettronici o la teoria delle stringhe.
Tornando alla matematica in sé e per sé, nel caso del piano, la configurazione ottima si ottiene tassellando con esagoni regolari (come nel caso di un alveare) e collocando i centri dei cerchi sui vertici e sui centri degli esagoni. Il risultato non è ovvio e richiede una dimostrazione (merito di Laszlo Fejes Toth, 1940). In questo modo, si riesce ad occupare circa il 90% del piano; ben meglio del quasi 80% ottenuto con una tassellazione del piano composta di quadrati.
Salendo di dimensione, la vicenda si complica. Nel caso dell’impacchettamento di sfere in dimensione tre, esistono varie configurazioni che garantiscono una densità media pari a circa il 74% dello spazio disponibile. E non si può far di meglio. Questo fatto, noto come Congettura di Keplero, è stato dimostrato solo di recente da Thomas Hales (aiutato dal giovane collaboratore Sam Ferguson), attraverso l’indispensabile supporto del computer, capace di gestire le cinquemila configurazioni rimaste in piedi dopo una drastica scrematura teorica. Dopo i dubbi di un decennio abbondante, l’ultima conferma dell’affidabilità della dimostrazione è fresca di quest’estate: agosto 2014.
Di impacchettamenti se ne può pensare a iosa. Sorvoliamo sull’incubo stagionale degli affezionati del presepe quando si tratta di inscatolare forme geometriche (topologicamente non banali) di pastori, pecore e compagnia bella. E’ la Natura stessa che ci mostra in continuazione esempi di problemi di questo genere. Spesso risolti egregiamente. Aprite una melagrana e ditemi se serviva davvero scomodare quattrocento anni di elucubrazioni per convincersi dell’ottimalità del packing di sfere in tre dimensioni. Oppure, guardate la struttura del girasole che ottimizza la disposizione dei suoi semi, garantendo a ciascuno il massimo spazio e la massima esposizione alla luce. Anche, lì, celati e scoperti dagli appassionati, compaiono magicamente la sezione aurea e l’immancabile successione di Fibonacci. Insomma, ce ne è per tutti i gusti.
Per risolvere la questione dell’impacchettamento delle palle di Natale, esiste però una versione minimalista, ispirata al motto “less is more”. Decorare l’albero, schematizzato da una lunga spirale metallica, con un’unica palla, anch’essa simbolica. Così facendo, pur perdendo l’ottimalità, si guadagnerà la certezza (matematica) di non aver alcun problema a far entrare tutto nella scatola d’origine, quando sarà arrivato il momento.
Corrado Mascia
