Qui termina il progetto di Alessandro Zaccagnini con il suo “Dialogo sui numeri primi”, un esercizio di stile in cui ha parlato dei numeri primi in modo interessante senza quasi usare formule. Nel dialogo, di cui qui presentiamo l’ultima giornata, discorrono tre personaggi presi a prestito da Galileo: Salviati, che è un copernicano (un teorico dei numeri analitico), Sagredo, che è un patrizio (un matematico di un altro settore), e Simplicio, che è un tolemaico (un dilettante). Questa è la Giornata decima, nella quale si traggono le conclusioni e si giunge al termine del dialogo. Tutte le puntate le trovate sempre a questo link.

Giornata decima, nella quale si traggono le conclusioni e si giunge al termine del dialogo

[All’apertura del sipario sul tavolo c’è un mucchio di libri che non c’erano prima]

Sagredo. Salviati, oggi è l’ultimo giorno del nostro incontro e nel ripensare a tutto quello che abbiamo discusso mi sono accorto che non abbiamo mai parlato di Ramanujan. Come mai?

Salviati. Ramanujan era appassionato dei numeri primi e ha fatto, o meglio ha creduto di fare, molte scoperte al riguardo.

Simplicio. Perché dici che ha creduto di fare delle scoperte? Non le ha fatte?

Salviati. Probabilmente Ramanujan è stato il matematico che, per una serie di circostanze, piú degli altri ha lavorato per molto tempo isolato dai colleghi. Nel corso delle sue ricerche ha riscoperto tante cose già note.

Sagredo. Questo capita a tutti i matematici, grandi e piccoli che siano.

Salviati. Sicuramente, ma per Ramanujan è stato piú grave che per altri. Per esempio, come dice Hardy in un libro dedicato proprio agli sviluppi delle ricerche di Ramanujan, il suo contributo alle conoscenze sulla distribuzione dei numeri primi è stato meno importante di quello che sarebbe potuto essere se fosse stato inserito fin da subito nella comunità matematica.

Simplicio. Mi puoi spiegare perché?

Salviati. A parte il tempo che ha perso nella riscoperta di cose già conosciute, considera che la sua abitudine di fidarsi molto della sua intuizione lo ha portato fuori strada, ed è caduto in trappole ben note all’epoca fra gli altri studiosi dei numeri primi. Non necessariamente per colpa sua, si capisce: quando era in India non aveva accesso ad una buona biblioteca e sicuramente non conosceva il famoso “Handbuch” pubblicato nel 1909 da Edmund Landau e che gli sarebbe stato utilissimo.

Sagredo. È uno dei motivi per cui ti abbiamo detto che devi documentarti bene prima di fare affermazioni come quella che abbiamo discusso un paio di giorni fa. Non penserai di essere piú bravo di Ramanujan?

Simplicio. No di certo, ma mi potete spiegare meglio?

Salviati. Come ricordi, abbiamo discusso molto a lungo della “controversia” tra Legendre e Gauss sulla bontà dell’approssimazione delle rispettive formule per il numero dei numeri primi che non superano \(N\).

Simplicio. Certo che lo ricordo.

Salviati. Come dicevo, Ramanujan ha riscoperto una gran parte dei risultati già noti e questa cosa da sola basterebbe a dimostrare che era un grande matematico. Però molto spesso non aveva dimostrazioni rigorose delle sue affermazioni.

Sagredo. In matematica è indispensabile averne.

Salviati. Il problema è proprio nelle affermazioni che Ramanujan ha fatto sulla bontà delle approssimazioni che ha ottenuto per le varie funzioni dei numeri primi che gli interessavano. Purtroppo ha basato queste affermazioni sulla sua intuizione e anche su dati numerici del tutto insufficienti e sono risultate di gran lunga migliori di quelle reali.

Simplicio. [Deluso] E quindi Ramanujan non ha dato contributo allo studio dei numeri primi? Dal film che ho visto sembrava di sí.

Salviati. Le sue scoperte sui numeri primi sono straordinarie, ma in gran parte sono riscoperte di teoremi già noti: probabilmente nessun altro matematico ha mai fatto altrettanto da solo. Ma forse il suo contributo piú importante sui numeri primi è indiretto.

Simplicio. Che vuoi dire? Spiegati meglio.

Salviati. Il “metodo del cerchio” di cui ho parlato brevemente quando abbiamo discusso dei primi due problemi di Landau ha origine in una collaborazione fra Hardy e Ramanujan, in un problema non collegato ai numeri primi.

