Anche quest’anno tanti commenti sulla prova di matematica per l’esame di Stato per i Licei Scientifici. Potete trovare testi e proposte di soluzione sul sito MatePristem, sul sito di Luigi Tomasi, su una pagina di Lorenzo Menghini. Tra i commenti in rete vogliamo ricordare quello di Massimo Ferri sul Fatto Quotidiano. Noi qui invece proponiamo un commento di Francesco Daddi, insegnante presso il Liceo Scientifico “F. Buonarroti” di Pisa. 

Dal 2001 la prova scritta del liceo scientifico comprende due problemi e dieci quesiti. Dal 2015 il primo problema cerca di applicare la matematica al mondo reale, mentre il secondo segue una scia più tradizionale. Devo confessare che quest’anno nessuno dei due problemi mi ha convinto.

Per quanto riguarda il problema delle mattonelle, rileggiamo le Indicazioni Nazionali (nel seguito I. N.) per il liceo scientifico: “Al termine del percorso del liceo scientifico lo studente conoscerà i concetti e i metodi elementari della matematica, sia interni alla disciplina in sé considerata, sia rilevanti per la descrizione e la previsione di fenomeni, in particolare del mondo fisico […] Si tratterà soprattutto di comprendere il ruolo del calcolo infinitesimale in quanto strumento concettuale fondamentale nella descrizione e nella modellizzazione di fenomeni fisici o di altra natura.”

Occorrerebbe quindi dirigersi su problemi senza guide prestabilite: problemi sintetici, senza suggerimenti (non bisogna “dire troppo”, altrimenti che problema è?): lo studente deve conoscere gli strumenti matematici e, tra di essi, scegliere in modo autonomo quello più adatto alla risoluzione del problema in gioco.

Ora, analizzando bene il primo problema, si scopre che la situazione è già ampiamente modellizzata: vengono fissati sia il piano cartesiano sia l’elenco delle condizioni sulle funzioni e allo studente vengono fatte delle richieste che hanno poco a che vedere con la matematica applicata. Insomma, la strada è spianata (il problema riempie da solo due pagine, con tutta la descrizione!) e lo studente, non avendo margini di manovra, deve limitarsi a mantenere la rotta, senza libertà di iniziativa. Purtroppo in questo modo si valutano solamente le conoscenze di base e le abilità di calcolo, ma non si tiene conto né della strategia seguita né dell’utilizzo pertinente e autonomo degli strumenti matematici. Per carità, siamo tutti ben consapevoli che non è facile calibrare una prova scritta ministeriale, nessuno ha la bacchetta magica!

Degna di nota, in ogni caso, la quarta richiesta, ossia la parte che riguarda il malfunzionamento del braccio meccanico incaricato della verniciatura della mattonella.

Passiamo al secondo problema. Tre quarti delle richieste erano di livello medio: una cubica dipendente da un parametro (che, tra l’altro, compariva solo nel punto 1 ed in metà del punto 2) oggettivamente non può mettere in difficoltà studenti che hanno alle spalle 5 anni di liceo scientifico. Tanto per fare un confronto diretto, date un’occhiata al secondo problema del 2016, decisamente più complesso nel numero e nella qualità delle richieste, anche di tipo teorico.

Ha destato un po’ di perplessità, invece, la ricerca dello zero della cubica: in passato il MIUR precisava il grado di approssimazione (ad esempio si indicava di arrotondare ai centesimi), chiedendo di applicare un metodo numerico a scelta del candidato. In ogni caso non ci dimentichiamo che, dallo scorso anno, sono ammesse all’esame le calcolatrici grafiche, che risolvono agevolmente questa e ben altre questioni; si ricorda che le I. N. ritagliano un ruolo non secondario agli strumenti informatici: “Il percorso, quando ciò si rivelerà opportuno, favorirà l’uso di questi strumenti, anche in vista del loro uso per il trattamento dei dati nelle altre discipline scientifiche”.

I quesiti, per fortuna, mi sono piaciuti di più.

Nel solco della tradizione, ci sono stati due quesiti sui problemi di massimo e minimo; le stesse I. N. ribadiscono che “lo studente acquisirà familiarità con l’idea generale di ottimizzazione e con le sue applicazioni in numerosi ambiti”. Tutti i problemi di massimo e minimo (a prescindere dal contesto, “puro” oppure applicato) sono formativi: il discente deve capire il problema, i casi particolari (compresi quelli eventualmente “patologici”), scegliere un eventuale riferimento cartesiano, l’incognita (dandone in modo chiaro le limitazioni, descrivendo che cosa accade “al limite”), ecc.

