Dati i numeri 1, 2, 3, …, 100, trovate un metodo per selezionare un insieme di 51 numeri distinti tale che nell’insieme ci sia sempre una coppia di numeri primi tra loro.
La risposta... Non cliccate qui se non ci avete pensato! Poi è troppo tardi!
Qualsiasi insieme che non comprenda il valore 1 soddisfa la condizione.
Infatti, se dividiamo i numeri in sottoinsiemi {1, 2}, {3, 4}, {5, 6}, … {99, 100}, essendo questi cinquanta, quando prenderemo cinquantun numeri dovremo forzatamente prenderne due da uno dei sottoinsiemi, e due numeri consecutivi maggiori o uguali a 2 sono primi tra loro.
I Rudi Mathematici (Rodolfo Clerico / Rudy d’Alembert, Piero Fabbri / Piotr Rezierovic Silverbrahms, Francesca Ortenzio / Alice Riddle) sono autori della omonima e-zine di matematica ricreativa, pubblicata in rete dal 1999.
Alcuni problemi della stessa “famiglia” ricavati con l’aiuto della rete.
Pillai–Szekeres (proprietà P1):
in un intervallo di n numeri consecutivi esiste sempre un numero coprimo con tutti gli altri?
Questa è la proprietà P1.
Risultato noto:
per n ≤ 16 sempre sì;
per n = 17: no.
Esiste infatti l’intervallo: 2184, …, 2200 in cui ogni numero condivide un fattore primo con almeno un altro.
Nessun numero è universalmente coprimo.
Per blocchi di 17 o più interi consecutivi, la proprietà non è più garantita.
Esistono infiniti blocchi di 17 interi in cui nessun numero è coprimo con tutti gli altri.
Problema del minimo numero di coppie coprime in un sottoinsieme di interi consecutivi
(me lo sono inventato, poi ho chiesto in rete di aiutarmi ad analizzarlo):
per ogni intero positivo m, considero un insieme di 2m numeri interi consecutivi
(per esempio da 1 a 2m).
Tra tutti i possibili sottoinsiemi di esattamente m+1 elementi, sia f(m) il minimo numero di coppie di numeri primi tra loro (coprimi) che può esistere all’interno del sottoinsieme.
Determinare i valori di f(m) per ogni m.
Risultati ottenuti da verifiche computazionali:
per m = 1, 2, 3, 4, 5 → f(m) = 1
per m = 6, 7, 8, 9, 10 → f(m) = 2
per m = 11 → f(m) = 3
Esempi:
– m=4 (intervallo 98..105, sottoinsieme {98,100,102,104,105}) → unica coppia coprima (104,105)
– m=6 (intervallo 10..21, sottoinsieme {10,12,14,15,16,18,20}) → coppie (14,15) e (15,16)
– m=11 (intervallo 93..114, sottoinsieme {94,96,98,100,102,104,105,106,108,110,112,114}) → coppie (94,105), (104,105), (106,105).
Pare che f(m) cresca molto lentamente ma non ho trovato in rete indicazioni sul suo comportamento.
Un altro problema apparentemente lontano è la costruzione di sequenze di interi consecutivi senza numeri primi.
Si sa che se ne possono costruire di lunghezza arbitraria:
(n+1)! + 2, (n+1)! + 3, …, (n+1)! + (n+1) sono n numeri consecutivi tutti composti.
Il legame con il problema:
questo fatto mostra che la proprietà dei numeri consecutivi di essere coprimi è indipendente dalla primalità.
Anche in un lungo intervallo senza numeri primi, ci sono sempre coppie di numeri consecutivi che sono coprimi
(ad esempio, due numeri consecutivi, anche se composti, come 8 e 9, sono sempre coprimi).
La dimostrazione si generalizza come segue: per qualsiasi sequenza di 2m numeri interi consecutivi positivi, se si selezionano m+1 elementi, tra di essi esisterà sempre almeno una coppia di numeri primi tra loro (coprimi).
