La storia dei modelli matematici per la dinamica della popolazioni è una continua evoluzione. Ne arrivano dei nuovi per migliorare le criticità di altri. È il caso del modello di Beverton-Holt.

La dinamica delle popolazioni è una tematica di grande interesse per la modellistica matematica. Ripensare la gestione delle risorse, con \(8\) miliardi di abitanti affamati di cibo e, soprattutto, di energia è la sfida di questi anni. L’overshoot day, ossia il giorno in cui abbiamo esaurito le risorse offerte dalla Terra per l’anno in corso, cade con sempre più in anticipo, anno dopo anno. La matematica fornisce supporto per capire come evolve una popolazione ed entro quali limiti. Lo ha già fatto nel corso del tempo, con modelli sempre più innovativi e realistici, capaci di migliorare criticità di altri modelli, come successo con il modello di Beverton-Holt.

Questo nome è legato alle due persone che l’hanno pensato e messo su carta. Sono due britannici, considerati tra i fondatori della moderna scienza della pesca: Raymond John Heaphy Beverton e Sidney Holt. Il modello lo si trova nel libro del 1957 “On the Dynamics of Exploited Fish Populations” ed è stato sviluppato proprio studiando problemi di popolazioni ittiche e pescato.

Passiamo al modello, provando a ripercorrere (con un certo margine di incertezza) il ragionamento dei suoi ideatori.

Partono dal primo e, forse, più semplice modello di dinamica delle popolazioni: il modello di Malthus. Detta \(N_t\) la popolazione al tempo discreto \(t\), allora la popolazione al tempo \(t+1\) è

\[N_{t+1}=\lambda\, N_t,\]

dove \(\lambda \in \mathbb{R}\) è il tasso di crescita. In caso di crescita, ossia \(\lambda >1\), questo modello prevede una crescita esponenziale senza limiti dall’alto; dunque, su tempi lunghi è poco realistico. Invece, lo è su tempi brevi, quando la popolazione può crescere senza dar troppo conto a risorse e spazio. I problemi arrivano a un certo punto di questa crescita, quando risorse e spazio mettono dei limiti, e si comincia ad assistere a un rallentamento.

Beverton e Holt individuano nel parametro \(\lambda\) il problema del modello di Malthus. Risolvere il problema della crescita esponenziale significa cambiare questo parametro: non può essere costante, ma \(\lambda\) deve essere una funzione dipendente dal \(t\). Anzi, poiché è al raggiungimento di una certa taglia \(N(t)\) che la crescita è costretta a rallentare, i due suppongono \(\lambda\) dipendente dalla popolazione, \(N(t)\). Così riscrivono il modello di Malthus come

\[N_{t+1}=\lambda(N_t)\, N_t.\]

Che forma dare a \(\lambda_{N_t}\)? Osservano che è negativamente correlata a \(N(t)\); infatti, il suo valore è grande quando la popolazione è piccola, e viceversa. Da varie osservazioni arrivano alla scelta

\[\lambda(N_t)=\frac{\lambda}{1+a\,N_t},\]

dove \(\lambda\) e \(a\) sono costanti positive. In particolare, la prima rappresenta la massima crescita della popolazione; in un certo senso, gioca il ruolo della \(\lambda\) costante del modello di Malthus, che ben descrive la rapida crescita dei primi istanti. L’altra costante, la \(a\), è costitutiva della specie considerata. In definitiva, i due riscrivono il modello di Malthus come

\[N_{t+1}=\frac{\lambda}{1+a\,N_t}\, N_t.\]

Questo modello descrive un fenomeno di crescita, ma con un limite dall’alto dato dalla quantità

\[K=\frac{\lambda-1}{a}.\]

Questo ottenuto è quello che chiamiamo il modello di Beverton-Holt. È più efficace del modello di Malthus per descrivere l’evoluzione di una popolazione, rinunciando all’ipotesi semplificativa, ma poco realistica, di tasso di crescita costante. È così possibile tener conto dei limiti imposti dall’ambiente in termini di spazio e, soprattutto, risorse, risorse che restano comunque finite e dalle quali non si può prescindere.