Qui sulle pagine di MaddMaths! (link) e durante una recente intervista radiofonica su Radio Popolare a Camillo Bortolato e Rosetta Zan (link a podcast) sono emersi diversi temi, a nostro avviso importanti per orientare le proprie scelte didattiche, compreso l’uso (o meno) di particolari “metodi” come il cosiddetto “metodo analogico”. In questa pagina presentiamo due interventi: Rosetta Zan interviene spiegando come un accanimento nel voler eliminare errori e lentezza non possa che essere dettato da una visione distorta della matematica, e possa portare di conseguenza ad un ‘evitamento’ della matematica stessa. Subito dopo, Anna Baccaglini-Frank interviene sulla “battaglia delle tabelline” (tema che pare tornare ciclicamente: link all’intervista su Repubblica fatta da Silvia Bencivelli a gennaio 2016). Segnaliamo infine, a complemento di questi commenti, il recente intervento di Massimo Ferri su Il fatto quotidiano (link).

Rosetta Zan – Errori e lentezza

La matematica è una materia verso la quale molti studenti (già dalla primaria) e poi adulti hanno un atteggiamento negativo, accompagnato da un disagio emotivo che a volte diventa un vero e proprio rifiuto. Un rifiuto che ha un alto costo sociale, in quanto a volte produce il rigetto di un certo tipo di razionalità, ma anche perché impedisce a molte persone di realizzare il proprio progetto di vita, influenzando le loro scelte. Spesso si tratta di scelte in negativo invece che in positivo, cioè di scelte di ‘evitamento’. Si sceglie una scuola superiore perché c’è poca matematica, o addirittura un corso universitario perché non prevede corsi di matematica.

Questo fenomeno, tra l’altro, genera un circolo vizioso, perché molti insegnanti hanno vissuto un rapporto con la matematica di questo tipo, e nel momento in cui insegnano sono influenzati da questa esperienza. Certo può essere anche un’influenza positiva, in quanto l’insegnante si propone di far vivere all’allievo un’esperienza diversa da quella che lui stesso ha provato. Ma perché possa essere davvero un’occasione per rompere quel circolo vizioso a mio parere va fatta un’analisi approfondita dei motivi del disagio. E la ricerca in didattica della matematica ci aiuta a capire.

Nessuno nasce con la paura della matematica: la costruisce con l’esperienza scolastica.

Come? Molti studi hanno cercato una risposta a questa domanda, anche raccogliendo la testimonianza diretta degli allievi, per ascoltare e far sentire le loro voci, e per capire cosa succede.

Cosa emerge? Il disagio che molti bambini vivono con la matematica già a livello di scuola primaria è legato a un’esperienza con questa disciplina in cui errore e lentezza sono considerati indicatori di fallimento, e quindi vanno assolutamente evitati. Il successo è identificato con la risposta corretta data velocemente, con la naturale conseguenza che chi sbaglia o chi non è abbastanza veloce si sente tagliato fuori, inadeguato, incapace.

Come mai errore e lentezza in matematica vengono visti come indicatori di fallimento? Ma non c’è bisogno di tempo per riflettere? Come si concilia questo bisogno di tempo con la richiesta di velocità? E di fronte a un problema, cioè a una situazione nuova che non sappiamo a priori come risolvere, non è naturale fare errori, provare una strada e poi renderci conto che non funziona, e tornare indietro e cercare una nuova strada?

Il fatto che errore e lentezza vengono visti come indicatori di fallimento discende da una visione estremamente riduttiva e distorta della matematica che non dà sufficiente spazio ai processi tipici della matematica: affrontare problemi – ed eventualmente risolverli – il che comporta comprenderli, esplorare, congetturare, argomentare le congetture fatte, attivare continuamente processi di controllo. E tutto questo richiede tempo, e comporta errori.

Molti insegnanti già alla scuola primaria lavorano su questi processi, creando un contesto sereno di lavoro, libero dall’ossessione della valutazione, favorendo il lavoro collaborativo, così importante per il confronto di idee e quindi per lo sviluppo di competenze argomentative e linguistiche. Del resto sono scelte didattiche coerenti con le Indicazioni Nazionali per il primo ciclo (testo prezioso, che a mio parere sarebbe importante fosse letto da insegnanti e genitori insieme, almeno in alcune parti).

