Da quasi un secolo il modello Lotka-Volterra è uno dei più applicati ai problemi ecologici. Nel corso del tempo è stato modificato così da adattarsi a diversi scenari. È il caso del modello Lotka-Volterra competitivo. Ce ne parla Marco Menale.

I modelli matematici guardano anche ai problemi ecologici, come l’evoluzione di popolazioni di piante, animali, funghi e batteri all’interno di un ecosistema. Il più noto e utilizzato è il modello Lotka-Volterra o preda-predatore, sviluppato indipendentemente dall’americano Alfred James Lotka, nel 1925,  e dall’italiano Vito Volterra, nel 1926. Sebbene continui a essere utilizzato in diversi contesti, è stato arricchito e specializzato nel corso del tempo; è il caso di quello noto come modello Lotka-Volterra competitivo.

Il modello originale descrivere l’evoluzione di un sistema con prede e predatori. Sia, all’istante \(t>0\), \(x(t)\) il numero delle prede e \(y(t)\) quello dei predatori. L’evoluzione di queste due quantità è descritta dal seguente sistema di equazioni differenziali non-lineari del primo ordine:

\[
\begin{aligned}
x’(t)&=ax-bxy\\\\
y’(t)&=cxy-dy,
\end{aligned}
\]

dove \(a,\, b,\, c,\, d\) sono parametri positivi. In particolare, \(a\) e \(d\) descrivono l’evoluzione del numero di prede e predatori, rispettivamente, in assenza di interazione tra le specie, mentre \(b\) e \(c\) modellano proprio queste interazioni. In particolare, in assenza di predatori, ossia per \(y=0\), le prede crescono esponenzialmente, con legge malthusiana. Analogamente decrescono i predatori in assenza di prede, ossia per \(x=0\).

Ma cosa succede se le due specie competono per una stessa risorsa? A questa domanda risponde il modello Lotka-Volterra competitivo.

Siano \(x(t)\) e \(y(t)\) il numero di individui di due specie all’istante \(t>0\). A differenza del caso precedente, supponiamo che le due popolazioni abbiano crescita logistica nell’ambiente in cui si trovano, con tasso \(r_x\) e \(r_y\), rispettivamente. Inoltre, siano \(k_x\) e \(k_y\) le capacità portanti (carrying capacity, in inglese) delle due popolazioni, ossia il massimo numeri di individui che ciascuna può raggiungere rispetto alle risorse dell’ambiente, che sono sempre finite. In questo schema, le due popolazioni, in assenza di competizione, evolvono secondo le due logistiche

\[
\begin{aligned}
x’(t)&=r_x x\left(1-\frac{x}{k_x}\right)\\\\
y’(t)&=r_y y\left(1-\frac{y}{k_y}\right).
\end{aligned}
\]

Per ottenere il modello Lotka-Volterra competitivo si aggiunge alle precedenti logistiche l’interazione competitiva tra le specie, arrivando così al nuovo sistema di due equazioni differenziali non-lineari del primo ordine:

\[
\begin{aligned}
x’(t)&=r_x x\left(1-\frac{x+a_{xy}y}{k_x}\right)\\\\
y’(t)&=r_y y\left(1-\frac{y+a_{yx}x}{k_y}\right),
\end{aligned}
\]

dove \(a_{xy}\) e \(a_{yx}\) sono i parametri positivi di interazione tra le specie. In particolare, \(a_{xy}\) rappresenta l’effetto della presenza della seconda specie sull’evoluzione della prima, mentre \(a_{yx}\) quello della prima sull’evoluzione della seconda.

Il modello Lotka-Volterra competitivo può essere esteso anche a sistemi con più di \(3\) popolazioni. Ha svariate applicazioni, anche oltre l’ecologica, ad esempio nell’industria per analizzare e prevedere la diffusione di TV e smartphone di diversi produttori. Tuttavia, non è l’unico aggiornamento fatto al modello originale in quasi cent’anni di storia. Ce ne sono anche altri, più generali e con più termini, così da modellare problemi ecologici sempre più complessi.