Da qualche tempo collaboriamo con Adam Atkinson che è solito proporci problemi o osservazioni curiose e interessanti. Questa volta ci presenta un teorema parecchio strano. Forse si è sbagliato, ma dove? Sembra tutto giusto. Ci aiutate a trovare il bandolo della matassa mandando la vostra soluzione a maddmaths@gmail.com?

Negli ultimi anni ho scoperto che non solo i giovani d’oggi ma anche gli splendidi quarantenni e oltre non sembrano conoscere un risultato sugli angoli retti pubblicato alla fine dell’800 che semplifica notevolmente tutta la geometria. Alle conferenze spesso mi tocca mostrare la dimostrazione a persone che misteriosamente non l’hanno mai vista. Come la storia del barometro, dovrebbe fare parte del patrimonio culturale di qualsiasi matematico e forse di qualsiasi scienziato.

Ho visto questa dimostrazione per la prima volta negli anni ‘70 in un libro degli anni ‘50. Mi ha cambiato la vita (non necessariamente per il meglio). Ho saputo più tardi che è apparso probabilmente per la prima volta in “Mathematical Recreations and Essays” di Rouse Ball, forse fin dalla prima edizione del 1892. In italiano si trova in “Matematica dilettevole e curiosa” di Italo Ghersi, pubblicato originariamente nel 1913 ma disponibile ai giorni nostri in un’edizione del 1988 (secondo Amazon) o 1978 (secondo Wikipedia).

Nei libri la dimostrazione spesso usa un solo diagramma ma qui costruisco il diagramma un po’ alla volta come farei su un foglio o su una lavagna.

Ecco un rettangolo. I due angoli inferiori sono angoli retti. Costruiamo un segmento ad angolo theta, con la stessa lunghezza del lato destro del rettangolo.

Uniamo la fine del nuovo segmento all’angolo del rettangolo in alto a sinistra.

Costruiamo gli assi del lato superiore del rettangolo e del segmento inclinato.

Questi segmenti non sono paralleli (in quanto theta non è 0) quindi da qualche parte si intersecano. Uniamo la loro intersezione ai due vertici inferiori del rettangolo, al vertice del rettangolo in alto a sinistra, e al punto alla fine del nostro segmento nuovo a destra:

Questo è il diagramma che si trova solitamente nei libri. Consideriamo il triangolo evidenziato qui:

L’asse della base passa per il vertice, quindi questo triangolo è isoscele. I lati e gli angoli indicati sono, quindi, uguali. Allo stesso modo:

Anche in questo triangolo evidenziato l’asse della base passa per il vertice, quindi anche questo è isoscele.

E adesso abbiamo mostrato che i triangoli evidenziati qui hanno tre lati congruenti e quindi i due triangoli sono congruenti. Quindi anche gli angoli corrispondenti sono uguali, e in particolare quelli indicati qui:

Ma sappiamo già che questi angoli sono uguali:

Sottraendo questi dagli angoli del diagramma precedente, vediamo che un angolo retto è uguale ad un angolo retto più theta, per qualsiasi valore di theta diverso da zero. (E sappiamo già che un angolo retto è uguale ad un angolo retto più zero, ovviamente). Abbiamo dimostrato che gli angoli retti sono disponibili in varie taglie.

Qualcuno chiede “Ma cosa succede se l’intersezione è sul bordo del rettangolo?”.

Questo ci rende la vita più facile in quanto abbiamo subito 90 = 90 + theta e non dobbiamo sottrarre niente. Qualcuno chiede “Cosa succede se l’intersezione è dentro il rettangolo?”. Anche questo non è un problema.

In questo caso abbiamo il triangolo isoscele sul fondo ma invece di sottrarre gli angoli per arrivare a 90 = 90 + theta, dobbiamo aggiungerli.

Non è notevole e potente questo risultato?

Vi do un indizio: c’è un errore nella dimostrazione. Trovarlo può essere istruttivo. Quando mostro questa dimostrazione alla gente ad un evento che dura più giorni (in un giorno che non è l’ultimo giorno dell’evento) spesso le mie vittime vengono a dirmi “Bastardo!” a colazione il giorno dopo. Altrimenti tendono a mandarmi email dicendo solo “Bastardo!” o in inglese “You bastard!”.

Adam Atkinson (ghira@mistral.co.uk)

Roberto Natalini

Roberto Natalini [coordinatore del sito] Matematico applicato. Dirigo l’Istituto per le Applicazioni del Calcolo del Cnr e faccio comunicazione con MaddMaths! e Comics&Science.