Pochi mesi fa Jared Lichtman ha pubblicato una dimostrazione di una congettura di Erdős su Arxiv. Alessandro Zaccagnini ci racconta di cosa si tratta. 

In un momento di ozio mi sono fatto questa domanda: fra tutti i possibili titoli per un articolo di matematica, qual è quello che fornisce la minima quantità di informazione possibile a proposito del contenuto? La mia risposta è proprio il titolo di questo articolo e non mi sono certo lasciato scappare la ghiotta occasione di utilizzarlo. Un titolo piú appropriato sarebbe “Soluzione di un problema di Erdős,” ma in questo caso avrei dato qualche informazione, vista la rarità di queste soluzioni. Per la cronaca, un articolo con il titolo “On a problem of Erdős” è stato effettivamente pubblicato nel 2013 sul “Ramanujan Journal.”

Pál Erdős è stato un matematico molto prolifico: la sua produzione può essere paragonata solo a quella di Eulero; ha pubblicato oltre mille e quattrocento articoli ed ha avuto centinaia di collaboratori scientifici. Amava molto porre problemi apparentemente semplici, ma sempre molto profondi e sottili, sui numeri interi e in particolare sui numeri primi. La soluzione di uno dei suoi problemi fa sempre notizia e spesso rappresenta una pietra miliare della matematica: celebriamo un altro passo avanti con questa nota.

Chi legge i miei articoli sa che mi piace studiare i numeri primi e che per me la moltiplicazione è la piú interessante fra le operazioni elementari^{[1 ]}Alessandro Zaccagnini, 2020. “Operazioni: Elementari, Ma Non Troppo!” Sito Web MaddMaths! https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/focus/operazioni-elementari/. Qui ci occupiamo di insiemi di interi positivi con particolari vincoli moltiplicativi. Con questo intendiamo dire una cosa del genere: se pensiamo all’insieme dei quadrati perfetti \(Q\), il prodotto di due elementi qualsiasi di \(Q\) è ancora un elemento di \(Q\). Se pensiamo all’insieme delle potenze di 2 o all’insieme dei numeri fattoriali, ogni elemento divide tutti gli elementi piú grandi e a sua volta è multiplo degli elementi piú piccoli.

Il problema proposto da Erdős, e risolto molto recentemente, in un certo senso è all’estremo opposto: ci interessano insiemi \(A\) di interi positivi con la proprietà che nessun elemento è multiplo di nessun altro elemento. L’insieme di tutti i numeri primi \(\mathcal{P}\) ha questa proprietà, e ci torneremo su. Per brevità, chiameremo primitivi gli insiemi di questo tipo.

Non è difficile costruire altri insiemi primitivi: per esempio, l’insieme dei numeri interi 101, 102, 103, 104, …, 200, 201, ha la proprietà richiesta; se prendiamo due interi distinti di questo elenco il quoziente fra il piú grande e il piú piccolo vale sempre 1, e il resto è la differenza, che è diversa da 0. Analogamente, gli interi fra \(N + 1\) e \(2 N + 1\) costituiscono un insieme primitivo, qualunque sia l’intero positivo \(N\). Oltre all’insieme di tutti i numeri primi, anche l’insieme dei numeri che hanno esattamente 2 fattori primi (o \(k\), con \(k\) fissato) è primitivo.

Prima di enunciare il problema di Erdős, osserviamo che a parte il caso banale in cui \(A = \{ 1 \}\), per un insieme primitivo siamo sicuri che \(1 \notin A\). D’ora in poi restringeremo la definizione di insieme primitivo, escludendo il caso in cui \(A = \{ 1 \}\): presto vedremo perché questa esclusione è necessaria.

Erdős ha avuto l’idea di associare ad ogni insieme \(A\) primitivo una quantità in cui si “pesano” in modo diverso gli elementi di \(A\): piú precisamente, all’insieme \(A\) associamo la funziona \[f(A) = \sum_{n \in A} \frac1{n \log(n)}.\] Recentemente, proprio qui su MaddMaths!, ho parlato di un problema di Chowla in cui si introducono somme pesate di questo tipo: rimando i lettori all’articolo^{[2 ]}Alessandro Zaccagnini, 2022. “Grafi E Numeri Primi.” Sito Web MaddMaths! https://maddmaths.simai.eu/ricerca/grafi-e-numeri-primi/ per qualche approfondimento.