Simplicio. Questa è una cosa che avrei voluto chiederti prima: in cosa consiste questo “metodo del cerchio”? E cosa c’entrano i numeri primi con i cerchi?

Salviati. Il nome del metodo deriva dal fatto che è possibile trasformare un problema di conteggio in un altro che si può affrontare mediante l’analisi complessa. Questa trasformazione avviene facendo un integrale su un cammino complesso, in questo caso una circonferenza, e poi si applica il macchinario standard del calcolo dei residui.

Sagredo. Quindi, anche in questo caso devi passare da un problema con i numeri interi ad uno di analisi complessa?

Salviati. Sí, è cosí: al momento attuale, cioè da circa un secolo, questo è lo strumento piú efficace e versatile che abbiamo a disposizione per affrontare i problemi additivi. In diversi casi ha permesso una soluzione completa, mentre in altri ha fornito soluzioni parziali che non si riescono ad ottenere con altri metodi. Comunque non è facile da usare …

Simplicio. E non puoi proprio spiegarmi come funziona?

Salviati. Simplicio, tu stesso ammetti che ci sono molte parti della matematica che conosci solo per sentito dire e che ci sono cose che hai sentito nominare solo in questi ultimi giorni da me e Sagredo.

Simplicio. Sí, certamente, è proprio cosí. Non sapevo nemmeno che esistesse l’analisi di complessità per gli algoritmi e non potevo immaginare che per studiare i numeri primi fosse necessario conoscere bene le funzioni complesse.

Sagredo. Allora ti rendi conto da solo che non possiamo farti un breve riassunto di argomenti che normalmente si imparano in qualche anno di università, anzi, spesso durante il dottorato di ricerca. Ti garantisco che Salviati farebbe molta fatica a spiegare in dettaglio queste cose a me che sono un matematico di un altro settore.

Salviati. E viceversa se Sagredo volesse raccontarmi le sue ricerche. Sarebbero necessari alcuni giorni solo per spiegare con precisione come funzionano le tecniche che ho nominato nelle nostre conversazioni. Una volta spiegato il meccanismo di base dovrei entrare nel merito delle dimostrazioni e anche questo passo richiederebbe moltissimo tempo.

Sagredo. È cosí che funziona la matematica: una grossa parte in comune fra tutti i matematici e poi ci si specializza in un particolare settore andando molto in profondità e studiando le tecniche proprie di quel campo.

Salviati. E lo stesso vale per un’infinità di altre discipline.

Sagredo. Proprio per questo, a conclusione di queste nostre conversazioni abbiamo preparato un regalo per te, Simplicio.

Salviati. [Indica il gran mucchio di libri sul tavolino.] Ho raccolto qualche libro che ti metta in grado di cominciare a studiare seriamente i numeri primi. Analisi matematica, algebra, algebra lineare, analisi complessa in una variabile, e poi un po’ di informatica introduttiva, principalmente sulla complessità.

Simplicio. Tutta questa roba?

Salviati. Un po’ di matematica di base e qualche argomento piú specialistico.

Sagredo. Guarda che la maggior parte di questa roba, come dici tu, è molto divertente da imparare.

Salviati. Dovrai fare un po’ di fatica ma ne vale assolutamente la pena. E promettiamo di aiutarti quando ne avrai bisogno.

Sagredo. Permettimi di aggiungere un’osservazione valida per la matematica ma comune allo studio approfondito di qualunque campo dello scibile umano. È proprio necessario conoscere un po’ di tecnica di base e padroneggiare con sicurezza un certo numero di strumenti: solo dopo che avrai raggiunto questo livello potrai affrontare temi di ricerca.

Salviati. Non ci sono scorciatoie: non c’è una strada regia per la teoria dei numeri.

Simplicio. Cosa vuoi dire?

Salviati. Pare che Tolomeo I d’Egitto, il generale di Alessandro Magno che si trovò a fondare l’ultima “dinastia” di faraoni, abbia chiesto ad Euclide di poter imparare la geometria senza dover affrontare lo studio degli “Elementi.” Euclide rispose che non c’è una strada regia, cioè per capire la geometria è proprio necessario studiarla nella sua interezza.

Sagredo. Anche io, che pure ho un dottorato in matematica, se volessi studiare in modo approfondito i numeri primi dovrei leggere attentamente almeno un terzo di questi libri qui sopra pur avendo già studiato attentamente gli altri due terzi. Per esempio, so pochissimo della teoria della complessità.