Lo scorso anno (quesito 2) si trattava di determinare il volume massimo di una torta di forma cilindrica collocata sotto una cupola di plastica di forma semisferica; stavolta con il quesito 1 siamo passati al cilindro di massimo volume inscritto in un cono. Piccola curiosità: ho fatto delle ricerche e ho scoperto che il n. 1 è stato proposto anche nel 1976 e nel 1997: visto che esiste una periodicità di 21 anni, i candidati del 2039 sono avvertiti! Il quesito 5, invece, era stato proposto sotto un’altra veste nella prova straordinaria del 2012: si parlava di una finestra, non di un recinto. Aveva proprio ragione Poincaré: “La matematica è l’arte di dare lo stesso nome a cose diverse”.

I quesiti 6 e 9 riguardano la geometria analitica dello spazio: nessuna novità neanche da questo fronte, visto che dal 2015 sono presenti sistematicamente nella prova scritta. Ritengo giusto insistere su questo argomento, ma vedo in giro molti colleghi che sono ancora un po’ refrattari ad una sua sistematica trattazione; da un lato è verissimo che il tempo scarseggia per le motivazioni più disparate, ma la soluzione è molto semplice: si tratta di anticipare (percorrendo così l’impostazione di molti libri di testo) certe scelte al quarto anno. Dalle mie esperienze didattiche, anche universitarie, posso dire che gli studenti non si orientano facilmente con le tre dimensioni.

Il quesito 9 non pone particolari problemi nella prima parte, mentre è decisamente più impegnativo nella ricerca (con due soluzioni) del quarto vertice del tetraedro regolare.

I quesiti 2 e 8 vertono sul calcolo delle probabilità. Il quesito 2 strizza l’occhio al dodecaedro presente nel quesito 8 del 2017 (anche l’anno prossimo troveremo i dadi truccati?), ma non presenta particolari complessità. Il quesito 8, invece, è più ostico di quanto possa sembrare ad una prima lettura: gli studenti rischiano di non considerare il fatto che chi vince ha necessariamente guadagnato l’ultimo punto (un po’ come accade nel tennis o nel volley). Trovo che queste tematiche sulla probabilità siano stimolanti: a chi è interessato consiglio di vedere anche il quesito 7 della prova suppletiva 2017. Forse è iniziato un filone sui giochi? Sarebbe bello vedere anche qualcosa sul classico problema della ripartizione della posta, sulla scia dello storico carteggio tra Pascal e Fermat.

Anche il quesito 4 è forse più impegnativo di quanto possa apparire, specialmente per quanto riguarda le motivazioni dei passaggi seguiti e i ragionamenti di tipo qualitativo, difficili da digerire e da produrre ex novo da parte dei ragazzi.

I quesiti 3, 7 e 10 sono un po’ “scialbi”, ma risultano del tutto standard, alla portata anche di quegli studenti che presentano qualche difficoltà nella materia. In particolare per il quesito 10 si tratta di effettuare una verifica davvero banale su un’equazione differenziale: quanto dovremo ancora aspettare prima di vedere un autentico quesito sulle equazioni differenziali? Si spera che, con il nuovo Esame di Stato in vigore dal 2019, siano finalmente realizzate sul campo le idee contenute nelle I. N.: “Altro importante tema di studio sarà il concetto di equazione differenziale, cosa si intenda con le sue soluzioni e le loro principali proprietà, nonché alcuni esempi importanti e significativi di equazioni differenziali, con particolare riguardo per l’equazione della dinamica di Newton.”

Grande assente della prova 2018 è stata la funzione integrale, che per tanti anni ha “spadroneggiato” la scena. Assenti anche i volumi dei solidi di rotazione o “a fette” che avevano una loro collocazione “di rito” all’interno della seconda prova. Nessun accenno alla continuità e alla derivabilità in un punto, nessuna menzione dei teoremi di Rolle e Lagrange. Si tratta forse di una indicazione per guidare le scelte didattiche in vista di una (possibile) futura prova mista con la fisica? Vedremo.

Francesco Daddi