Il matematico statunitense William Thurston, vincitore della Medaglia Fields per i suoi contributi nella topologia della dimensione bassa, professore alla Cornell University dal 2003, è morto lo scorso 21 agosto all’età di 65 anni. Pubblichiamo un ricordo di Riccardo Benedetti, professore ordinario di Geometria presso il Dipartimento di Matematica dell’Università di Pisa.

di Riccardo Benedetti

Lo scorso 21 agosto è morto all’età di 65 anni William (Bill) Thurston. Benché seriamente ammalato da tempo, le sue numerose, recenti domande e risposte sul sito MathOverflow continuavano a regalarci integro il suo inconfondibile e unico modo di fare e comunicare la matematica: insieme ai risultati più profondi era capace di mostrare il processo di pensiero e le intuizioni fondamentali da cui erano maturati. Per avere un esempio della sua straordinaria capacità di visione geometrica e della sua abilità nel comunicarla agli altri, senza bisogno di un bagaglio di conoscenze tecniche troppo pesante, sono fortemente consigliati i video da lui ideati per il Geometry Center, e in particolare “Outside In” sulla possibilità della cosiddetta “eversione della sfera nello spazio 3-dimensionale”. Tale possibilità, dimostrata teoricamente nel ’58 da S. Smale, risultava così anti-intuitiva da essere nota anche come “paradosso di Smale”. In seguito sono stati realizzati diversi “film” (cioè successioni di immagini) che illustrano esempi di eversione, tra cui quello notevole (cartaceo) di B. Morin. [1]

L’attività scientifica di Thurston può essere grossolanamente suddivisa in due fasi, caratterizzate anche da un suo diverso atteggiamento rispetto ai modi in cui si realizza il progresso (collettivo) della conoscenza. Nei suoi primi lavori, all’inizio degli anni ’70, si occupò di foliazioni delle varietà. Con potenza di pensiero unica affrontò l’argomento risolvendo in poco tempo quasi tutti i problemi fondamentali aperti, così da quasi “chiudere (uccidere)”, da solo, questo filone di ricerca. Uno dei suoi risultati – l’integrabilità delle strutture di Haefliger – mostra, in particolare, che ogni varietà con caratteristica di Eulero-Poincaré nulla (per esempio ogni varietà di dimensione dispari) ammette foliazioni di codimensione 1 [2]. Oltre al risultato in sé è sorprendente la dimostrazione sostanzialmente costruttiva e “a mani nude” (a partire da opportune triangolazioni della varietà), che poteva essere concepita e intrapresa solo confidando in una portentosa intuizione geometrica.