Salviati. Lo stesso vale per me: io mi accontento di conoscere molto superficialmente gli argomenti di ricerca di cui si occupa Sagredo, pur avendo un dottorato a mia volta.

Sagredo. Se vuoi approfondire, ho una lunga lista di libri da consigliarti! [Porge a Salviati un pacchetto.] Ho pensato anche a te: puoi cominciare da questi due.

Salviati. [Sorride] Ars longa, vita brevis! Ma non si sa mai, e il dono di un libro è sempre gradito!

Sagredo. Simplicio, permettimi di aggiungere un aspetto che forse non conosci. Una gran parte del nostro lavoro consiste proprio nello studio.

Simplicio. Dovete studiare? Ma siete laureati e avete anche fatto il dottorato: non vi basta?

Salviati. No, non ci basta. Come minimo dobbiamo tenerci aggiornati sui nuovi teoremi che i nostri colleghi pubblicano e dobbiamo studiarne le dimostrazioni per vedere se ci possono essere utili nel nostro lavoro.

Sagredo. Simplicio, hai idea del numero dei nuovi teoremi pubblicati ogni anno sulle riviste di matematica?

Simplicio. Qualche decina? Qualche centinaio?

Sagredo. Decine di migliaia. Questo riguarda tutta la matematica nel suo complesso: quelli che mi interessano per il mio lavoro sono poche decine, forse un centinaio, ma lo stesso è necessario che io mi informi costantemente sulle novità.

Salviati. Con le tecnologie moderne è relativamente facile restare aggiornati, ma ci vuole tantissimo tempo.

Sagredo. Poi, per essere chiari, una gran parte dei teoremi pubblicati sono generalizzazioni di teoremi noti che usano tecniche consolidate, ma ogni tanto qualcuno dei colleghi scopre qualche nuova proprietà o tecnica dimostrativa che è necessario studiare attentamente.

Salviati. Perché forse possiamo usare questa nuova tecnica per dimostrare nuovi teoremi a nostra volta.

Sagredo. Quindi, per poter fare le nostre ricerche dobbiamo studiare continuamente.

Salviati. E poi ricorda che abbiamo degli studenti che dopo la laurea proseguono i loro studi con il dottorato di ricerca e hanno bisogno di un argomento per la loro tesi.

Sagredo. Nella quale devono dimostrare di saper usare qualche tecnica recente applicandola a un problema nuovo, mai trattato da nessuno prima di loro.

Salviati. Per fare tutto questo dobbiamo studiare tutti i giorni.

Sagredo. E per questo motivo ti suggeriamo questi libri.

Simplicio. Ma davvero mi tocca proprio leggere tutti questi libri?

Salviati. Leggerli e studiarli, Simplicio, non ci sono scorciatoie, davvero.

Sagredo. Come ti abbiamo detto, noi non possiamo permetterci il lusso di non studiare.

Salviati. A conclusione di queste discussioni speriamo di averti fornito la prospettiva della disciplina che si chiama Teoria Analitica dei Numeri e che ha come oggetto di studio i numeri primi.

Sagredo. E anche di come funziona la matematica in generale.

Salviati. Non ho potuto darti le dimostrazioni ma spero di averti incuriosito a sufficienza per farti venire la voglia di studiarle da solo.

Simplicio. Ho scoperto una quantità di problemi che non conoscevo affatto.

Sagredo. In tutta la matematica, e non solo nella Teoria dei Numeri, l’esistenza di problemi aperti dimostra la vitalità della disciplina. Salviati, tornando alla dimostrazione di Simplicio …

[Salviati interrompe bruscamente Sagredo e lo fulmina con lo sguardo]

Salviati. Iubes renovare dolorem!

Sagredo. [Ridendo] Non te la prendere subito! Stavo scherzando! Senso dell’umorismo zero!

Salviati. Va bene, va bene ma cambiamo discorso. In conclusione, Simplicio, ti ho presentato tanti argomenti vecchi e nuovi che riguardano i numeri primi ed anche molti problemi aperti che aspettano una soluzione da secoli.

Simplicio. Non so come ringraziarti per la tua pazienza e il tuo tempo.

Salviati. È stato un piacere. E con questo ringraziamo di nuovo Sagredo per la sua squisita ospitalità e prendiamo congedo.

