Il ricercatore del Politecnico di Milano Francesco Casella ha da poco pubblicato sulla rivista IEEE Control Systems Letters un interessante articolo dal titolo quanto mai attuale: Can the COVID-19 Epidemic Be Controlled on the Basis of Daily Test Reports? (Si può controllare l’epidemia di Covid-19 sulla base dei rapporti giornalieri sui test?). L’articolo originale lo trovate qui liberamente consultabile, mentre qui sotto Francesco ci presenta in un linguaggio più divulgativo alcune considerazioni legate a questa ricerca.

Tutto ha origine nelle due settimane tra il 24 di febbraio, quando chiudono le scuole, e il 6 di marzo, quando mi mettono in isolamento per 10 giorni con mia mamma ricoverata in ospedale con polmonite bilaterale, e non si sa se ne uscirà viva o no. Poi è guarita, anche se con conseguenti pesanti sulla sua mobilità.

In quei giorni divengo acutamente consapevole di quattro aspetti dell’epidemia:
– In quel periodo, tutte le variabili riportate giornalmente, in particolare tamponi positivi e numero di ricoverati, cresce esponenzialmente con un tempo di raddoppio sui 4 giorni. Che significa che, se non fai nulla, in due settimane i numeri si moltiplicano per 8, in quattro settimane per 64, e così via. Una cosa abbastanza spaventosa.
– Tra il momento in cui sei contagioso (e quindi puoi contribuire all’esplosione del numero dei casi) e quello in cui il tuo tampone viene registrato dalla Protezione Civile e finisce all’attenzione delle pubbliche autorità, passano 10-12 giorni, in parte dovuti al ritardo tra il momento in cui diventi contagioso e quello in cui ti fanno il tampone, ed in parte dovuto al tempo che impiega il laboratorio per farti avere i risultati. Per mia mamma attendemmo 9 giorni il risultato del tampone (incidentalmente fu un falso negativo, ma questa è un’altra storia). Nel frattempo l’epidemia corre e i numeri continuano a schizzare alle stelle.
– Le autorità decidono gli interventi pubblici (chiusura scuole e luoghi pubblici, isolamento domestico, etc.) basandosi essenzialmente sull’andamento dei nuovi tamponi e dei ricoveri in ospedale e in terapia intensiva. Si guardano anche altri fattori, quali ad es. la percentuale di tamponi positivi. Ma alla fine quei due sono i numeri che contano.
– Gli ospedali e le terapie intensive sono a rischio di saturazione se l’epidemia scappa di mano.

Esplosione dell’epidemia in Italia (marzo-aprile 2020): confronto tra i dati e il modello per pazienti attivi e totale dei positivi [tratto da F. Casella, “Can the COVID-19 Epidemic Be Controlled on the Basis of Daily Test Reports?,” in IEEE Control Systems Letters, vol. 5, no. 3, pp. 1079-1084, July 2021, doi: 10.1109/LCSYS.2020.3009912]

Quello che fanno le autorità è mettere in atto un feedback tra i numeri dei tamponi e dei ricoveri che osservano e le misure di salute pubblica che ordinano. Un po’ come un termostato: se fa freddo aumenta la fiamma, se fa caldo la riduce. In questo caso, se i numeri aumentano si va verso restrizioni più forti, se diminuiscono si allenta la briglia. Il problema è che controllare in questo modo un sistema che esplode esponenzialmente, con un ritardo di due settimane tra la causa (decreti di salute pubblica) e l’effetto (numero tamponi positivi) può essere impossibile. Ho studiato allora un modello matematico, tarato coi dati delle epidemie in Cina, Italia, Francia e Regno Unito, su cui applicare alcune tecniche di teoria del controllo per capire se potrebbero funzionare o meno.

Il primo risultato è che se il numero di riproduzione netto Rt  è maggiore di 1,1, con questo ritardo di tempo è impossibile governare il processo basandosi sui dati giornalieri di tamponi positivi o ricoveri. Per capirne il motivo, si può ricorrere ad una analogia fisica. Controllare la dinamica dell’epidemia quando Rt > 1 è come bilanciare una scopa rovesciata sul palmo della mano. Se prendo una scopa lunga un metro e mezzo, quella cade con dei tempi più lunghi rispetto al ritardo dei miei riflessi, quindi riesco a farlo senza problemi. Se però prendo una scopa con un manico di mezzo metro, che cade più in fretta, controllarla diventa molto più difficile. Se ne prendo una ancora più corta, diventa di fatto impossibile. I miei riflessi non sono abbastanza pronti per far fronte alla rapidità con cui mi sfugge di mano.