Erdős ha anche dimostrato che esiste un numero reale \(X\) sufficientemente grande per cui \(f(A) \le X\) per ogni insieme primitivo \(A\). L’ipotesi che \(A\) sia primitivo è indispensabile: se potessimo prendere \(A = \{2, 3, 4, \dots \}\) avremmo \(f(A) = +\infty\) come si vede usando il criterio integrale per le serie ricordato nel mio articolo appena citato.

La soluzione del problema di Erdős a cui abbiamo accennato sopra riguarda proprio la determinazione del valore esatto di \(X\). Erdős ha congetturato che \[f(A) \le f(\mathcal{P}) \approx 1.6366\dots\] qualunque sia \(A\); in altre parole, l’insieme dei valori assunti da \(f(A)\) quando \(A\) è primitivo avrebbe un valore massimo e, inoltre, questo valore massimo sarebbe assunto proprio sull’insieme dei numeri primi \(\mathcal{P}\).

In effetti, il valore ottimale di \(X\), per definizione, è \[X_0 = \sup\{ f(A) \colon A \text{ è primitivo} \},\] dove l’estremo superiore è fatto su tutti gli insiemi primitivi \(A\). Per il Teorema di Erdős ricordato prima sappiamo che \(X_0\) è finito, ma non è assolutamente evidente che questo estremo superiore sia proprio un massimo, cioè che esista un certo insieme \(A\) per cui \(f(A) = X_0\). Vediamo perché. Se prendiamo un qualunque insieme primitivo finito \(A\), è possibile “estenderlo” ad un insieme piú grande \(B\) con la stessa proprietà, riciclando la dimostrazione di Euclide che esistono infiniti numeri primi. Consideriamo \[n = 1 + a_1 \cdot a_2 \cdots a_k\] dove \(a_1\), …, \(a_k\) sono tutti gli elementi di \(A\). L’insieme \(B = A \cup \{ n \}\) ha ancora la proprietà richiesta, perché \(n\) è maggiore di ciascun elemento di \(A\) e per costruzione non è divisibile per nessun elemento di \(A\). Dunque \[f(B) = f(A \cup \{ n \}) = f(A) + \frac1{n \log(n)} > f(A).\] In definitiva, per nessun insieme finito \(A\) può accadere che \(f(A) = X_0\). Nell’esempio dato qui sopra in cui \(A = \{ 101, \dots, 201 \}\) il numero \(n\) che costruiamo in questo modo ha 220 cifre decimali e la quantità \(1 / (n \log(n))\) vale circa \(10^{-222}\). Quindi \(f(A)\) è piú piccolo di \(f(A \cup \{ n \})\), come detto, ma la differenza è veramente minuscola.

Gli insiemi citati sopra, come i numeri primi o in generale i numeri con esattamente \(k\) fattori primi, non sono invece estendibili in questo modo: se all’insieme dei numeri primi \(\mathcal{P}\) aggiungiamo un qualunque intero composto \(n > 1\), questo nuovo insieme non è piú primitivo perché \(n\) è divisibile per almeno un numero primo. Quindi, per un insieme primitivo infinito \(A\) può accadere che \(f(A) = X_0\): la congettura di Erdős è che \(X_0 = f(\mathcal{P})\).

In termini molto informali, tutti sanno che i numeri primi costituiscono un insieme molto speciale di numeri interi. La congettura di Erdős di cui stiamo parlando afferma che il valore massimo della funzione \(f\) è assunto proprio sull’insieme \(\mathcal{P}\), cioè che i numeri primi sono speciali anche da quest’altro punto di vista.