[Gli amici si congedano con piccoli inchini e strette di mano. Sagredo propone un brindisi finale. Sipario]

Approfondimenti e spunti per letture ulteriori

Non richiesta apologia

L’idea del dialogo mi è venuta per il desiderio di rinnovare il mio modo di fare divulgazione matematica. Ho scritto molti articoli divulgativi, a vari livelli, fatto conferenze e di recente ho cominciato a registrare brevi filmati (molto amatoriali) che si possono trovare sul mio canale YouTube. Gli articoli che ho scritto finora sono molto assertivi e dichiarativi. Un dialogo è molto piú negoziato; si possono ripetere le cose senza alcun imbarazzo, si possono mostrare piú punti di vista senza problemi e annodare in un secondo tempo i fili lasciati sciolti in un primo momento.

Questo testo è stato concepito per essere letto o anche ascoltato e quindi ho rinunciato giocoforza all’uso delle formule, tranne qualcuna molto semplice; talvolta ho fatto ricorso all’artificio dell’algebra retorica, ma con parsimonia. Ovviamente, questo significa che la maggior parte delle considerazioni è molto superficiale, specie se le si guarda dal punto di vista del matematico professionista, ma spero lo stesso che sia interessante e che serva a mostrare la vastità dei problemi che coinvolgono i numeri primi se non a suggerire la loro difficoltà. Inoltre, con queste limitazioni non si può pretendere un rigore assoluto e qualche affermazione deve essere presa cum grano salis. Se è stato possibile fare qualche accenno agli enunciati di alcuni teoremi in modo talvolta impreciso, come sono il primo a riconoscere, non ho fatto altrettanto per le dimostrazioni relative, perché del tutto al di là del mezzo che ho usato. Questa scelta obbligata ha inevitabilmente appiattito le differenze fra le varie parti della disciplina e mi ha costretto ad una selezione degli argomenti da presentare. Ho comunque cercato di trattare con leggerezza alcuni argomenti piuttosto profondi e di citare un gran numero dei matematici che hanno fatto la storia della mia disciplina.

Ho preso a prestito da Galileo Galilei i suoi tre personaggi del “Dialogo sopra i massimi sistemi del mondo,” che nell’originale sono rispettivamente: Salviati (un copernicano), Sagredo (un patrizio) e Simplicio (un tolemaico). Spero di essere riuscito ad ottenere tre personaggi interessanti e coerenti nei loro comportamenti, chiedendo venia a Galilei per il manifesto oltraggio. I caratteri dei personaggi di Salviati e Sagredo sono frutto della mia fantasia: rappresentano un esperto di Teoria dei Numeri, specialmente quella Analitica, e un matematico esperto di un altro settore; non sono necessariamente uomini, come ovvio. Il personaggio di Simplicio, invece, è reale: piú precisamente, è un personaggio composito, ottenuto mettendo insieme domande, obiezioni, sollecitazioni che mi sono arrivate da innumerevoli dilettanti, invariabilmente di sesso maschile, che mi hanno scritto negli ultimi tre decenni proponendo improbabilissime dimostrazioni delle piú importanti congetture della Teoria dei Numeri. Mi sono ispirato a loro, sperando di non aver offeso nessuno.

Ringraziamenti

Nello scrivere questo testo ho ricevuto consigli, suggerimenti, incoraggiamento da molti amici e colleghi, che qui vorrei ringraziare personalmente: per primo Roberto Natalini, che ha curato le pagine di MaddMaths! su cui questo testo è apparso nell’autunno 2020 ed è stato di costante stimolo per tutto questo periodo. Laura Branchetti, Giancarlo Fiorini, Alberto Saracco, Francesco Morandin hanno letto o commentato con me parti di questo documento.

Dedica

Questo lavoro è dedicato a tre persone che, in modi diversi, sono stati tra i primi ad insegnarmi la matematica, anche se a loro i numeri primi non interessavano molto: Antonio Zaccagnini, Ennio Maizza, Franco Conti.

Selezione di letture

Offro qui qualche riferimento bibliografico per chi voglia approfondire gli argomenti trattati. La letteratura divulgativa sui numeri primi è sterminata, specie in lingua inglese. Ho scelto di citare principalmente testi in italiano, facilmente accessibili, e qualcuno dei brevi video che ho recentemente postato sul mio canale YouTube. Chi vuole studiare seriamente questa disciplina deve accettare l’invito di Salviati e Sagredo e imparare per prima cosa tanta matematica di base.

