La misura delle diseguaglianze fornisce informazioni per la comprensione di un fenomeno; succede in economica con la distribuzione della ricchezza. Ci sono vari indici per quantificare la disuguaglianza a partire da un insieme di dati. È il caso dell’indice di Theil. Ce ne parla Marco Menale.
Misurare le disuguaglianze è uno dei modi per comprendere un fenomeno, in vari contesti. I dati ISTAT 2023 sulla povertà in Italia confermano un aumento delle persone in condizione di povertà assoluta (circa \(5,6\) milioni) nel 2022 rispetto all’anno precedente. Tra le possibili cause ci sono l’inflazione e le conseguenze della pandemia. Inoltre, si riduce la fetta di popolazione che detiene la maggior parte della ricchezza. In sintesi: stanno aumentando le disuguaglianze e servono dei correttivi. Ecco perché misurare le disuguaglianze a partire dai dati è importante, e non solo in economia. Per farlo, oltre il ben più noto indice di Gini, possiamo usare l’indice di Theil.
L’indice di Theil deve il suo nome all’econometrista olandese Henri (Hans) Theil, professore alla Netherlands School of Economics e premiato con diversi riconoscimenti per i suoi studi in econometria.
Passiamo alla definizione dell’indice. Consideriamo la distribuzione della ricchezza in una popolazione di \(n\) individui. Sia \(x_i>0\), per \(i \in \{1, 2, \dots, n\}\), la ricchezza dell’individuo \(i\)esimo. L’indice di Theil \(T\) di questo insieme di dati si definisce come
\[T:= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{x_i}{\mu} \ln \left(\frac{x_i}{\mu}\right),\]
dove \(\mu\) è la media aritmetica
\[\mu= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.\]
Come l’indice di Gini, anche quello di Theil è limitato tra due valori. In particolare, in una situazione di massima uguaglianza, ossia quando gli individui hanno tutti la stessa ricchezza \(x_i=\mu\), allora \(T=0\). Dall’altro, in una situazione di massima disuguaglianza, un individuo detiene l’intera ricchezza \(n\mu\), allora \(T=\ln(n)\). In definitiva, più è vicino a \(0\) l’indice di Theil \(T\) più la ricchezza è distribuita uniformemente, mentre più si avvicina a \(\ln(n)\), più la società è diseguale.
Una delle differenze di quest’indice rispetto a quello di Gini è nel valore massimo.
Per capire quest’ultimo aspetto serve andare nel campo della teoria dell’informazione. Consideriamo il precedente insieme di \(n\) valori di ricchezza, \(\{x_1, x_2, \dots, x_n\}\). Si definisce su questi dati l’entropia \(S\), nel senso della teoria dell’informazione,
\[S:=\sum_{i=1}^n \frac{x_i}{n\mu}\ln \left(\frac{n\mu}{x_i}\right).\]
Questo valore rivela quanta informazione è contenuta nei dati. Senza troppi dettagli, più è grande l’entropia, meno informazioni ci sta dando quell’insieme di dati, come se fossero generati casualmente senza alcuna regolarità. Il valore massimo dell’entropia, cioè quando dai dati non si ricava alcuna informazione, è \(\ln(n)\): proprio il valore massimo dell’indice di Theil.
Come sono collegati questi due valori? Vale la relazione
\[T=\ln(n)-S.\]
Dunque, l’indice di Theil è anche una misura della distanza tra l’entropia \(S\) dell’insieme di dati considerato e la massima entropia teorica, \(\ln(n)\). Più è grande \(T\), più l’entropia \(S\) dei dati è lontana dal valore massimo, \(\ln(n)\), ossia quell’insieme di dati è molto informativo. Nel caso limite, se \(T=0\), allora l’entropia raggiunge il valore massimo: \(S=\ln(n)\). In questo caso gli individui hanno tutti la stessa ricchezza e sono indistinguibili tra loro.
In definitiva, due sono le peculiarità dell’indice di Theil. Da un lato, se applicato in ambito economico, misura quanto sia diseguale una società proprio come l’indice di Gini. Dall’altro, misura quanto i dati a disposizione siano informativi.
L’indice di Theil rientra nella più ampia classe dei generalized entropy index. Si tratta di indici, derivati dalla teoria dell’informazione, che misurano le disuguaglianze nei fenomeni, ciascuno con le proprie peculiarità. Perché, la misura delle disuguaglianze è uno dei modi per descrivere un fenomeno e capire, poi, come poter intervenire.