Con il COVID a Rt > 1,1 è la stessa cosa: più Rt è alto, più la scopa è corta, e i riflessi della catena diagnostica e decisionale sono semplicemente troppo lenti per poter governare il fenomeno, rispetto alla brutalità con cui può esplodere. L’unica strategia che funziona in questi casi è di intervenire drasticamente per portare Rt sotto ad 1 con ragionevole certezza a priori, senza dover aspettare due o tre settimane di capire se l’intervento bastava o bisognava stringere di più. Tenendo presente che il picco di tamponi positivi giornalieri ha luogo 7-14 giorni dopo l’intervento, e il picco di ricoveri ospedalieri e di ricoveri in terapia intensiva anche un mese dopo, con numeri dalle 4 alle 10 volte maggiori di quelli che valgono nel momento in cui l’intervento viene applicato. Questo nell’ipotesi che l’intervento sia davvero efficace, altrimenti saranno ancora più alti. Sappiamo che un lockdown brutale come a marzo è efficace per portare Rt sotto a 1. Sappiamo anche che è possibile condurre una parvenza di vita normale come a maggio e giugno senza che l’epidemia riparta. Quanto sia necessario fare in questi mesi autunnali ed invernali, purtroppo non lo sa nessuno. L’incertezza è grande.

Tutte queste cose sono già accadute a marzo e si spiegano con un modello matematico che si può usare anche oggi. Il parametro critico è il tempo di raddoppio, che oggi è attorno agli 8 giorni. Non è brutto come a febbraio, quando era di 4, ma è comunque molto più veloce dei riflessi del sistema di cui si parlava prima. E ci consiglia quindi di prendere decisioni sufficientemente drastiche il prima possibile. A questo si aggiunge un fattore importantissimo: se i numeri aumentano ancora, il sistema di tracciamento sarà completamente sopraffatto e non riuscirà più a mettere in isolamento tutti i contatti di quanti vengono trovati positivi. Quindi il contagio aumenterà ancora più rapidamente, anche mantenendo gli stessi sforzi di distanziamento sociale. Esattamente l’opposto di quello che serve per riportare l’epidemia sotto controllo.

È vero che il numero di tamponi positivi di oggi, che è il risultato di azioni di tracciamento di contatti ed individua anche molti asintomatici, non è paragonabile direttamente a quello di marzo, in cui si faceva il tampone solo a soggetti con sintomi gravi. Però quello che conta non è tanto e non solo il valore assoluto, ma anche il trend di crescita, ovvero il tempo di raddoppio. Che oggi è già decisamente insostenibile.

Morale: visto l’andamento dei numeri di ottobre, azioni drastiche saranno molto probabilmente necessarie nelle prossime settimane, quasi certamente ben prima di Natale. Magari non un lockdown stretto come a marzo, ma sicuramente di più della chiusura anticipata a mezzanotte dei bar. I margini per tenere aperte le scuole andranno ricavati chiudendo qualcos’altro senza indugio. Più aspettiamo a farlo, e più sarà lunga la fase di discesa dopo l’intervento e il rischio che il Natale ci porti in dono il collasso del sistema ospedaliero. Per capirlo basta confrontare la gestione italiana del primo lockdown con quella inglese: loro hanno aspettato un paio di settimane in più e hanno pagato molto cara questa decisione.

Va anche considerato che a febbraio-marzo il grosso del contagio era in posti relativamente poco popolati: il codognese, la bassa cremonese e piacentina, poi la bresciana e le valli bergamasche. Adesso invece il contagio è prevalente nelle grandi città come Milano, che hanno numeri di persone potenzialmente contagiabili molto più alti.

Una nota di speranza viene dalla corsa ai vaccini e agli anticorpi monoclonali. È abbastanza probabile che a partire dalla primavera 2021 avremo armi molto potenti per riuscire a ridurre in modo drastico il contagio e le sue conseguenze cliniche. Prima di allora però dobbiamo scollinare l’inverno, e per quello le armi che abbiamo sono purtroppo soltanto mascherine, igiene delle mani e distanziamento sociale. L’efficacia di queste misure è comprovata, ma non è detto che siano sufficienti ad aiutarci a invertire la curva dei contagi, soprattutto se non tutti fanno la loro parte. Dovremo stringere i denti ancora per un po’ e non commettere errori di miopia nella valutazione della dinamica fortemente non lineare dell’epidemia, che potremmo poi finire per pagare molto cari.

Francesco Casella

Roberto Natalini

Roberto Natalini [coordinatore del sito] Matematico applicato. Dirigo l’Istituto per le Applicazioni del Calcolo del Cnr e faccio comunicazione con MaddMaths! e Comics&Science.