Testi universali.

La distribuzione dei numeri primi, i teoremi di base (Fermat, Wilson, …), le formule di Mertens e la dimostrazione elementare del Teorema dei Numeri primi si possono trovare in Hardy & Wright ^{[1 ]} G. H. Hardy & E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, sesta ed., Oxford University Press, Oxford, 2008.. Le proprietà dei numeri primi, gli algoritmi relativi e le loro applicazioni alla crittografia sono discussi in dettaglio in Languasco & Zaccagnini ^{[2 ]}A. Languasco & A. Zaccagnini, Manuale di crittografia, Ulrico Hoepli Editore, Milano, 2015 ; si consulti anche il materiale integrativo disponibile su rete. Una introduzione molto semplice ai problemi di questa disciplina si può trovare in Languasco & Zaccagnini ^{[3 ]}A. Languasco & A. Zaccagnini, Il fascino discreto della teoria dei numeri, Sapere 83 (2017), no. 1, 22–26, http://dx.doi.org/10.12919/sapere.2017.01.3. Le pagine di Wikipedia sono spesso molto ben fatte e piene di spunti.

Giornata prima

Definizione dei numeri primi: Conway & Guy ^{[4 ]}J. H. Conway & R. K. Guy, Il libro dei numeri, Hoepli, Milano, 1999 ; Languasco & Zaccagnini^{[5 ]}A. Languasco & A. Zaccagnini, Alcune proprietà dei numeri primi, I, Sito
web Bocconi–Matematica Pristem (2005), 26 pp., http://matematica-old.unibocconi.it/LangZac/zaccagnini.pdf.

Giornata seconda

Piccolo Teorema di Fermat ^{[6 ]}A. Zaccagnini, Cryptographia ad usum Delphini, Quaderno n. 459, Dipartimento di Matematica dell’Università di Parma, febbraio 2007, http://people.dmi.unipr.it/alessandro.zaccagnini/psfiles/papers/CryptoDelph.pdf
e video ^{[7 ]}A. Zaccagnini, Cryptographia ad usum Delphini, 2020, Video su YouTube. https://youtu.be/trtFXgEjuVQ ; Conway & Guy ^{[8 ]}J. H. Conway & R. K. Guy, Il libro dei numeri, Hoepli, Milano, 1999 . Teorema di Wilson: video su YouTube ^{[9 ]}A. Zaccagnini, Come riconoscere i numeri primi? Il teorema di Wilson, 2020, Videopillola su YouTube. https://youtu.be/mubwg24FJzE. Teorema di Alford, Granville & Pomerance sui numeri di Carmichael ^{[10 ]}W. R. Alford, A. Granville & C. Pomerance, There are infinitely many Carmichael numbers, Ann. Math. 140 (1994), 703–722.
. Teorema di Agrawal, Kayal & Saxena ^{[11 ]}M. Agrawal, N. Kayal & N. Saxena, PRIMES is in P, Ann. Math. 160 (2004),
781–793 e Granville^{[12 ]} A. Granville, It is easy to determine whether a given integer is prime, Bull. Amer. Math. Soc. 42 (2005), 3–38, http://www.ams.org/bull/2005-42-01/S0273-0979-04-01037-7/home.html
.

Giornata terza

Metodi “meccanici” per produrre numeri primi ^{[13 ]}A. Zaccagnini, Macchine che producono numeri primi, Matematica, Cultura e Società 1
(2016), no. 1, 5–19, http://www.bdim.eu/item?id=RUMI_2016_1_1_1_5_0
; video su YouTube^{[14 ]}A. Zaccagnini, Il crivello di Eratostene, 2020, Video su YouTube. https://youtu.be/RJqaHJTUmow. Certificato di Pratt: video su YouTube ^{[15 ]}A. Zaccagnini, Certificati per i numeri primi, 2020, Video-pillola su YouTube. https://youtu.be/eyxz0YXADOs. Nuova versione del crivello di Eratostene: Helfgott^{[16 ]}H. A. Helfgott, An improved sieve of Eratosthenes, Math. Comp. 89 (2020), 333–350 ; articolo in preparazione per MaddMaths! ^{[17 ]}A. Zaccagnini, Il crivello di Eratostene, Sito web MaddMaths! (2020), In preparazione. Algoritmi di fattorizzazione: Gauss ^{[18 ]}K. F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, G. Fleischer, Leipzig, 1801, ^{[19 ]}A. Languasco & A. Zaccagnini, Manuale di crittografia, Ulrico Hoepli Editore, Milano, 2015 ; cenno anche in ^{[20 ]}A. Zaccagnini, La risposta è 42! Un breve giro panoramico fra i problemi additivi, Sito web MaddMaths! (2019), Online dal 10.11.2019. https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/langolo-arguto/la-risposta-e-42/. Stato attuale delle conoscenze sui numeri di Mersenne: pagina web GIMPS www.mersenne.org.