Questa proprietà si estende a qualsiasi sequenza di interi consecutivi, inclusi i casi in cui la sequenza sia composta interamente da numeri non primi (numeri composti, che è dimostrato ne esistono di qualsiasi lunghezza), poiché due numeri interi consecutivi sono sempre coprimi tra loro.
Lo so yop. Io comunque continuo a fare ciò che mi piace proprio perché mi piace.
Mi trovo bene in questo blog perché perché permette anche a me che sono un dilettante allo sbaraglio in matematica di poterci giocare un po’.
Anche se siamo in pochi possiamo comunque continuare a discutere fra di noi.
… Poi, vista la qualità di altri blog molto seguiti, dove la maggior parte dei post sono di insulti o affermazioni senza senso direi che è meglio pochi ma buoni.
Assolutamente. Mescolare la matematica (e la scienza in generale) con la politica e l’etica mainstream produce effetti deprimenti: le scienze sono oggettive, quello che uno pensa degli USA o della Russia (per dire) sono affari suoi, e come tu ricordi il web sovrabbonda di luoghi dove i tifosi esprimono le loro opinioni in forme più o meno sgangherate.
La Verità rivelata non ce l’ha in mano nessuno, neppure gli “intelligentissimi” matematici, anzi, soprattutto loro dovrebbero evitare di confondere l’intelligenza con la cultura: l’una non implica l’altra, e vice-versa.
A yop:
devo confessare che, ora, grazie all’IA, riguardo ai programmi mi faccio aiutare, proponendo, però, prima come li avrei impostati io, e verificando, poi, il codice.
Devo dire che, almeno, riguardo alla stesura di programmi, l’IA è molto potente, e avendo lavorato come programmatore capisco che questo tipo di lavoro rischia di essere molto meno richiesto
(i programmi che ottengo sono quasi sempre più performanti e semplici di quelli che riesco a codificare).
Riguardo al problema in ho trovato in rete un aneddoto che lo riguarda, riporto fedelmente quanto leggo:
”
Erdős era solito proporre a giovani talenti un problema che suonava più o meno così: “Prendi 51 numeri qualsiasi tra 1 e 100.
Perché almeno due di essi sono sempre primi tra loro?”
Il ragazzo, Pósa, trovò immediatamente la soluzione, ovvero accoppiare i numeri consecutivi (1,2), (3,4) … e applicare il Principio dei Cassetti.
La storia è così celebre che nella letteratura matematica questo viene spesso chiamato il “Problema di Pósa”.
”
Io avevo tentato una dimostrazione complicata e incompleta che non ho postato dopo aver letto quella ufficiale.
Faceva pressappoco così:
L’obiettivo è dimostrare che, scegliendo 51 numeri distinti tra 1 e 100, è impossibile evitare che almeno due siano primi tra loro (coprimi).
Supponiamo per assurdo di voler costruire un insieme di 51 numeri che non contenga alcuna coppia coprima.
Per riuscirci dobbiamo fare in modo che ogni nuovo numero scelto abbia sempre almeno un fattore primo in comune con tutti quelli già presenti.
La situazione più favorevole possibile è scegliere tutti i numeri pari, perché condividono sempre almeno il fattore 2.
Tra 1 e 100 esistono esattamente 50 numeri pari.
Se scegliamo tutti e 50 i numeri pari, nessuna coppia di essi è coprima, perché ogni coppia ha almeno il divisore comune 2.
Ma ora dobbiamo aggiungere un 51° numero.
Poiché tutti i numeri pari sono già stati usati, questo numero deve necessariamente essere dispari.
Qui nasce il problema.
Osserviamo innanzitutto che un numero primo dispari maggiore o uguale a 53 non può comparire nell’insieme.
Infatti, se p è un primo dispari con p >= 53, nessun numero pari tra 1 e 100 può essere multiplo di p, perché 2p > 100.
Quindi p sarebbe automaticamente coprimo con qualsiasi numero pari dell’insieme, rendendo impossibile evitare una coppia coprima.