Lavorando in questo modo sui processi gli insegnanti promuovono un’idea di successo davvero inclusiva, che consiste nella percezione dei passi avanti che siamo riusciti a fare. Tutti noi incontriamo ostacoli e facciamo fatica quando apprendiamo o quando affrontiamo un problema, e abbiamo bisogno di tempo: a me capita continuamente di sciogliere dei dubbi, o comunque di chiarirmi alcune idee a distanza di giorni o di mesi se non di anni. Ma la consapevolezza di questa trasformazione, di questa crescita, è quella che ci fa sentire competenti, e che genera una profonda soddisfazione.

Ma non c’è dubbio che molta pratica didattica invece trascura questi processi e si concentra sui prodotti, cioè sulla risposta finale e sulla sua correttezza. In una pratica didattica di questo tipo, l’insegnante spiega procedure e ‘regole’, poi fa vedere su alcuni esempi come si applicano, e infine propone agli allievi decine di esercizi dello stesso tipo su cui riprodurre il comportamento che ha illustrato.

Queste scelte spesso sono influenzate dall’esigenza di dover dare successivamente una valutazione, intesa però anch’essa in modo riduttivo e semplicistico (verifiche da concludere in poco tempo, magari con la pretesa che siano oggettive), per cui il docente è convinto in buona fede di ‘aiutare’ l’allievo diminuendo la complessità delle richieste. È un modo riduttivo, addirittura rinunciatario, di concepire l’aiuto: qui e ora, senza concedere all’allievo e a noi stessi il tempo necessario per costruire apprendimento. O addirittura a volte si fa riferimento alla necessità di rispettare i tempi per concludere un programma che in realtà non esiste più.

In conclusione, il disagio identificato con errori e lentezza non è ‘colpa’ della matematica, ma di un modo estremamente riduttivo e distorto di vedere la matematica, frustrante sia per l’allievo che per il docente. E di un modo altrettanto riduttivo di concepire la valutazione. È questa visione della matematica (e anche della valutazione) che dobbiamo mettere in discussione se vogliamo affrontare il problema del disagio associato alla matematica in modo costruttivo e non superficiale. Altrimenti c’è il rischio che invece di accettare errore e lentezza come elementi necessari del processo d’apprendimento, facciamo anche noi docenti scelte di evitamento: evitando occasioni d’errore, evitando processi che richiedono tempo, addirittura insegnando scorciatoie cognitive, cioè strategie che permettono all’allievo di rispondere velocemente in modo corretto anche senza aver compreso i significati (pensiamo ad esempio al suggerimento di cercare le parole chiave per risolvere un problema). In altre parole facciamo quello che come docenti rimproveriamo spesso alle famiglie, ai genitori: di essere troppo protettivi con i loro figli, di evitar loro qualsiasi problema per non metterli in difficoltà. Come docenti vediamo continuamente il rischio di un atteggiamento di questo genere (anche all’università): molti ragazzi sono fragili, e davanti al primo problema che incontrano – perché prima o poi i problemi si incontrano – vanno in crisi. Non sono abituati a gestire il fallimento (inteso come mancato raggiungimento di un obiettivo): non sono abituati a interpretarlo, a cercare di superarlo. Sappiamo che questo ha un costo sociale molto alto. Così come ha un costo sociale molto alto il mancato rispetto per l’altro, l’adesione acritica a comportamenti o slogan. Credo che l’educazione matematica possa e debba dare un contributo importante in questa direzione. Un insegnamento centrato sui processi invece che sui prodotti, che valorizza il ruolo dell’errore e del tempo e restituisce ai problemi il loro ruolo cruciale, che supera una concezione riduttiva e sterile di valutazione, …rende l’attività con la matematica una palestra incredibile anche per imparare a gestire le proprie emozioni, a riflettere prima di agire, ad argomentare le proprie posizioni, a rispettare le opinioni dell’altro, ad affrontare situazioni nuove con fiducia, a interpretare e superare eventuali fallimenti, ad assumersi responsabilità, a conquistare autonomia, tutto in un contesto ‘protetto’ com’è quello della classe, o della scuola.

Si può fare.
Lo dimostra la ricerca in didattica, ma soprattutto lo testimonia il lavoro di molti insegnanti. E le famiglie possono aiutare tantissimo in questa direzione.
Rosetta Zan

Anna Baccaglini-Frank – Tabelline
La questione delle cosiddette “tabelline” è sicuramente delicata: ha ancora senso insegnarle? (e se si decide di sì, allora) come?