Giornata quarta

Metodi “meccanici” per produrre numeri primi ^{[21 ]}A. Zaccagnini, Macchine che producono numeri primi, Matematica, Cultura e Società 1
(2016), no. 1, 5–19, http://www.bdim.eu/item?id=RUMI_2016_1_1_1_5_0, ^{[22 ]}A. Zaccagnini, Code di rospo e denti di drago — Formule per i numeri primi, Sito web MaddMaths! (2019), Online dal 9.2.2019. https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/langolo-arguto/code-di-rospo/ ; Macchina di Conway ^{[23 ]}A. Zaccagnini, La macchina per produrre i numeri primi di Conway, Sito web
MaddMaths! (2020), Online dal 15.4.2020. https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/focus/macchina-primi-conway/; video YouTube sul teorema di Wilson^{[24 ]}A. Zaccagnini, Come riconoscere i numeri primi? Il teorema di Wilson, 2020, Videopillola su YouTube. https://youtu.be/mubwg24FJzE. I bit che servono per scrivere tutti i numeri primi fino a \(N\) sono \(\sim \theta(N) / \log(2) \sim N / \log(2)\). Per \(N = 10^{27}\) questo vale circa \(1.4 \cdot 10^{27}\). Considerando 7 miliardi di esseri umani, sono \(0.2 \cdot 10^{18} = 2 \cdot 10^{17}\) bit a testa. In un TB ci sono circa \(8 \cdot 10^{12}\) bit, e quindi \(0.25 \cdot 10^5 = 2.5 \cdot 10^4 = 25000\) TB a testa. L’informazione può essere compressa memorizzando le differenze invece dei valori veri e propri, ma resta pur sempre una quantità enorme pro capite.

Giornata quinta

Articolo divulgativo su Ithaca ^{[25 ]}A. Zaccagnini, Breve storia dei numeri primi, Ithaca: Viaggio nella Scienza III (2014), 67–83, http://ithaca.unisalento.it/nr-03_04_14/index.html. “Apologia di un Matematico” di Hardy ^{[26 ]}G. H. Hardy, Apologia di un matematico, seconda ed., Garzanti, Milano, 2002.

Giornata sesta.

Dimostrazione elementare del Teorema dei Numeri Primi: Hardy & Wright ^{[27 ]}G. H. Hardy & E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, sesta ed., Oxford University Press, Oxford, 2008.

Giornata settima.

Articolo originale di Riemann ^{[28 ]}G. F. B. Riemann, Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, Monatsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (1859), 671–680, in “Gesammelte Mathematische Werke” (ed. H. Weber), Dover reprint 1953. Congettura di Riemann: ^{[29 ]}A. Zaccagnini, Una versione elementare della Congettura di Riemann, Sito
web MaddMaths! (2016), https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/una-versione-elementare-della-congettura-di-riemann/, ^{[30 ]}A. Zaccagnini, La sfida (im)possibile: contare i numeri primi, Corriere della Sera,
supplemento “La lettura” 359 (2018), p. 17, Pubblicato il 14.10.2018, ^{[31 ]}A. Saracco & A. Zaccagnini, Dopo Atiyah: a che punto siamo con la congettura
di Riemann?, Sito web MaddMaths! (2018), Online dal 22.11.2018. https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/focus/dopo-atiyah/, ^{[32 ]}A. Zaccagnini, L’Ipotesi di Riemann compie 160 anni, Sito web MaddMaths!
(2019), Online dal 23.11.2019. https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/riemann160/. Controversia tra Selberg ed Erdős sulla priorità nella dimostrazione: Dorian Goldfeld ^{[33 ]}D. Goldfeld, The elementary proof of the prime number theorem: an histori-
cal perspective, Number theory (New York, 2003), Springer, New York, 2004,
pp. 179–192. Discussione dettagliata sulle somiglianze delle dimostrazioni analitica ed elementare: Ingham ^{[34 ]}A. E. Ingham, Review, Mathematical Reviews 10 (1949), 595–596. Formulazioni equivalenti della Congettura di Riemann ^{[35 ]}A. Zaccagnini, Breve storia dei numeri primi, Ithaca: Viaggio nella Scienza III (2014), 67–83, http://ithaca.unisalento.it/nr-03_04_14/index.html.

