Un preprint di pochi giorni fa dimostra un teorema che sembra indicare una nuova strada per la soluzione di una importante congettura in teoria dei numeri. L’autore è Yitang Zhang che pochi anni fa aveva stupito il mondo con un altro risultato stupefacente sui numeri primi. Alessandro Zaccagnini commenta questo annuncio.

Una decina di anni fa c’è stato un rapidissimo progresso verso la soluzione di uno dei problemi classici della Teoria Analitica dei Numeri, il settore della matematica che studia la distribuzione dei numeri primi: ne ho parlato qui su MaddMaths!^{[1 ]}A. Zaccagnini, Il cerchio si stringe intorno ai primi “gemelli”. Si tratta della famosa congettura dei primi gemelli: è vero o no, come sembra evidente sperimentalmente, che esistono infinite coppie di numeri primi come 11 e 13, oppure 101 e 103, che distano esattamente 2? Le tavole dei numeri primi fanno ritenere che questa affermazione sia vera, ma non è ancora, purtroppo, un teorema.

Tra i tanti protagonisti della lunga storia del progresso verso la dimostrazione, che ancora non c’è, abbiamo citato Yitang Zhang, al quale dobbiamo un decisivo passo avanti: Zhang infatti ha dimostrato che esistono infinite coppie di primi la cui distanza non supera 70 milioni. A prima vista non sembra una cosa molto interessante, ma è stato un risultato atteso decenni, e quando è stato pubblicato c’era molto ottimismo sulla possibilità di ridurre, in tempi brevi, il numero di 70 milioni.

Non vogliamo qui ripercorrere tutte le tappe: ci limitiamo a ricordare che nell’estate del 2022 sono state attribuite le Medaglie Fields: una di queste è stata assegnata a James Maynard e nella motivazione del Comitato, tra le tante cose è stato citato proprio il suo lavoro verso la soluzione di questo problema; ne abbiamo parlato qui. Per la precisione, Maynard ha dimostrato che esistono infinite coppie di numeri primi la cui distanza non supera 246, e ci sono ottime ragioni per pensare che questo numero sarà ridotto ulteriormente nel prossimo futuro.

Per spiegare il contesto del nuovo risultato che Zhang ha annunciato pochissimi giorni fa è necessario fare qualche passo indietro nella storia. Nel XVIII secolo Leonhard Euler utilizzò una certa funzione (quella che oggi, anacronisticamente, chiamiamo zeta di Riemann) per dimostrare in modo rivoluzionario un famoso teorema di Euclide: esistono infiniti numeri primi. Trovate la spiegazione dettagliata nella seconda puntata della serie ∃∞#P!^{[2 ]}A. Zaccagnini, ∃∞#p! La serie!, seconda puntata. Nei primi decenni del XIX secolo Pierre Lejeune Dirichlet estese il lavoro di Eulero introducendo una classe di funzioni, che oggi chiamiamo funzioni \(L\) di Dirichlet, per dimostrare che esistono infiniti numeri primi nelle progressioni aritmetiche. Un esempio molto familiare è questo: esaminando le tavole dei numeri primi vediamo che circa un quarto di questi hanno ultima cifra 1, un altro quarto hanno ultima cifra 3, e lo stesso per le cifre 7 o 9. Dirichlet ha dimostrato un risultato piú debole, e cioè che esistono infiniti numeri primi che terminano con ciascuna di queste cifre, ma non che i numeri primi siano suddivisi piuttosto equamente in queste quattro classi. Ne abbiamo parlato a proposito delle “corse dei numeri primi”^{[3 ]}A. Zaccagnini, Un giorno alle corse (dei numeri primi).

Per dimostrare che i numeri primi sono approssimativamente equidistribuiti nelle quattro classi 1, 3, 7, 9, le idee di Dirichlet non erano sufficienti, anche se lo strumento da lui introdotto si è rivelato decisivo, in questo come in altri problemi. Come è noto, è stato Georg Bernhard Riemann che, costruendo sulle ricerche di Eulero e Dirichlet, è riuscito a trovare la strada per dimostrare, tra le altre cose, anche questo fatto.

