di Erasmo Modica

Si propone di seguito un esempio di applicazione della goniometria alla fisica, in particolare viene ricavata la legge oraria del moto armonico utilizzando il primo teorema dei triangoli rettangolo. 

 Unità di apprendimento in cui inserire l’attività: le funzioni goniometriche

Contesto: 2° o 4° anno del Liceo Scientifico, 4° anno dei Licei Artistico, Classico, Linguistico, Scienze Umane

Collegamenti interdisciplinari: Fisica

Concetti-chiave in lingua inglese: simple harmonic motion, period, frequency, elongation, amplitude, angular frequency or pulsatance, velocity, acceleration

Competenza: Avere padronanza degli strumenti matematici per la costruzione di modelli

Conoscenze:

• Concetto di funzione
• Immagini
• Primo teorema dei triangoli rettangoli
• Proprietà della funzione coseno
• Funzioni goniometriche inverse

Abilità:

• Ricavare l’equazione del moto armonico
• Determinare immagini

Descrizione del moto armonico

Consideriamo un punto che si muove di moto circolare uniforme lungo una circonferenza di raggio R.

Com’è possibile notare dal grafico sopra, quando il punto P si muove lungo la circonferenza, la sua proiezione Q sul diametro si muove dal punto A al punto B e dal punto B ritorna al punto A.

Definizione. Dato un punto P che si muove di moto circolare uniforme lungo una circonferenza, si definisce moto armonico il moto della proiezione di tale punto su un diametro della circonferenza.

I punti A e B tra i quali oscilla Q prendono il nome di estremi di oscillazione, il centro della circonferenza viene detto centro di oscillazione, mentre la distanza OA=OB prende il nome di ampiezza ed è uguale al raggio della circonferenza. Invece la distanza di una generica posizione del punto Q dal centro di oscillazione O prende il nome di elongazione.

Il punto Q, dopo esser partito da A, arrivato in B e ritornato in A, ha compiuto un’oscillazione completa. La durata di tale oscillazione prende il nome di periodo del moto armonico e viene indicato con la lettera T. Tale periodo coincide con quello del moto circolare compiuto del punto P. Così come nel caso del moto armonico, la frequenza è sempre data dall’inverso del periodo. Inoltre, la velocità angolare del moto circolare uniforme compiuto da P, prende il nome di pulsazione del moto armonico.

La legge oraria del moto armonico

Consideriamo un punto P che si muove di moto circolare uniforme e sia Q la sua proiezione sul diametro della circonferenza. Le posizioni di P e Q variano al variare dell’angolo α come mostrato in figura. Nel caso del moto circolare uniforme sappiamo che la velocità angolare è data da:

$$\omega=\frac{\Delta \alpha}{\Delta t}=\frac{\alpha – \alpha_0}{t-t_0}$$

da cui, ponendo $$\alpha_0$$ e $$t_0$$  uguali a zero si ha:

 $$\omega=\frac{\alpha}{t}$$

e quindi:

$$\alpha=\omega t$$

 Ricordando che in un triangolo rettangolo la lunghezza di un cateto è pari al prodotto della lunghezza dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo a esso adiacente, dal triangolo OPQ ricaviamo che:

$$OP=OQ \cdot \cos \alpha$$

ossia, sostituendo le relative grandezze ai cateti e all’angolo:

$$s=R \cdot \cos \omega t$$

che rappresenta la legge oraria del moto armonico.

Quindi, si osserva che per determinare la legge oraria del moto basta conoscere il raggio R, della circonferenza (che corrisponde all’ampiezza di oscillazione) e la pulsazione $$\omega=\frac{2 \pi}{T}$$.

Problema svolto. Scrivere la legge oraria di un moto armonico sapendo che la sua ampiezza massima è pari a 0,4 cm e che il suo periodo è di 6 s.

a)  Determinare l’elongazione dopo 3 s.

b)  Determinare l’elongazione dopo 6 s.

c)   Determinare l’elongazione dopo 8 s.