Di conseguenza, eventuali fattori primi dispari possono appartenere solo ai 14 primi minori di 53:
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
Tuttavia, tra i 50 numeri pari scelti ci sono anche le potenze pure di 2:
2, 4, 8, 16, 32, 64
Questi numeri hanno una proprietà fondamentale: il loro unico fattore primo è il 2.
Un numero dispari, invece, non può essere divisibile per 2.
Di conseguenza, il 51° numero dispari non può avere alcun fattore primo in comune con 2, 4, 8, 16, 32 e 64.
Quindi esso risulta coprimo con tutte queste potenze di 2.
Questo rende impossibile aggiungere un 51° numero senza creare almeno una coppia di numeri coprimi.
Pertanto, ogni insieme di 51 numeri distinti scelti tra 1 e 100 contiene sempre almeno due numeri primi tra loro.
valter, io non ce l’ho con te assolutamente figurati (e con quale autorità potrei permettermelo?), solamente ti ho preso come paradigma anche perché sei l’unico che si presenta qui: il tuo impegno e la tua passione sono ammirabboli ed encomiabboli.
Il mio è uno sconsolato lamento, futile quanto inutile, sul tempo che fu e che più non tornerà: l’entropia! 🙂 Ciao!
Ho evocato Riemann: RIEMAANN, RIEEMAAAAANNNH! cantami, o divo, dell’ira funesta del numero primo che infiniti dolori inflisse ai 51! (NON il fattoriale di 51, selbverständlich)
Arriva il sor valter: “Sempre se non mi sbaglio, correggetemi se sbaglio perché probabilmente mi sbaglio, non sono un matematico e non m’intendo di matematica, ma ci tengo comunque a dire la mia pure rischiando di sbagliarmi, avrei implementato una breve risposta basata su 17’000 linee di istruzioni in FORTRAN IV che allego qui per la gioia di grandi e piccini.”
Dick Parry è morto oggi, l’entropia non è un’opinione. Tutto si sfascia e d3compone, pure quello che era un tempo il salotto stimolante et maraviglioso dei Nostri su LS, è finito dentro un ambiente frammentato e privo di carisma dove banalmente ci si compiace per un assurdo quanto inutile boicottaggio matematico di stolidi burattini matematici imbeccati dai soliti noti, agli Stati Uniti perché c’è Trump, manco fosse Adolf Hitler, in un mondo altrimenti da fiaba.
Cari Rudi, meritate di meglio, di moltissimo meglissimo, ma così è.
Grazie per sempre dal vostro yopenzo, semp3r fidelis.
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Alcuni problemi della stessa “famiglia” ricavati con l’aiuto della rete.
Pillai–Szekeres (proprietà P1):
in un intervallo di n numeri consecutivi esiste sempre un numero coprimo con tutti gli altri?
Questa è la proprietà P1.
Risultato noto:
per n ≤ 16 sempre sì;
per n = 17: no.
Esiste infatti l’intervallo: 2184, …, 2200 in cui ogni numero condivide un fattore primo con almeno un altro.
Nessun numero è universalmente coprimo.
Per blocchi di 17 o più interi consecutivi, la proprietà non è più garantita.
Esistono infiniti blocchi di 17 interi in cui nessun numero è coprimo con tutti gli altri.
Problema del minimo numero di coppie coprime in un sottoinsieme di interi consecutivi
(me lo sono inventato, poi ho chiesto in rete di aiutarmi ad analizzarlo):
per ogni intero positivo m, considero un insieme di 2m numeri interi consecutivi
(per esempio da 1 a 2m).
Tra tutti i possibili sottoinsiemi di esattamente m+1 elementi, sia f(m) il minimo numero di coppie di numeri primi tra loro (coprimi) che può esistere all’interno del sottoinsieme.
Determinare i valori di f(m) per ogni m.