In particolare Riemann ha scoperto una stupefacente connessione fra la distribuzione dei numeri primi e la posizione degli zeri complessi della funzione zeta. Questa connessione dice, quantitativamente, che la posizione degli zeri influenza la bontà delle formule che “contano” i numeri primi, e viceversa! Riemann ha anche formulato la congettura che oggi porta il suo nome: ne abbiamo dato una versione relativamente semplice in Una versione elementare della Congettura di Riemann^{[4 ]}A. Zaccagnini, Una versione elementare della Congettura di Riemann, e ne abbiamo parlato di nuovo in L’Ipotesi di Riemann compie 160 anni^{[5 ]}A. Zaccagnini, L’Ipotesi di Riemann compie 160 anni. La connessione citata prima, abbinata alla Congettura di Riemann, implica che le formule che “contano” i numeri primi sono piuttosto accurate.

Le funzioni \(L\) di Dirichlet hanno molte proprietà comuni alla funzione zeta, e anche per loro è stata formulata una Congettura, detta Congettura di Riemann Generalizzata. L’enunciato esatto richiede una lunga sequenza di definizioni tecniche, ma la cosa piú importante per noi è che la connessione trovata da Riemann tra la posizione degli zeri della funzione zeta e le formule per i numeri primi vale anche, mutatis mutandis, fra la posizione degli zeri delle funzioni \(L\) e le formule per i numeri primi nelle progressioni aritmetiche.

Purtroppo, i problemi che si incontrano a studiare da vicino gli zeri della funzione zeta si incontrano, moltiplicati, anche per le funzioni \(L\). Per esempio, è abbastanza facile dimostrare che la funzione zeta non si annulla sul segmento aperto \((0, 1)\), mentre a tutt’oggi non si sa se questa affermazione sia vera per tutte le funzioni \(L\) di Dirichlet. Nell’insieme infinito delle funzioni \(L\) potrebbero esserci delle funzioni “eccezionali” che si annullano su questo segmento. La situazione è vermente paradossale: nessuno pensa che esistano queste funzioni eccezionali, e si può dimostrare che se esistono sono rarissime in un senso quantitativo ben preciso, ma allo stato attuale delle conoscenze non si può escludere che esistano davvero.

Il motivo per cui sarebbe importante dimostrare che queste funzioni eccezionali in realtà non esistono è che la presenza di questo “zero” sul segmento \((0, 1)\) ha un effetto che possiamo solo definire nefasto sulle formule che “contano” i numeri primi nelle progressioni per via della connessione scoperta da Riemann per la funzione zeta e che è valida, come dicevamo, anche per le funzioni \(L\). Dunque, dimostrare che queste funzioni “eccezionali” non possono esistere avrebbe importanti conseguenze sulle versioni quantitative dei risultati che abbiamo enunciato sopra qualitativamente.

Il teorema annunciato da Zhang qualche giorno fa^{[6 ]}Yitang Zhang, Discrete mean estimates and the Landau-Siegel zero, Arxiv preprint https://arxiv.org/abs/2211.02515, 2022 è il primo passo in questa direzione da circa un secolo. Lo “zero di Landau-Siegel” del titolo è il possibile punto di annullamento di qualche funzione \(L\) sul segmento \((0, 1)\). Zhang non ha dimostrato che questo zero non può esistere, ma il suo teorema fa fare un grosso balzo in avanti alle nostre conoscenze sui numeri primi nelle progressioni aritmetiche, e non solo.

Il motivo di tanto interesse fra i matematici che si occupano di teoria dei numeri primi è per l’effetto domino che il risultato di Zhang avrà sulle tante possibili applicazioni in molti problemi aperti. Teniamo le dita incrociate fino a quando sarà verificato al di là di ogni possibile dubbio.

Alessandro Zaccagnini

Immagine di copertina: il matematico e teorico dei numeri Yitang Zhang. Credit: George Csicsery/Zala Films

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