Giornata ottava.

Problemi di Landau: Pintz ^{[36 ]}J. Pintz, Landau’s problems on primes, J. Théor. Nombres Bordeaux 21 (2009), 357–404. Congettura dei Primi Gemelli, formula asintotica euristica: Hardy & Wright ^{[37 ]} G. H. Hardy & E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, sesta ed., Oxford University Press, Oxford, 2008., §22.20; ^{[38 ]}A. Zaccagnini, Variazioni Goldbach: problemi con numeri primi, L’Educazione Matematica, Anno XXI, Serie VI 2 (2000), 47-57, http://people.dmi.unipr.it/alessandro.zaccagnini/psfiles/papers/Goldbach_I.pdf
. Strutture additiva e moltiplicativa di \(\mathbb{N}\)^{[39 ]}A. Zaccagnini, Operazioni: elementari, ma non troppo!, Sito web MaddMaths! (2020),
Online dal 19.1.2020. https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/focus/operazioni-elementari/
.

Bays & Hudson^{[40 ]}C. Bays & R. H. Hudson, A new bound for the smallest x with π(x) > li(x), Math. Comp. 69 (2000), no. 231, 1285–1296 trattano la congettura di Gauss dimostrata falsa da Littlewood nel 1914 a cui si allude nel testo. Il piú piccolo intero per cui la congettura è falsa è probabilmente dell’ordine di \(10^{316}\). Ancora piú grandi sono, probabilmente, gli interi coinvolti nel controesempio alla congettura originale di Mertens, che oggi sappiamo essere falsa nella forma forte, ma che potrebbe essere vera in una versione leggermente indebolita. Baillie^{[41 ]}Robert Baillie, Fun with very large numbers. Arxiv preprint 1105.3943, 2011 dà un esempio spettacolare, tratto dall’analisi matematica e non correlato alla distribuzione dei numeri primi, di una formula che vale per tutti gli interi \(n < N_0\) e non vale per nessun \(n \ge N_0\), per un certo \(N_0\) enorme. Si tratta di una famiglia di esempi simili ed è possibile costruirne “su misura” per avere \(N_0\) grande a piacere, per esempio utilizzando la forma quantitativa del Teorema di Dirichlet sui numeri primi nelle progressioni aritmetiche. Questi tre esempi dovrebbero mettere definitivamente in guardia dal pensare che la verifica empirica di un numero relativamente piccolo di casi particolari possa sostituire una dimostrazione formale.

Giornata nona.

Hardy ^{[42 ]} G. H. Hardy & E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, sesta ed., Oxford University Press, Oxford, 2008., §11, §21. Applicazioni dei numeri primi alla crittografia: oltre a quelle già citate sopra, si veda ^{[43 ]}A. Zaccagnini, L’importanza di essere primo, Ricordando Franco Conti (A. Abbondandolo, M. Giaquinta, & F. Ricci, eds.), Scuola Normale Superiore, Pisa, 2004, http://people.dmi.unipr.it/alessandro.zaccagnini/psfiles/papers/importanza.pdf, pp. 343–354.
. Sequenze pseudo-casuali: video ^{[44 ]}A. Zaccagnini, Numeri primi e sequenze pseudo-casuali, 2020, Video-pillola su YouTube. https://youtu.be/iwSNdU7rPxQ; Applicazioni della Teoria dei Numeri (non necessariamente dei soli numeri primi): Burr^{[45 ]}S. A. Burr (ed.), The Unreasonable Effectiveness of Number Theory, Providence, RI, American Mathematical Society, 1992, American Mathematical Society short course, August 6–7, 1991, Orono, Maine.

Giornata decima.

Ramanujan: primo capitolo di Hardy ^{[46 ]} G. H. Hardy, Ramanujan. Twelve lectures on subjects suggested by his life and works, Chelsea, New York, 1999. Commemorazione del centenario della morte ^{[47 ]}A. Zaccagnini, Cent’anni senza Ramanujan, Sito web MaddMaths! (2020), Online dal 26.4.2020. https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/langolo-arguto/senza-ramanujan/.

Alessandro Zaccagnini