H come H-Teorema

On July 28, 2014

Non stressatevi a mettere sempre tutto a posto: non servirebbe a nulla. Il disordine (nell'Universo) non può che aumentare. Lo dice la termodinamica, mica io. Se non credete ai fisici, sappiate che lo confermano i matematici con un teorema perentorio e ineluttabile quanto quello di Pitagora: il Teorema H.  Tranquilli, nulla a che vedere con la bomba, qui siamo tutti pacifisti.

Il merito (o la colpa) è da attribuire a Ludwig Boltzmann. A suo tempo, l'austriaco si era messo in testa che il moto di una miriade di particelle, che vagano e urtano imprigionate in una scatola, fosse praticamente identico a quello delle particelle di un gas. Non solo. Se le particelle sono indistinguibili, seguire il moto specifico di ognuna di queste microscopiche palle da biliardo non è indispensabile. Basta tenere d'occhio la distribuzione del totale delle particelle che si spostano con ciascuna delle velocità lecite.

Carta e penna alla mano, si buttano giù allora un numero di relazioni che descrivono come varia nel tempo la quantità totale delle particelle che si spostano con velocità tot verso nord-est, di quelle che vanno con velocità tot-altro verso sud-ovest, e compagnia bella. Quantità, relazioni e variazioni. La frittata è fatta: si finisce nella matematica delle equazioni differenziali. Di Boltzmann, nel caso specifico. Le configurazioni macroscopiche possibili restano comunque troppe e prevedere l'evoluzione a partire da una data situazione di partenza rimane proibitivo.

Il punto di vista statistico suggerisce l'introduzione di quantità globali associate a ognuna di queste configurazioni. In questa logica, appare magicamente il funzionale H incaricato di associare a ogni disposizione possibile un numero specifico. Allo scorrere del tempo, cambiando la configurazione, cambia anche il valore H. Ebbene, il Teorema H afferma che il valore del funzionale non fa che diminuire (vedere Monotòno). Solo questo. Non eclatante, a prima vista. Se però si interpreta H come l'opposto dell'entropia, si ottiene una dimostrazione rigorosa della crescita dell'entropia allo scorrere del tempo. Potenza della meccanica statistica.

Se non si è così convinti che ci sia questo legame diretto tra H ed entropia, o se non si sia veramente ben capito che cosa sia in definitiva questa dannata entropia, poco male. Le conseguenze del Teorema H si vedono lo stesso: la decrescita indica la presenza di una direzione di scorrimento del tempo. La cosiddetta freccia del tempo. Tutto codificato nel segno di una semplice derivata prima. Niente male.

Una voce dissonante si premura di ricordare che i teoremi non sono verità assolute. Persino il Teorema di Pitagora, con buona pace di Euclide, nella geometria sferica è falso. Tutti i risultati matematici hanno un loro dominio di validità definito dalle fondamenta di tutta la costruzione. Anche il Teorema H non sfugge a questa regola. Nel caso delle equazioni di Boltzmann, c'è una scelta specifica relativa al tipo di interazione tra le microscopiche palle da biliardo. In italiano, viene detta Ipotesi del caos molecolare e consiste nell'assumere l'assenza di correlazione tra le velocità di particelle che si urtano. In tedesco si dice Stosszahlansatz e pare piuttosto una forma di caos letterale.

Come tutta la roba di qualità, anche il Teorema H ha le sue ripercussioni fuori dal dominio della meccanica statistica e della gasdinamica. Il fratello minore (in età, ma non in spessore) del funzionale H nasce per responsabilità di Claude Shannon, e si colloca da subito alla base della Teoria dell'informazione. Il funzionale H di Shannon, versione discreta della H di Boltzmann, misura, a suo modo, l'incertezza e la compressibilità di una sequenza di dati e, in quanto tale, è considerato una plausibile definizione di entropia dell'informazione.

Resta la curiosità letterale relativa alla scelta del simbolo H. Non si tratta di un'aspirazione entropica, ma del maiuscolo della lettera greca eta. A rigore, dunque, si dovrebbe parlare di Eta-Teorema. In tal caso, queste righe troverebbero la loro sede naturale nella versione greca di MaddMaths (se ce ne fosse una).

 

Corrado Mascia

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