In uno studio pubblicato di recente da Physical Review Letters, Water Affects Morphogenesis of Growing Aquatic Plant Leaves, di Fan Xu, Chenbo Fu, e Yifan Yang della Fudan University di Shanghai, è stato dimostrato come la forma di diverse varietà di foglie acquatiche sia principalmente controllata dalla geometria di contatto con il bacino d’acqua sottostante. Vi proponiamo un approfondimento di Pasquale Ciarletta del Politecnico di Milano. 

In questo articolo i ricercatori cinesi raccontano come hanno effettuato delle misure sperimentali per caratterizzare l’arricciamento, le increspature e le dimensioni di varie specie di foglie, dalle foglie di loto alle ninfee, quantificandone la morfologia con degli indicatori geometrici. I dati sono stati poi confrontati con le previsioni di un modello matematico dimostrando uno stupefacente accordo fra l’analisi matematica e la realtà. In pratica, le foglie cresciute a contatto con l’acqua hanno la forte tendenza ad arricciarsi alle estremità radiale per effetto del confinamento spaziale e dell’assorbimento di liquido dal basso, mentre le foglie in sospensione tendono a sviluppare delle forme coniche con ondulazioni più grandi, seguendo l’angolo di più intensa irradiazione solare.

L’interpretazione matematica del fenomeno si basa un modello che avevo sviluppato nel 2008 in collaborazione con dei colleghi dell’Ecole Normale Superieure di Parigi^{[1 ]}Julien Dervaux, Pasquale Ciarletta, Martine Ben Amar, Morphogenesis of thin hyperelastic plates: A constitutive theory of biological growth in the Föppl–von Kármán limit, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, Volume 57, Issue 3, March 2009, Pages 458-471. All’epoca volevamo comprendere la natura matematica delle differenti morfologie osservate su alghe e funghi a differenti stadi della loro crescita. Siamo così partiti da una semplificazione geometrica che deriva dal piccolo spessore di questi organismi. Una riduzione geometrica permette di considerarli come delle superfici bidimensionali dotate di una energia elastica che è somma di due termini, un’energia di allungamento ed una di piegatura. La prima è dell’ordine dello spessore dell’oggetto per il modulo elastico del materiale, e descrive il contributo energetico necessario a variare la distanza fra due punti qualsiasi sulla superficie. La seconda scala invece come il cubo dello spessore, e descrive il contributo energetico necessario per “piegare” la superficie, ovvero per cambiare il raggio di curvatura locale in ogni suo punto. In una situazione in cui lo spessore dell’oggetto è molto piccolo rispetto alla sua lunghezza, l’energia di allungamento è dunque prevalente. Può dunque emergere una morfologia arricciata che minimizza l’energia elastica totale, annullando l’energia di allungamento pur realizzando una certa piegatura nello spazio, che risulta energeticamente poco costosa.

Diversa forme di foglie cresciute a contatto (sinistra) od in sospensione (destra) rispetto ad un bacino d’acqua (Credits F. Xu, Fudan University)

Il motore di questo cambio di morfologia è la crescita biologica, che può avvenire per assorbimento di acqua e per irradiazione solare. A contatto con l’acqua o sotto un angolo più favorevole di irradiazione, le cellule eucariote si moltiplicano più velocemente di quelle vicine, causando un ingrossamento locale dell’organismo che è però ostruito dalle cellule meno proliferative che li circondano. Questo confinamento spaziale genera quindi una frustrazione geometrica che diventa incompatibile con la una superficie piatta. In termini matematici, una tale crescita può imporre una metrica naturale della superficie non più euclidea.

Applicando il principio di minimizzazione di energia ad un tale sistema biologico in crescita, si arriva a formulare una generalizzazione delle cosiddette equazioni di Foppl–von Karman, note da più di un secolo per descrivere la flessione di piastre elastiche sotto carichi esterni. La presenza della crescita fa nascere dei termini supplementari rispetto alla teoria classica, ai quali si riesce a dare un’interpretazione geometrica di curvature spontanee indotte.

Per oggetti di piccolo spessore come le foglie acquatiche, si riesce infine ad operare una ulteriore semplificazione che porta ad una equazione differenziale detta di Monge-Ampére, la cui soluzione descrive la morfologia della foglia cresciuta. A dimostrazione dell’ubiquità di alcune equazioni fisico-matematiche nel mondo che ci circonda, l’equazione di Monge-Ampére è il cardine della teoria di trasporto ottimale, che consiste nello studio del modo più efficace di trasferire una distribuzione di massa da un luogo all’altro. La morfologia finale di queste foglie riflette in sé la storia di come sono cresciute.

Questa studio ci conferma che la forma degli oggetti viventi non è dettata solo da fattori genetici o biochimici, ma può emergere come uno schema matematico ottimale che dipende dai fattori epigenetici, in questo caso geometrici e meccanici, che influenzano la crescita di un qualsiasi organismo e le sue interazioni con l’ambiente circostante.

Pasquale Ciarletta

Roberto Natalini

Roberto Natalini [coordinatore del sito] Matematico applicato. Dirigo l’Istituto per le Applicazioni del Calcolo del Cnr e faccio comunicazione con MaddMaths! e Comics&Science.