Inserendo i dati nella legge oraria si ha:

$$s=R\cdot \cos \left( \frac{2 \pi}{T} \cdot t \right)=0,4\cos \left( \frac{ \pi}{3} \cdot t \right)$$

a)  Sostituendo si ha:

$$s(3 s)=0,4\cos \left( \frac{ \pi}{3} \cdot 3 \right)=0,4 \cos \pi = -0,4 m$$

b) Sostituendo si ha:

$$s(6 s)=0,4\cos \left( \frac{ \pi}{3} \cdot 6 \right)=0,4 \cos 2\pi =0,4 m$$

c)  Sostituendo si ha:

 $$s(6 s)=0,4\cos \left( \frac{ \pi}{3} \cdot 8 \right)=0,4 \cos (2,67\pi) =0,4 \cdot 0,99 = 0,39 m$$

 Considerazioni sulla velocità

Poiché il punto Q percorre tratti diversi in tempi uguali (a differenza di P che percorre archi di circonferenza uguali in tempi uguali), ne segue che il suo moto non è uniforme; inoltre la velocità di Q è uguale a zero negli estremi di oscillazione, punti in cui Q si ferma per invertire il moto, è massima nel centro di oscillazione ed è uguale a:

$$v_{max}= \omega R$$

 Esempio. Per generare il suono, il cono di un altoparlante oscilla avanti e indietro muovendosi di moto armonico. La frequenza delle oscillazioni è f=1,0 kHz e la loro ampiezza è R=0,2 mm. Qual è la massima velocità del cono?

Per determinare la velocità è necessario sfruttare la precedente relazione. Si ha:

 $$v_{max}= \omega R=(2 \pi f) \cdot R=1,3 m/s$$

Considerazioni sull’accelerazione

Si dimostra che se il punto materiale compie un moto armonico di pulsazione ω e se s è la sua distanza dal centro di oscillazione in un determinato istante, allora la sua accelerazione in quell’istante è pari a:

$$a=-\omega^2 \cdot s$$

L’accelerazione non è costante, ovvero è nulla nel centro di oscillazione, dove s=0, è massima agli estremi di oscillazione, dove s è massima. L’accelerazione è inoltre sempre diretta verso il centro di oscillazione.

Caratterizzazione dei moti armonici. Tutti i corpi che sono sottoposti a un’accelerazione che risulti direttamente proporzionale allo spostamento e di verso opposto ad esso, si muovono di moto armonico.

Esempio. Per generare il suono, il cono di un altoparlante oscilla avanti e indietro muovendosi di moto armonico. La frequenza delle oscillazioni è f=1,0 kHz e la loro ampiezza è R=0,2 mm. Qual è il valore massimo dell’accelerazione del cono?

Utilizzando la precedente relazione si ha:

 $$a=\omega^2 \cdot R=(2 \pi f)^2 \cdot R=7,9 \cdot 10^3 m/s^2$$

Esercizi proposti

1) Un punto percorre una circonferenza con la velocità angolare costante pari a 4,5 rad/s. La sua ombra, proiettata su un diametro della circonferenza, si muove di moto armonico. Calcola il periodo e la frequenza di tale moto armonico.

2) Un punto percorre una circonferenza di raggio 0,25 m con la velocità di modulo costante di 0,86 m/s. La sua ombra, proiettata su un diametro della circonferenza stessa, si muove di moto armonico. Calcola l’ampiezza e la frequenza di tale moto.

3) Un oggetto si muove di moto armonico con ampiezza 1,5 m e periodo 1,6 s. Calcola la massima velocità che raggiunge.

4) Un corpo si muove di moto armonico di ampiezza 48 cm. Nel punto centrale della traiettoria, la sua velocità è uguale a 2,8 m/s. Calcola la frequenza del moto.

5) Un oggetto si muove di moto armonico con ampiezza 0,7 m e periodo 1,1 s. Calcola la massima accelerazione cui è sottoposto.

6) Un oggetto si muove di moto armonico con ampiezza 0,6 m e periodo 0,8 s.

• Scrivere l’equazione del moto.
• Determinare la posizione dopo 10 s.
• Determinare la velocità dopo 10 s.
• Determinare l’accelerazione dopo 10 s.