Nell’anno accademico 2015/16 presso l’Università di Roma Tre  si è svolta la Scuola Astre. L’Alta Scuola Roma Tre (ASTRE) fa parte delle scuole superiori universitarie finanziate dal MIUR. Si tratta di una scuola biennale interdisciplinare: ASTRE riunisce studenti di tutti i corsi di laurea di Roma Tre, professori di Roma Tre e professori, italiani o stranieri, di chiara fama internazionale. Gli studenti, in numero di 40 per biennio, sono scelti, a seguito di domanda di ammissione e per selezione di merito, tra gli iscritti al primo anno dei corsi di laurea magistrale o al quarto dei corsi di laurea quinquennale. Gli studenti di ASTRE partecipano alle iniziative didattiche e scientifiche della Scuola. Ad essi è richiesto un impegno didattico supplementare in aula pari a circa cinquanta ore di lezioni per anno. Gli studenti ammessi alla Scuola ricevono una borsa di studio. Essi inoltre usufruiscono, nel corso del biennio, di diverse facilitazioni, nell’uso delle strutture di Roma Tre, che possano loro permettere un proficuo svolgimento degli studi supplementari a loro richiesti. All’interno di un corso di matematica la prova di esame consisteva nell’elaborazione di alcuni testi scritti a partire dal materiale proposto nel corso. I cinque migliori elaborati avevano la possibilità di essere pubblicati su MaddMaths!. Presentiamo il terzo elaborato, proposto da Andrea Renzi, del corso di laurea in GIURISPRUDENZA.

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Nell’era della specializzazione, sempre più è necessaria la collaborazione tra più materie. In questo assurdo paradosso dei nuovi secoli, la matematica la fa da padrona, ponendosi come interfaccia per una pluralità di discipline.

Tipico esempio di questa situazione è la cosiddetta “Teoria dei giochi”, la quale vuole analizzare le scelte individuali che gli individui compirebbero in situazioni di conflitto e di interazione strategica con altri soggetti rivali finalizzate al massimo guadagno di ciascun soggetto. Tenendo quindi in considerazione delle scelte singolari prese e decidendo, quindi, di conseguenza.

Seppur cenni possono essere fatti risalire anche a Blaise Pascal e Pierre de Fermat, colui che più si dedicò alla teorizzazione di questa tesi fu il matematico John Forbes Nash jr, il quale ritrovò addirittura collegamenti tra i consigli dati da Niccolò Machiavelli ne “Il Principe” e la teoria dei giochi.

Questi giochi possono essere divisi in cooperativi e non cooperativi, i primi sono volti a osservare i comportamenti in quelle situazioni in cui gli individuai sono volti ad accordarsi, al fine di programmare le proprie decisioni e, viceversa, i secondi analizzano casi in cui la comunicazione non è presente, quindi le parti si atterranno a ciò che singolarmente riterranno più opportuno.

Uno dei dilemmi più famosi di questa teoria è quello cosiddetto del prigioniero, cioè quella situazione in cui, dati due individui imprigionati, questi si trovino nella situazione di dover decidere se confessare o meno analizzando il guadagno che otterrebbero dal tenere l’uno piuttosto che l’altro comportamento.

Vediamo nello specifico come qualora confessasse uno solo dei due, questo otterrebbe una pena di un anno per aver collaborato, portando l’altro però ad ottenere la pena massima di 10 anni. Diversamente qualora nessuno confessasse entrambi otterrebbero la pena minima per mancanza di prove, mentre se entrambi confessassero otterrebbero la pena di 5 anni in due.

Qualora le due parti potessero cooperare, si accorderebbero sulla non confessione, ma essendo interrogati separatamente, questo non può avvenire.

La mancanza di comunicazione porterà i singoli prigionieri (escludendo ovviamente fattori personalistici quali la “fedeltà” o il disprezzo per la legge, ipotizzando cioè una scelta totalmente razionale, volta a massimizzare il proprio guadagno data la situazione di fatto) a confessare entrambi, preferendo la pena ridotta al rischio di una pena più elevata; rischio che però si realizzerà in quanto entrambi ragioneranno in tali termini.

Questo può essere chiaramente esplicitato mediante l’utilizzazione di una matrice “Payoff”

L’equilibrio del gioco, cioè la situazione in cui le parti si attestano, è posta in Confessa-Confessa, scontando entrambi 5 anni di carcere.

Questa situazione è detta Pareto inefficiente, dal nome dell’economista Vilfredo Pareto, perché pur essendo razionale, data la mancanza di informazioni, questa non dà la migliore delle scelte possibili, in quanto ne esistono altre che migliorano la situazione di entrambi senza peggiorare quella di nessuno ( se non della giustizia che *Sigh* non è però presa in considerazione in questo modello). La Teoria dei Giochi definisce questa scelta come dominante in quanto, per ragioni razionali, si pone come la strategia ritenuta ottimale a prescindere da ciò che fa l’avversario.

La scelta Pareto efficiente sarebbe invece quella di non confessare entrambi, che ottimizza la soddisfazione dei due giocatori ma questa sarebbe possibile solo e soltanto qualora i due potessero essere sicuri di andare d’accordo, ma, anche qui, si osserverebbero dei rischi di comportamenti opportunistici, cioè la possibilità “truffare” l’altro prigioniero sfruttando la fiducia che questi pone nell’accordo. Allora si necessiterebbe piuttosto la presenza un terzo individuo il quale si ponesse come mediatore e guida nella scelta delle parti, arrivando anche ad imporre quella maggiormente efficiente.

