In tempi di crisi economica, le ansie dei lavoratori si appuntano non solo sull’attualità ma anche sul futuro. La questione pensionistica, su cui arrivano con cadenza praticamente quotidiana notizie non esattamente incoraggianti, è stata affrontata da un gruppo italo-spagnolo di matematici che ha elaborato un modello che potrebbe aiutare a rispondere alla domanda: quando è il momento migliore per andare in pensione? Un modello matematico, quindi, che fornisca la descrizione del piano pensionistico ideale contemplando anche la possibilità del pre-pensionamento (ossia del ritiro anticipato).
Si tratta di un problema, in generale, posto in ambito economico e formalizzato matematicamente nel 2002 da A. Friedman e W. Shen. Un dato che non stupisce, visto che sono molti gli strumenti e modelli della fisica matematica “adottati” in economia e finanza da quarant’anni a questa parte. “Bisogna premettere che questo tipo di problema ha forti analogie con la valutazione di strumenti finanziari derivati, come le opzioni” spiega Andrea Pascucci, del Dipartimento di Matematica dell’Università di Bologna, direttore del Corso di Alta Formazione in Finanza Matematica dell’Università di Bologna e tra gli autori dello studio pubblicato sul SIAM Journal on Applied Mathematics. “L’analogia – prosegue – consiste nel fatto che si tratta di contratti il cui valore dipende da un altro titolo, solitamente chiamato sottostante. Nel caso dei derivati finanziari, il sottostante è tipicamente un titolo finanziario; nel caso delle pensioni, il sottostante è il salario del dipendente oppure una media di esso in un certo periodo di tempo. Poiché il salario ha una dinamica incerta nel futuro, esso può essere modellizzato utilizzando la teoria dei processi stocastici”. Il piano pensionistico, infatti, concerne importi che dipendono tipicamente dal numero di anni di servizio prestati dal lavoratore al momento del pensionamento, dal salario medio e dal fatto che il lavoratore decida o meno di andare in pensione in anticipo: il dipendente può per esempio ricevere una frazione dello stipendio medio relativo a un certo numero di anni di lavoro.
Il modello presentato da Pascucci in collaborazione con María del Carmen Calvo Garrido e Carlos Vázquez Cendón dell’Universidade da Coruña, Spagna, sfrutta le equazione differenziali a derivate parziali per quantificare un definito piano pensionistico che include l’opzione del ritiro anticipato. “Oltre alla questione della valutazione del contratto di pensione, lo studio si pone il problema aggiuntivo di capire quando è ‘ottimale’ andare in pensione: si tratta di un problema di ottimizzazione stocastica perché la scelta di pensionamento anticipato va fatta senza conoscere l’andamento futuro del salario, utilizzando solo i dati osservabili del passato” aggiunge Pascucci.
In particolare, spiega lo scienziato, lo strumento principale utilizzato è stato quello della teoria delle equazioni ipoellittiche. Si tratta di una classe ampia di equazioni differenziali a cui appartengono molte equazioni della fisica come, per esempio, l’equazione “del calore” che descrive l’andamento della temperature, in funzione dello spazio e del tempo, in una certa regione. “In generale, si tratta di equazioni associate a fenomeni in cui appare una dipendenza dal passato: è questo il caso dei piani pensione in cui si deve tener conto della storia retributiva e non solo dell’ultimo salario percepito” spiega Pascucci.
Il risultato, continua il matematico, è un modello che, sulla base dei test condotti, ha prodotto delle proiezioni realistiche, funzionando in modo ‘sufficientemente stabile’ e che ha fornito soluzioni che garantiscono l’equità del contratto fra il lavoratore e il datore di lavoro. “Trattandosi di un problema di ottimizzazione stocastica, il fatto che la pensione sia equa corrisponde all’ottimizzazione dell’aspettativa del valore del contratto sulla base delle informazioni disponibili al momento e in modo che nessuna delle due parti abbia la possibilità di un guadagno certo e senza rischio, a scapito dell’altra parte. Va sottolineato che, prima di essere utilizzato, il modello deve essere ‘calibrato’ – secondo una procedura delicata in cui tipicamente intervengono tecniche di tipo statistico e anche scelte soggettive – e cioè devono essere fissati i parametri da cui dipende. Questo primo passo è cruciale e da esso dipende il risultato che il modello produce”.
Ma allora conviene o no andare prima in pensione? “Il modello che abbiamo studiato considera il problema solo dal punto di vista puramente economico, ossia in termini di guadagno atteso. In realtà però entrano in gioco altri fattori decisivi come, per esempio, la propensione a voler continuare a lavorare o anche il fatto che l’opzione di pensionamento anticipato sia permessa o meno a livello legislativo, quindi forse non esiste una risposta assoluta a questa domanda” conclude Pascucci.
Le future direzioni di questo studio potrebbero riguardare l’applicazione di tecniche simili a quelle attuate in questo modello per studiare l’evoluzione dei salari e degli stipendi, come spiega Vázquez Cendón: “Stiamo lavorando su un modello più completo che preveda l’evoluzione dei salari e che includa la possibilità di salti a causa, per esempio, di una crisi economica”. Uno scenario tutt’altro che improbabile.
(a cura di Stefano Pisani, Maya Briani, Andrea Pascucci)