Risultati ottenuti da verifiche computazionali:
per m = 1, 2, 3, 4, 5 → f(m) = 1
per m = 6, 7, 8, 9, 10 → f(m) = 2
per m = 11 → f(m) = 3
Esempi:
– m=4 (intervallo 98..105, sottoinsieme {98,100,102,104,105}) → unica coppia coprima (104,105)
– m=6 (intervallo 10..21, sottoinsieme {10,12,14,15,16,18,20}) → coppie (14,15) e (15,16)
– m=11 (intervallo 93..114, sottoinsieme {94,96,98,100,102,104,105,106,108,110,112,114}) → coppie (94,105), (104,105), (106,105).
Pare che f(m) cresca molto lentamente ma non ho trovato in rete indicazioni sul suo comportamento.
Un altro problema apparentemente lontano è la costruzione di sequenze di interi consecutivi senza numeri primi.
Si sa che se ne possono costruire di lunghezza arbitraria:
(n+1)! + 2, (n+1)! + 3, …, (n+1)! + (n+1) sono n numeri consecutivi tutti composti.
Il legame con il problema:
questo fatto mostra che la proprietà dei numeri consecutivi di essere coprimi è indipendente dalla primalità.
Anche in un lungo intervallo senza numeri primi, ci sono sempre coppie di numeri consecutivi che sono coprimi
(ad esempio, due numeri consecutivi, anche se composti, come 8 e 9, sono sempre coprimi).
La dimostrazione si generalizza come segue: per qualsiasi sequenza di 2m numeri interi consecutivi positivi, se si selezionano m+1 elementi, tra di essi esisterà sempre almeno una coppia di numeri primi tra loro (coprimi).
Questa proprietà si estende a qualsiasi sequenza di interi consecutivi, inclusi i casi in cui la sequenza sia composta interamente da numeri non primi (numeri composti, che è dimostrato ne esistono di qualsiasi lunghezza), poiché due numeri interi consecutivi sono sempre coprimi tra loro.
Lo so yop. Io comunque continuo a fare ciò che mi piace proprio perché mi piace.
Mi trovo bene in questo blog perché perché permette anche a me che sono un dilettante allo sbaraglio in matematica di poterci giocare un po’.
Anche se siamo in pochi possiamo comunque continuare a discutere fra di noi.
… Poi, vista la qualità di altri blog molto seguiti, dove la maggior parte dei post sono di insulti o affermazioni senza senso direi che è meglio pochi ma buoni.
Assolutamente. Mescolare la matematica (e la scienza in generale) con la politica e l’etica mainstream produce effetti deprimenti: le scienze sono oggettive, quello che uno pensa degli USA o della Russia (per dire) sono affari suoi, e come tu ricordi il web sovrabbonda di luoghi dove i tifosi esprimono le loro opinioni in forme più o meno sgangherate.
La Verità rivelata non ce l’ha in mano nessuno, neppure gli “intelligentissimi” matematici, anzi, soprattutto loro dovrebbero evitare di confondere l’intelligenza con la cultura: l’una non implica l’altra, e vice-versa.
A yop:
devo confessare che, ora, grazie all’IA, riguardo ai programmi mi faccio aiutare, proponendo, però, prima come li avrei impostati io, e verificando, poi, il codice.
Devo dire che, almeno, riguardo alla stesura di programmi, l’IA è molto potente, e avendo lavorato come programmatore capisco che questo tipo di lavoro rischia di essere molto meno richiesto
(i programmi che ottengo sono quasi sempre più performanti e semplici di quelli che riesco a codificare).
Riguardo al problema in ho trovato in rete un aneddoto che lo riguarda, riporto fedelmente quanto leggo:
”
Erdős era solito proporre a giovani talenti un problema che suonava più o meno così: “Prendi 51 numeri qualsiasi tra 1 e 100.
Perché almeno due di essi sono sempre primi tra loro?”
Il ragazzo, Pósa, trovò immediatamente la soluzione, ovvero accoppiare i numeri consecutivi (1,2), (3,4) … e applicare il Principio dei Cassetti.
La storia è così celebre che nella letteratura matematica questo viene spesso chiamato il “Problema di Pósa”.
”
Io avevo tentato una dimostrazione complicata e incompleta che non ho postato dopo aver letto quella ufficiale.