Detto questo non ci resta che arrivare al nocciolo della questione, cioè, come la teoria dei giochi giustifichi razionalmente  l’intervento della Pubblica Amministrazione. Nello specifico osserviamo come l’intervento pubblico si renda necessario nel rendere fruibili i beni cosiddetti “pubblici puri”, cioè quei beni i quali non possono essere né  escludibili, cioè non può essere impedita l’utilizzazione di questi a quegli individui che non pagano, né rivali, cioè l’uso da parte di più individui non impedisce l’uso di altri. In questi casi si può osservare un “fallimento di mercato”, cioè quella situazione in cui la mancanza di cooperazione e di centralizzazione delle scelte degli operatori porterà questi a scegliere il comportamento che “egoisticamente” si pone come momentaneamente più vantaggioso, cioè il non pagamento del prezzo del servizio, con la conseguenza però che, mancando la compensazione dei costi, la produzione dovrà inevitabilmente essere interrotta.

Questa scelta però si pone come inefficiente, in quanto una cooperazione (volontaria e razionale o obbligatoria) avrebbe portato ad una situazione di vantaggio superiore per tutta la collettività. Tipico esempio di bene pubblico puro può essere considerata l’illuminazione stradale, la quale può essere utilizzata da chiunque al di là del pagamento per tale servizio, così come l’utilizzo da parte di un individuo non inciderà sulla fruibilità da parte di altri.

Per dimostrare la necessità dell’intervento pubblico avremo bisogno dell’utilizzo di un modello matematico semplificato a due soli individui.

Utilizzeremo una matrice “Payoff” dove considereremo due tipologie di comportamento, una prima di fruizione del bene senza pagamento (definita in ambito economico come problema dei “free rider” o  più semplicemente degli scrocconi) ed una seconda di fruizione con annesso pagamento.

Dovremo inoltre, per avere una rappresentazione corretta, aggregare costi e benefici, non fermandoci solamente ai primi costi economici osservabili; nello specifico dovremmo sottrarre al costo del pagamento il vantaggio ottenuto dall’illuminazione, dovremmo inoltre tenere in considerazione il fatto che qualora nessuno paghi per il servizio questo non verrebbe prodotto, con annessa perdita dovuta alla mancanza dell’illuminazione.

Osserviamo allora le possibili combinazioni, inserendo i dati dentro la matrice sottostante:

Vediamo come, qualora entrambi gli individui contribuissero al finanziamento dell’illuminazione, otterrebbero un vantaggio di 1, sottraendo al costo del servizio il vantaggio ottenuto dallo sfruttamento. Qualora  invece si comportassero da free rider non pagherebbero nulla, facendo però ricadere l’intero prezzo sull’altro individuo il quale, trovandosi a sostenere una spesa eccessiva rispetto al vantaggio ottenuto, smetterebbe di pagare, portando inevitabilmente ad una interruzione della fornitura del servizio con conseguente danno per entrambe le parti.

Come vediamo questo comportamento è speculare al caso tipico dei prigionieri che necessitano di una collaborazione per ottenere una pena minore. Da questo modello emerge il fatto di come affidandosi alla contribuzione volontaria, in assenza di comunicazione tra le parti e, nostro malgrado, in una non sempre razionalità delle scelte degli individui (o meglio una razionalità incompleta, in quanto rivolta al maggior guadagno immediato, visione che seppur miope è molto comune) queste si attesterebbero su una situazione di danno comune ( -3: -3).

Qualora invece si avesse un interlocutore pubblico, il quale imponesse una contribuzione obbligatoria (mediante tassazione e purché ovviamente lo Stato sia in grado di far rispettare tali obblighi) con la quale procederebbe a contribuire alle spese di illuminazione pubblica, ci si attesterebbe in una situazione di efficienza in quanto entrambi otterrebbero il vantaggio maggiore (1; 1).

Questa semplice matrice ci permette di osservare come l’intervento pubblico non sia solo una scelta di carattere etico-politico ma, come nella gran parte degli ambiti di competenza della pubblica amministrazione, la sua attività, si ponga come una necessità di carattere matematico economico, rendendosi necessario il suo intervento ogni qualvolta si debba produrre un bene pubblico puro. L’esempio della illuminazione pubblica potrebbe infatti essere esteso anche ad altri servizi, come ad esempio l’attività di pubblica sicurezza o, ancora, la fornitura idrica.

Oltre ai singoli casi di fornitura di servizi, i quali chiaramente possono rientrare nel modello sopra descritto, vediamo come anche attività di regolamentazione possono essere giustificate dal dilemma del prigioniero; esempio di questo può essere la regolamentazione della assicurazione sulla responsabilità civile automobilistica obbligatoria, in quanto il comportamento opportunistico delle parti, porterebbe ad attestare le scelte su una non sottoscrizione delle polizze, con conseguente situazione non efficiente in presenza di un incidente stradale. Situazione che invece non si verificherebbe qualora fosse lo Stato a richiedere la sottoscrizione di questo contratto.

Da questa serie di esempi notiamo chiaramente come in qualsiasi ambito si possa sfruttare conoscenze e modelli matematici sia per osservare la scelta, se non più corretta, per lo meno più efficiente, ma anche per giustificare l’operato di attività da sempre presenti e troppo spesse in discussione proprio per l’incapacità (o la non volontà) di osservare come queste si rendano necessarie al di là di ogni ragionevole dubbio, proprio per la loro intrinseca ragionevolezza.

Andrea Renzi

Bibliografia

• http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/Articoli/DilemmaPrigioniero/DilemmaPrigioniero.htm
• http://qualitapa.gov.it/it/relazioni-con-i-cittadini/
• http://www.uciimtorino.it/peyron/04_lezione_n_4_i_beni_pubblici_puri.pdf
• https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_dei_giochi