Ho dedicato particolare attenzione a questa questione, proprio in un’ottica di didattica inclusiva e di prevenzione di difficoltà persistenti nell’ambito dell’aritmetica (difficoltà che possono essere diagnosticate come “discalculia” a partire dagli 8 anni). Come hanno fatto altri colleghi, ho studiato a fondo la letteratura nell’ambito della psicologia cognitiva, ho cercato e studiato approcci didattici diversi, ho lavorato in diverse classi italiane, e in situazioni di “clinica” o doposcuola. Mi sono occupata dell’apprendimento di questi particolari “fatti aritmetici” perché hanno un ruolo importante nei test diagnostici per la discalculia. Non voglio discutere qui se abbia senso o meno insegnare ancora le “tabelline” a scuola, o se sia “bene” o “male” tutta questa attenzione alla loro memorizzazione. Assumiamo che per vari motivi io, insegnante, voglia che i miei studenti immagazzinino nella memoria a lungo termine questi prodotti.

In questo caso ha senso chiederci se tale immagazzinamento possa avvenire in modi diversi, e se il modo in cui l’immagazzinamento avviene faccia differenza. Differenza rispetto a cosa? Almeno rispetto a due cose: a come riusciamo a recuperare il dato dalla memoria, e a come possiamo sfruttare tale apprendimento per sviluppare ragionamenti matematici. Un altro mio assunto di partenza è che vogliamo promuovere processi di pensiero matematici ed una corretta visione della matematica, senza paure o angosce a riguardo, ma stimolando passione, curiosità e creatività.

Sì, l’immagazzinamento può avvenire in diversi modi. Inoltre, studi suggeriscono che faccia differenza il modo in cui avviene. In particolare, pare che se il fatto immagazzinato è una compattificazione di un processo con significato, è più facile per lo studente ricostruire il fatto se in un certo momento la memoria “viene meno”. Inoltre, è più facile richiamare il fatto in altri contesti riconosciuti come affini. Dunque, fa molta differenza come viene costruito il fatto 8*7=56. Ecco una lista di alcuni modi possibili:

• come addizione ripetuta (8+8+8+8+8+8+8)
• come una sequenza di multipli (8, 16, 24, 32, 40, 48, 56)
• come ricostruzione a partire da altri fatti immagazzinati (per esempio 8*5=40 e 8*2=16), magari anche facendo riferimento a ragionamenti visivi su diagrammi, per esempio i “diagrammi-rettangolo” proposti nel progettoPerContare (link) (ma l’idea di “numero rettangolare” è già nella scuola pitagorica e viene ripresa negli Elementi di Euclide)
• sfruttando meccanismi non legati a significati matematici (di cui sono stati fatti esempi nei post del blog).

Dunque è possibile apprendere questi prodotti, fino a ricordarli “a memoria” (senza doverci più pensare, ma potendo ricostruire il ragionamento se serve) lavorando sempre con ragionamenti matematici, anche di natura diversa. In questo modo viene valorizzato tanto il processo quanto il prodotto. Inoltre, il prodotto può venire più facilmente riutilizzato in nuovi processi matematici, e quindi usato più efficacemente per costruire nuovo sapere. Questo è un processo fondamentale nell’apprendimento della matematica; e in quest’ottica il calcolo a mente può essere estremamente utile.

Concludo con una riflessione sull’inclusione di studenti con diversi profili di apprendimento. Un numero crescente di studi nazionali e internazionali suggeriscono che non esista, e non possa esistere, un unico metodo che vada bene per tutti. Per fortuna, di questo paiono essere convinti diversi insegnanti i cui commenti sono apparsi nei vari blog emersi nelle ultime settimane. D’accordo con questi insegnanti, ritengo che dobbiamo continuare a cercare una varietà di vie possibili da usare e proporre in classe, ma sempre facendo riferimento a ragionamenti sensati da un punto di vista matematico. Il passaggio all’uso di strategie che fanno cortocircuito e bypassano i significati dovrebbe avvenire, a mio avviso, solo in casi estremi e non nella “normale” pratica in classe.

Anna Baccaglini-Frank

Roberto Natalini

Roberto Natalini [coordinatore del sito] Matematico applicato. Dirigo l’Istituto per le Applicazioni del Calcolo del Cnr e faccio comunicazione con MaddMaths! e Comics&Science.