Faceva pressappoco così:
L’obiettivo è dimostrare che, scegliendo 51 numeri distinti tra 1 e 100, è impossibile evitare che almeno due siano primi tra loro (coprimi).
Supponiamo per assurdo di voler costruire un insieme di 51 numeri che non contenga alcuna coppia coprima.
Per riuscirci dobbiamo fare in modo che ogni nuovo numero scelto abbia sempre almeno un fattore primo in comune con tutti quelli già presenti.
La situazione più favorevole possibile è scegliere tutti i numeri pari, perché condividono sempre almeno il fattore 2.
Tra 1 e 100 esistono esattamente 50 numeri pari.
Se scegliamo tutti e 50 i numeri pari, nessuna coppia di essi è coprima, perché ogni coppia ha almeno il divisore comune 2.
Ma ora dobbiamo aggiungere un 51° numero.
Poiché tutti i numeri pari sono già stati usati, questo numero deve necessariamente essere dispari.
Qui nasce il problema.
Osserviamo innanzitutto che un numero primo dispari maggiore o uguale a 53 non può comparire nell’insieme.
Infatti, se p è un primo dispari con p >= 53, nessun numero pari tra 1 e 100 può essere multiplo di p, perché 2p > 100.
Quindi p sarebbe automaticamente coprimo con qualsiasi numero pari dell’insieme, rendendo impossibile evitare una coppia coprima.
Di conseguenza, eventuali fattori primi dispari possono appartenere solo ai 14 primi minori di 53:
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
Tuttavia, tra i 50 numeri pari scelti ci sono anche le potenze pure di 2:
2, 4, 8, 16, 32, 64
Questi numeri hanno una proprietà fondamentale: il loro unico fattore primo è il 2.
Un numero dispari, invece, non può essere divisibile per 2.
Di conseguenza, il 51° numero dispari non può avere alcun fattore primo in comune con 2, 4, 8, 16, 32 e 64.
Quindi esso risulta coprimo con tutte queste potenze di 2.
Questo rende impossibile aggiungere un 51° numero senza creare almeno una coppia di numeri coprimi.
Pertanto, ogni insieme di 51 numeri distinti scelti tra 1 e 100 contiene sempre almeno due numeri primi tra loro.
valter, io non ce l’ho con te assolutamente figurati (e con quale autorità potrei permettermelo?), solamente ti ho preso come paradigma anche perché sei l’unico che si presenta qui: il tuo impegno e la tua passione sono ammirabboli ed encomiabboli.
Il mio è uno sconsolato lamento, futile quanto inutile, sul tempo che fu e che più non tornerà: l’entropia! 🙂 Ciao!
Ho evocato Riemann: RIEMAANN, RIEEMAAAAANNNH! cantami, o divo, dell’ira funesta del numero primo che infiniti dolori inflisse ai 51! (NON il fattoriale di 51, selbverständlich)
Arriva il sor valter: “Sempre se non mi sbaglio, correggetemi se sbaglio perché probabilmente mi sbaglio, non sono un matematico e non m’intendo di matematica, ma ci tengo comunque a dire la mia pure rischiando di sbagliarmi, avrei implementato una breve risposta basata su 17’000 linee di istruzioni in FORTRAN IV che allego qui per la gioia di grandi e piccini.”
Dick Parry è morto oggi, l’entropia non è un’opinione. Tutto si sfascia e d3compone, pure quello che era un tempo il salotto stimolante et maraviglioso dei Nostri su LS, è finito dentro un ambiente frammentato e privo di carisma dove banalmente ci si compiace per un assurdo quanto inutile boicottaggio matematico di stolidi burattini matematici imbeccati dai soliti noti, agli Stati Uniti perché c’è Trump, manco fosse Adolf Hitler, in un mondo altrimenti da fiaba.
Cari Rudi, meritate di meglio, di moltissimo meglissimo, ma così è.
Grazie per sempre dal vostro yopenzo, semp3r fidelis.