Negli ultimi anni ci sono stati diversi progressi. Erdős stesso e Z. Zhang hanno dimostrato nel 1993 che \(X_0 < 1.84\), mentre qualche anno fa Jared Lichtman & Carl Pomerance hanno dimostrato che \(X_0 \le e^\gamma \approx 1.78\), dove \(\gamma\) è la costante di Eulero-Mascheroni. Questo risultato è particolarmente importante perché la costante \(e^\gamma\) compare nella relazione asintotica \[\prod_{p \le N} \Bigl( 1 – \frac1p \Bigr)^{-1}
\sim e^\gamma \log(N),\] che è uno dei bellissimi teoremi di Franz Mertens di cui ho parlato anche in ^{[3 ]}Alessandro Zaccagnini, 2021. Dialogo Sui Numeri Primi — Un Dialogo Galileiano. Roma: I librini di MaddMaths! https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/zaccagnini-dialogo-ebook/.

Da ultimo, nel febbraio di quest’anno, Jared Lichtman ha pubblicato la sua dimostrazione della congettura di Erdős su Arxiv^{[4 ]}Jared Duker Lichtman, 2022. “A Proof of the Erdős Primitive Set Conjecture.” https://arxiv.org/abs/2202.02384 (Lichtman 2022), un sito che raccoglie oltre due milioni di articoli specialistici in molti campi scientifici e tecnici, e che tutti noi usiamo come bacheca elettronica per rendere noti i risultati delle nostre ricerche prima che questi vengano pubblicati ufficialmente sulle riviste specialistiche.

I metodi utilizzati da Lichtman per la sua dimostrazione sono del tutto elementari: con questo si intende che non si fa uso dell’analisi complessa o di altre tecniche sofisticate; la dimostrazione adatta con grandissimo ingegno risultati già noti come quello citato di Lichtman & Pomerance di qualche anno fa. Il prodotto di Mertens ricordato qui sopra gioca un ruolo fondamentale. La parola “elementare” non deve trarre in inganno, perché non vuol dire semplice. La parte piú difficile del lavoro di Lichtman è stato individuare il caso “critico,” quando \(A\) contiene numeri composti con fattori primi relativamente grandi; poi ha avuto bisogno di una nuova idea per trattare questo caso in modo adeguato. Alla fine, l’aspetto della dimostrazione può essere elementare, ma è come l’uovo di Colombo: bisogna pensarci.

Nella Teoria dei Numeri primi non mancano le dimostrazioni elementari che aspettano secoli prima di essere trovate: la mia favorita è la proprio l’intera “teoria” di Mertens, che parte da un uso particolarmente brillante della formula di Stirling e della scomposizione in fattori primi di \(N!\). Possibile che sia sfuggita del tutto ad Eulero e Gauss? Eppure è cosí.

Anche a me è successa una cosa simile, e per una volta parlo in prima persona. Qualche anno fa ho lavorato con il mio collega Alessandro Languasco ad una versione del Teorema di Mertens citato sopra, in cui i numeri primi sono vincolati a stare in una progressione aritmetica fissata. Al posto della costante \(e^\gamma\) c’è una quantità che dipende dalla particolare progressione aritmetica selezionata. Per esempio, a noi interessava studiare il prodotto fatto solo sui numeri primi che hanno come ultima cifra decimale il numero 7. Mentre stavamo controllando l’ultima versione dell’articolo^{[5 ]}Alessandro Languasco e Alessandro Zaccagnini, 2007. “A Note on Mertens’ Formula for Arithmetic Progressions.” J. Number Theory 127: 37–46., qualche giorno prima di spedirlo ad una rivista nella speranza che ce lo pubblicassero, ci siamo accorti che con poco sforzo potevamo dimostrare una formula molto semplice per la quantità dipendente dalla progressione aritmetica. Qualche tempo dopo abbiamo trovato una seconda dimostrazione della nostra formula, che si può condensare in due o tre righe. Nessuno se n’era accorto, prima di noi, ma quest’idea è stata lí per un secolo.

Chi cerca trova.

Alessandro Zaccagnini

Alessandro Zaccagnini