Nella fase successiva, dalla seconda metà di quel decennio, è stato la figura dominante nello studio della geometria e topologia in 3 dimensioni tanto che nel 1982 gli è stata conferita la medaglia Fields per i suoi contributi in questo campo. Per riassumere con qualche “parola-chiave” il suo enorme lavoro, possiamo indicare sia la sua “Congettura di geometrizzazione”, sia il suo “Teorema di iperbolizzazione delle varietà di Haken” (che copre un caso particolare ma fondamentale e motivante della congettura). Non c’è referenza migliore (anche se necessariamente un po’ impegnativa) per una visione d’insieme su questi temi dell’articolo espositivo dello stesso Thurston: “Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry” [Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 6 (1982), 357–381]. Le otto geometrie 3-dimensionali vengono sia caratterizzate intrinsecamente, sia descritte per mezzo di modelli espliciti. Tra questi i modelli R ³, S ³ e H ³ delle tre geometrie classiche Euclidea, Sferica e Iperbolica; i due modelli “prodotto” S ² x R, H ² x R, ed altri tre modelli più riposti. Una 3-varietà è “geometrizzabile” se ammette una struttura completa (in quanto spazio metrico) localmente isomorfa ad uno degli otto modelli di geometria. Equivalentemente essa si può ottenere come quoziente di uno dei modelli via l’azione di un gruppo discreto di isometrie isomorfo al gruppo fondamentale della varietà. Risultati classici e profondi di topologia in 3 dimensioni (“la decomposizione JSJ”) assicurano che ogni varietà (orientabile, compatta e senza bordo) può essere decomposta in modo canonico tagliandola opportunamente lungo famiglie di 2-sfere e “tori” (cioè copie del prodotto di due circonferenze) immersi. I “pezzi” (“aperti”) risultanti hanno speciali proprietà topologiche che escludono l’esistenza di ostruzioni “evidenti” al fatto che ogni tale pezzo sia geometrizzabile. Una varietà di Haken ha decomposizione JSJ banale (cioè ne costituisce l’unico pezzo) e inoltre ammette un’ulteriore gerarchia finita di tagli lungo superfici, verificante opportune proprietà, fino ad ottenere mattoni elementari che sono tutti 3-palle. La “Congettura di geometrizzazione” enuncia che ogni pezzo di una decomposizione JSJ sia effettivamente geometrizzabile, mentre il “Teorema di iperbolizzazione” dimostra la congettura nel caso di quelle varietà di Haken che non presentano ostruzioni “evidenti” ad ammettere una struttura iperbolica. Nel caso senza bordo per esempio il gruppo fondamentale non deve contenere un sottogruppo isomorfo a Z x Z. La congettura permetteva un approccio concettuale unitario all’insieme di tutte le 3-varietà e aveva molte conseguenze, la più famosa delle quali era la congettura di Poincaré.

È noto che la congettura di geometrizzazione è stata recentemente (2002-2003) dimostrata da G. Perelman sviluppando l’approccio analitico/geometrico di R. Hamilton via il flusso di Ricci. Esistono adesso numerose varianti del lavoro di Perelman, in particolare quella di Bessieres, Besson, Boileau, Maillot e Porti in cui il teorema di iperbolizzazione di Thurston, invece di essere “riottenuto”, viene usato come ingrediente fondamentale della dimostrazione, aggirando l’uso degli spazi di Alexandrov, cruciale nella dimostrazione di Perelman. La dimostrazione originale del teorema di iperbolizzazione (a volte detto anche il “mostro”) è di natura diversa, tendenzialmente costruttiva e sotto “controllo visuale diretto”; è un vaso di Pandora in cui ogni ingrediente costituisce di suo una nuova teoria compiuta o una rivisitazione rivoluzionaria di temi classici quali lo studio dei gruppi kleiniani. Basti citare la compattificazione dello spazio di Teichmuller e l’analisi della dinamica dei diffeomorfismi delle superfici che giocano un ruolo fondamentale per trattare l’iperbolizzazione nel caso delle varietà fibrate sopra un cerchio. Benché tutti gli snodi, l’architettura e gli argomenti fondamentali della dimostrazione fossero stati indicati da Thurston (e in buona misura da lui disseminati per via orale), le dimostrazioni complete di tutti i dettagli sono state il frutto del lavoro decennale di numerosi gruppi di matematici, che spesso hanno introdotto varianti, illuminando sempre di più la materia e contribuendo così alla “comprensione” (la vera cosa che conta secondo Thurston) oltre la mera acquisizione della “verità” dei fatti. Il giovane “killer” solitario della prima fase si è trasformato in una sorgente da cui scaturiva un processo di conoscenza che in larga misura si poneva come opera collettiva. E tutto questo in piena consapevolezza intellettuale, come emerge nello splendido scritto di riflessione sul “rigore” e sul processo della conoscenza matematica [William P. Thurston, “On proof and progress in mathematics”, Bull. Amer.Math.Soc. Vol. 30, N. 2, April 1994].

Thurston con il creatore di moda Issey Miyake, di cui si parla anche qui.

[1] “Outside In” è in un certo senso quello definitivo poiché, tra l’altro, incorpora e visualizza l’applicazione minimale del così detto “h-principio” che sta alla base anche della dimostrazione teorica più efficiente.