Negli ultimi giorni i casi di West Nile sono entrati nel dibattito pubblico. Assieme alle zanzare, vettori per il contagio. La matematica descrive il fenomeno con consigli e scelte di buon senso. Ce ne parla Marco Menale per La Lente Matematica.

L’estate 2025 comincia all’insegna di zanzare e West Nile. Si registrano diversi casi nel Lazio e non mancano in altre zone. Saranno ancora gli effetti psicologici degli anni del COVID-19, ma si comincia a notare una certa insofferenza. Al di là di questi aspetti, e delle problematiche del rapido flusso di opinioni, la matematica descrive con dei modelli l’evoluzione di un’epidemia quando il contagio non avviene per contatto tra esseri umani, ma tramite vettori, come la puntura di zanzara per il West Nile. E c’è anche qualche consiglio, forse trascurato dagli amministratori.

Il virus West Nile, o del Nilo occidentale, è un arbovirus trasmesso principalmente dalla zanzara comune, che prende così la scena rispetto alla più temuta zanzara tigre. Ci si contagia dopo essere stati punti da una zanzara infetta, la quale, a sua volta, si è contagiata in precedenza da un animale (non solo esseri umani) infetto. Pur essendo spesso asintomatica, l’infezione può provocare febbre, mal di testa e, nei casi più gravi, complicazioni neurologiche. In Italia è presente da quasi trent’anni, con casi ogni anno. La sua diffusione è favorita, oltre che dal proliferare di zanzare, dal clima mite e dalla presenza di uccelli come serbatoi naturali.

Passiamo alla matematica che descrive l’evoluzione di un’epidemia per mezzo di zanzare. Ci rifacciamo qui all’articolo “Analysis of a dengue disease transmission model” del 1998 di L. Esteva e C. Vargas. Anche se usato nell’ambito della Dengue, di cui abbiamo casi in Italia assieme alla Chikungunya, ben si adatta anche al West Nile. Malgrado qualche complicazione possiamo usare come termine di paragone i più classici modelli SIR e derivati.

Si divide la popolazione umana in \(2\) gruppi o compartimenti. Ci sono i suscettibili, \(S\), che possono infettarsi, e gli infetti, \(I\), che hanno contratto il virus. A questi si aggiungono le zanzare infette, \(I_V\). L’evoluzione dell’epidemia è descritta da un sistema di \(3\) equazioni differenziali ordinarie (per i dettagli matematici sulla riduzione dal sistema di partenza di \(5\) equazioni con anche le zanzare suscettibili, \(S_V\), si rimanda all’articolo):

\[
\begin{cases}
S’(t)=\lambda_H (1-S)-\beta \,SI_v\\\\
I’(t)=\beta \,SI_v-(\gamma+\lambda_H)I\\\\
I_V’=\alpha (1-I_V)I-\lambda_V I_V.
\end{cases}\]

Il parametro \(\beta\) modella la trasmissione del virus da zanzara infetta a suscettibile, mentre, \(\alpha\) la trasmissione da individuo infetto a zanzara. Il tasso di guarigione a seguito dell’infezione è \(\gamma\). Infine, \(\lambda_V\) e \(\lambda_H\) sono i tassi di mortalità di zanzare e umani. Per farla breve. La prima equazione descrive come gli umani suscettibili si infettano quando vengono punti. La seconda segue l’evoluzione degli infetti. La terza riguarda le zanzare infette.

Come per i modelli SIR, anche in questo caso si definisce un numero di riproduzione di base \(R_0\), dal quale dipende l’avvio o meno dell’epidemia. E la soglia magica è sempre \(1\). Sotto \(1\) si può star tranquilli. Sopra \(1\), l’epidemia si avvia ed eccoci con autan e camicie a maniche lunghe.

Dall’analisi matematica emergono spunti e consigli su come contenere l’epidemia. Il tutto sta in \(R_0\). Dal suo calcolo esplicito (a cui rimandiamo sempre all’articolo), il valore dipende dai parametri del sistema. Per ridurlo si può ridurre \(\beta\), ossia il tasso di contatto tra zanzare e persone. In questo caso ci sono zanzariere e repellenti. Oppure, si può aumentare la mortalità \(\lambda_V\) delle zanzare con azioni di disinfestazione e cura dei ristagni d’acqua. Certo, c’è anche \(\gamma\), ma ad ora non esistono cure specifiche per il West Nile. In definitiva, la soluzione più percorribile appare la seconda, con una cura da parte degli amministratori locali nel corso dell’anno degli spazi pubblici e non solo.

Questo è solo un modello matematico. Ce ne sono di più complessi che tengono conto anche della diffusione spaziale delle zanzare. Seppur con qualche semplificazione, già questo primo modello conferma matematicamente quelle che sarebbero scelte di buon senso.